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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4:第二讲 二 2.-3. 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程

2.~3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 [对应学生用书P25] 1.双曲线的参数方程 x2 y2 (1) 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 a2 - b2 = 1 的 参 数 方 程 是 ?x=asec φ, π 3π ? 规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)且 φ≠2,φ≠ 2 . ?y=btan φ y2 x2 (2) 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 a2 - b2 = 1 的 参 数 方 程 是 ?x=btan φ, ? ?y=asec φ. 2.抛物线的参数方程 2 ?x=2pt , (1)抛物线 y =2px 的参数方程为? t∈R. ?y=2pt 2 (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的 倒数. [对应学生用书P25] 双曲线、抛物线参数方程的基本问题 ?x=2 3tan α, [例 1] (1)双曲线? (α 为参数)的焦点坐标是________. ?y=6sec α 第1页 ?x=tan t, (2)将方程? 1-cos 2t ?y=1+cos 2t (2)利用代入法消去 t. 化为普通方程是________. [思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解; ? ?x=2 3tan α, y2 x2 ? [解析] (1)将 化为36-12=1, ? ?y=6sec α 可知双曲线焦点在 y 轴,且 c= 故焦点坐标是(0,± 4 3). (2)由 y= 1-cos 2t 1+cos 2t 2sin2t =2cos2t=tan2t, 36+12=4 3, 将 tan t=x 代入上式,得 y=x2,即为所求方程. [答案] (1)(0,± 4 3);(2)y=x2. (1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程,特别是将参数方 程化为普通方程,还要明确参数的意义. (2)对双曲线的参数方程,如果 x 对应的参数形式是 sec φ,则焦点在 x 轴上; 如果 y 对应的参数形式是 sec φ,则焦点在 y 轴上. ?x=sec θ, 1.如果双曲线? (θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点的距离是 8, ?y=6tan θ 那么 P 到它的左焦点距离是________. 解析:由双曲线参数方程可知 a=1, 第2页 故 P 到它左焦点的距离|PF|=10 或|PF|=6. 答案:10 或 6 ?y=2t, 2.过抛物线? (t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, 2 ?x=t y2)两点,如果 x2+x2=6.则|AB|= ________. y2 解析:化为普通方程是:x= 即 y2=4x,∴p=2. 4 ∴|AB|=x1+x2+p=8. 答案:8 双曲线、抛物线参数方程的应用 [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM| =|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线. [思路点拨] 由条件可知,M 点是线段 OP 的中点,利用中点坐标公式,求 出点 P 的轨迹方程,再判断曲线类型. [解] 设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在 OM 的延长线上,且 M 为 ? ? ?x=2t, ?x0=4t, 线段 OP 的中点,抛物线的参数方程为? 用中点公式得? 2 2 ? ? ?y=2t ?y0=4t . 1 2 变形为 y0=4x2 0,即 P 点的轨迹方程为 x =4y. 表示抛物线. 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时, 常根据需要引入一个中间 变量即参数(将 x,y 表示成关于参数的函数),这种方法是参数法,而涉及曲线上 第3页 的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标. 3.设 P 为等轴双曲线 x2-y2=1 上的一点,F1 和 F2 为两个焦点,证明: |F1P|· |F2P|=|OP|2. 证明: 如图, 设双曲线上的动点为 P(x, y), 焦点 F1(- 2, ? ?x=sec θ, 0),F2( 2,0),双曲线的参数方程为? ? ?y=tan θ. 则:(|F1P|· |F2P|)2 =[(sec θ+ 2)2+tan2θ]· [(sec θ- 2)2+tan2θ] =(sec2 θ+2 2sec θ+2+tan2θ)(sec2 θ-2 2sec θ+2+tan2θ) =( 2sec θ+1)2( 2sec θ-1)2 =(2sec2 θ-1)2. 又|OP|2=sec2 θ+tan2θ=2sec2 θ-1, 由此得|F1P|· |F2P|=|OP|2. [对应学生用书P26] 一、选择题 2 ?x=t -1, ? 1.曲线 (t 为参数)的焦点坐标是( ?y=2t+1 ) A.(1,0) C.(-1,0) B.(0,1) D.(0,-1) 第4页 解析:将参数方程化为普通方程(y-1)2=4(x+1),该曲线为抛物线 y2=4x 向左、向上各平移一个单位得到,所以焦点为(0,1). 答案:B 1? 1? a+ ?, ? x = ? 2? ? a? 2.已知某条曲线的参数方程为? 1? 1? a - ? y = ? ? 2? a? ? 是( ) A.线段 C.双曲线 B.圆 D.圆的一部分 (其中 a 是参数),则该曲线 解析:将所给参数方程的两式平方后相减, 得 x2-y2=1. 1 1 并且由|x|=2|a+a|≥1,得 x≥1 或 x≤-1, 从而易知结果. 答案:C -t t ?x=e +e , 3.方程? (t 为参数)的图形是( -t t ?y=e -e ) A.双曲线左支 C.双曲线上支 B.双曲线右支 D.双曲线下支 et· e-t= 解析:∵x2-y2=e2t+2+e-2t-(e2t-2+e-2t)=4.且 x=et+e-t≥2 2. ∴表示双曲线的右支


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