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【创新方案】2014届高考数学一轮复习 8.9直线与圆锥曲线讲解与练习 理 新人教A版


第九节

直线与圆锥曲线

[备考方向要明了]

考 什 么 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的 位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

怎 么 考 直线与圆锥曲线的位置关系,是历年高考考查的重点, 常以解答题形式考查, 以直线与圆锥曲线的方程为基础, 结合有关概念及计算,将位置关系转化为相应的方程或 方程组的解的讨论.如 2012 年广东 T20 等.

[归纳?知识整合] 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A, 不同 B 时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或 变量 y)的一元方程. 即?
?Ax+By+C=0, ? ? ? F?

x,y? =0,

消去 y,得 ax +bx+c=0.
2

2

(1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax +bx+c=0 的判别式为 Δ ,则 Δ >0?直线与圆锥 曲线 C 相交; Δ =0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ <0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个 交点, 此时, C 为双曲线, 若 则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; C 为抛物线, 若 则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. [探究] 直线与圆锥曲线只有一个公共点时,是否是直线与圆锥曲线相切? 提示:直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与 平行或重合于其对称轴的直线,双曲线与平行于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点, 但不是相切,而是相交. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
1

|AB|= 1+k |x1-x2| = 1+k ? ? =
2

2

x1+x2?

2

-4x1x2 1 1+ 2? ?

1 1+ 2?|y1-y2|=

k

k

y1+y2?

2

-4y1y2.

[自测?牛刀小试] 1.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a 等于( A. C. 1 2 1 4
? ?x-y-1=0, ? ?y=ax ,
2 2

)

B.

1 3

D.4
? ?a≠0, 2 消去 y 得 ax -x+1=0,所以? ? ?1-4a=0,

解析:选 C 由? 1 = . 4

解得 a

2.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( A.1 C.1 或 2 B.2 D.0

b a

x2 y2 a b

)

解析: A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行, 选 所以它与双曲线只有 1 个交点. 3.设抛物线 x =4y 的焦点为 F,经过点 P(1,5)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点, 且点 P 恰为线段 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. 解析:A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=10,由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+p =10+2=12. 答案:12 4.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 解析:直线 y=kx+1 过定点(0,1),由题意,点(0,1)在椭圆内或椭圆上.则 m≥1,且
2

b a

b a

x2 y2

m≠5.
答案:m≥1 且 m≠5 5.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原 5 4 点,则△OAB 的面积为________. 解析:由 c= 5-4=1,知椭圆右焦点为(1,0),则直线方程为 y=2(x-1),联立方程 得
2

x2 y2

?x +y =1, ? ?5 4 ?y=2? x-1? , ?

2

2

5 解得 x1=0,x2= , 3

4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1=-2,y2= . 3 1 1 10 5 ∴S△= ?1?|y1-y2|= ?1? = . 2 2 3 3 5 答案: 3

直线与圆锥曲线的位置关系问题

x2 y2 [例 1] (1)已知直线 y=kx-1 与椭圆 + =1 相切,则 k,a 之间的关系式为 4 a
________________. (2)(2013?沈阳模拟)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同的两点,则
2 2

k 的取值范围是(
A.?- C.?-

) B.?0, D.?-

? ? ? ?

15 15? , ? 3 3 ? 15 ? ,0? 3 ?

? ? ? ?

15? ? 3 ? 15 ? ,-1? 3 ?

?y=kx-1, ? [自主解答] (1)由?x2 y2 ? 4 + a =1, ?
得(a+4k )x -8kx+4-4a=0. 因为直线与椭圆相切,所以 Δ =64k -4?(4-4a)(a+4k )=0, 即 a+4k -1=0. (2)由?
?y=kx+2, ? ? ?x -y =6,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

得(1-k )x -4kx-10=0. ∵直线与双曲线右支有两个不同交点,

3

?Δ =16k -4? 1-k ? ? 4k ∴?x +x = >0, 1-k ?x x = -10 >0, ? 1-k
1-k ≠0,
2 1 2 2 1 2 2

2

2

?? -10? >0,

解得-

15 <k<-1. 3
2

[答案] (1)a+4k -1=0 (2)D ————— —————————————— 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法 研究直线和圆锥曲线的位置关系, 一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方 程组解的个数.对于选择题、填空题,常充分利用几何条件,利用数形结合的方法求解.

1.设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则 直线 l 的斜率取值范围是( ) B.[-2,2] D.[-4,4]
2 2 2 2

2

? 1 1? A.?- , ? ? 2 2?
C.[-1,1]

解析:选 C 由题意得 Q(-2,0).设 l 的方程为 y=k(x+2),代入 y =8x 得 k x +4(k
2 2 2

-2)x+4k =0.当 k=0 时,直线 l 与抛物线恒有一个交点;当 k≠0 时,Δ =16(k -2) - 16k ≥0, 即 k ≤1,得-1≤k≤1,且 k≠0.综上-1≤k≤1.
2 4

弦长与中点弦问题

[例 2] 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦点 F 到直线 x-y+ 2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M,N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取 值范围.

x2 2 2 [自主解答] (1)依题意,可设椭圆方程为 2+y =1,则右焦点为 F( a -1,0). a
| a -1+2 2| 2 由题意,知 =3,解得 a =3. 2
4
2

故所求椭圆的方程为 +y =1. 3 (2)设点 M,N 的坐标分别为 M(xM,yM),N(xN、yN),弦 MN 的中点为 P(xP,yP).

x2

2

?y=kx+m, ? 由?x2 2 ? 3 +y =1, ?

得(3k +1)x +6mkx+3(m -1)=0.

2

2

2

∵直线 y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点, ∴Δ =(6mk) -4(3k +1)?3(m -1)>0?
2 2 2

m2<3k2+1.①
∴xP=

xM+xN
2

3mk m =- 2 ,从而 yP=kxP+m= 2 . 3k +1 3k +1

∴kAP=

yP+1 m+3k2+1 =- . xP 3mk

又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,

m+3k2+1 1 2 则- =- ,即 2m=3k +1.② 3mk k
把②代入①,得 m <2m,解得 0<m<2. 2m-1 1 2 由②,得 k = >0,解得 m> . 3 2 1 综上,m 的取值范围是 <m<2. 2
2

保持本例题条件不变,若直线 y=kx+1 与椭圆相交于不同的两点 M,N,且|MN|=2, 求直线的斜率 k. 解:由(1)可知,椭圆方程为 +y =1. 3

x2

2

?y=kx+1, ? 由?x2 2 ? 3 +y =1, ?
得(3k +1)x +6kx=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 6k 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=0. 3k +1 则|MN|= 1+k |x1-x2| = 1+k
2 2 2 2

? x1+x2?

2

-4x1x2
2

= 1+k |x1+x2|= 1+k ?

2

6|k| =2, 2 3k +1
5

∴36k (1+k )=4(3k +1) =4(9k +6k +1), 即 12k =4. ∴k=± 3 . 3
2

2

2

2

2

4

2

—————

—————————————— 与弦长有关问题的解法

(1)求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是: 将直线方程代入圆锥曲线方程, 消去 y(或 x) 后, 得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax +bx+c=0(或 ay +by+c=0), 再由弦长公式|AB| = 1+k |x1-x2|=
2 2 2

1 1+ 2|y1-y2|,求其弦长.在求|x1-x2|时,可直接利用公式|x1-

k

x2|=

b2-4ac 求得. |a| y1-y2 和 x1+ x1-x2

(2)涉及弦的中点及直线的斜率问题,可考虑用“点差法”,构造出 kAB=

x2,y1+y2,运用整体代入的方法,求中点或斜率,体现“设而不求”的思想.

2. 椭圆 ax +by =1 与直线 x+y-1=0 相交于 A, 两点, 是 AB 的中点, AB=2 2, B C 若

2

2

OC 的斜率为

2 ,求椭圆的方程. 2

解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得

a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.


y1-y2 y1+y2 2 =-1, =kOC= , x1-x2 x1+x2 2

代入上式可得 b= 2a. 再由|AB|= 1+k |x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, 其中 x1,x2 是方程(a+b)x -2bx+b-1=0 的两根, 故?
2 2

? 2b ?2-4?b-1=4,将 b= 2a 代入得 a=1,b= 2. ? a+b 3 3 ?a+b?
2 2

x 2y 故所求椭圆的方程是 + =1. 3 3
圆锥曲线中最值(或取值范围)问题

[例 3] 已知椭圆 +y =1 的左焦点为 F,O 为坐标原点. 2

x2

2

6

(1)求过点 O,F,并且与直线 l:x=-2 相切的圆 M 的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围. [自主解答] (1)∵a =2,b =1,∴c=1,F(-1,0), 1 ∵圆过点 O,F,∴圆心 M 在直线 x=- 上. 2
2 2

? 1 ? ?? 1? ? 3 设 M?- ,t?,则圆半径 r=??- ?-? -2? ?= , ? 2 ? ?? 2? ? 2
由|OM|=r,得 解得 t=± 2, 9 ? 1?2 2 ∴所求圆的方程为?x+ ? +(y± 2) = . 4 ? 2? (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),代入 +y =1,整理得(1+2k )x +4k x+ 2 2k -2=0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于 x 轴, ∴方程有两个不等实根. 如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0),则 x1+x2 4k 1 2k k =- 2 ,x0= (x1+x2)=- 2 ,y0=k(x0+1)= 2 , 2k +1 2 2k +1 2k +1 ∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为
2 2 2

?-1?2+t2=3, ? 2? 2 ? ?

x2

2

2

2

2

y-y0=- (x-x0). k
2k k k 1 1 令 y=0,得 xG=x0+ky0=- 2 + 2 =- 2 =- + 2 , 2k +1 2k +1 2k +1 2 4k +2 1 ∵k≠0,∴- <xG<0, 2
2 2 2

1

? 1 ? ∴点 G 横坐标的取值范围为?- ,0?. ? 2 ?
————— —————————————— 求最值与范围问题的方法 求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似. 求最值常见的解法有两种: 代数法和 几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,若 题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立起目标函数, 再求这个函数的 最值.

7

1 2 3.已知抛物线 C:x =2py(p>0),其焦点 F 到准线的距离为 . 2 (1)试求抛物线 C 的方程; (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t>0),过 P 的直线交 C 于另一点 Q,交 x 轴于 M, 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N,若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值. 1 1 解:(1)∵焦点 F 到准线的距离为 ,∴p= . 2 2 故抛物线 C 的方程为 x =y. (2)设 P(t,t ),Q(x,x ),N(x0,x0), 则直线 MN 的方程为 y-x0=2x0(x-x0)
2 2 2 2 2

? ? 令 y=0,得 M? ,0?, ?2 ?
x0
∴kPM=

t-

2 t2 2t = , x0 2t-x0

2

x2-x2 0 kNQ= =x0+x. x0-x
∵NQ⊥QP,且两直线斜率存在,∴kPM?kNQ=-1, 即 2t ?(x0+x)=-1, 2t-x0
2 2

2t x+2t 整理得 x0= 2 .① 1-2t 又 Q(x,x )在直线 PM 上, 则 MQ― →与 MP 共线,得 x0=
2 2

????

2xt .② x+t

2t x+2t 2xt 由①②得 (t>0), 2 = 1-2t x+t

x2+1 ?x 1 ? ∴t=- =-? + ?. 3x ?3 3x?
2 2 ∴t≥ 或 t≤- (舍去). 3 3 2 ∴所求 t 的最小值为 . 3

? 2 种思想——函数与方程思想和数形结合思想在解决直线与圆锥曲线问题中的应用 直线与圆锥曲线位置关系的判断、 有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思 想和数形结合思想的考查,一直是高考考查的重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中
8

点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的 热点题型. ? 3 类问题——圆锥曲线中的三类问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组,然后判断方程组是否有解,有几个解,这 是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法,注意:在没有给出直线方程时, 要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论,避免漏解. (2)证明定点和定值问题的方法 定点和定值问题的证明方法有两种: 一是研究一般情况, 通过逻辑推理与计算得到定点 或定值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好寻找;另外一种方法就是先利用特殊情况 确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方向. (3)圆锥曲线中常见的最值问题及解法 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类: ①涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些 问题; ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. 求最值常见的解法有几何法和代数法.

答题模板——圆锥曲线中的探索性问题

[典例] (2012?福建高考?满分 13 分)如图, 椭圆 E: 2+ 2=1(a 1 >b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆 2 于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l: =kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P, y 且与直线 x=4 相交于点 Q. 试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

x2 y2 a b

[快速规范审题] 第(1)问: 1.审条件,挖解题信息

9

1 观察条件:椭圆方程及左、右焦点 F1,F2,离心率 e= ,△ABF2 的周长为 2

c 椭圆定义及离心率公式 8 ― ― ― ― ― ― △ABF2 的周长为 4a,e= . ― ― ― ― ― → a
2.审结论,明确解题方向 观察所求结论:求椭圆的方程― →需建立关于 a,b,c 的方程组求解. 3.建联系,找解题突破口

c 1 a2=b2+c2 代入椭圆方程 2 由条件可得 4a=8, = ― ― ― ― →可得 a=2,b =3 ― ― ― ― →得 E 的方 ― ― ― ― ― ― ― ― a 2
程 + =1. 4 3 第(2)问: 1.审条件,挖解题信息 联立方程,消元 观察条件: 直线 l 与椭圆 E 相切于点 P, 与直线 x=4 相交于点 Q― ― ― ― →得判别 ― ― ― ― 式 Δ =0 及 P,Q 的坐标. 2.审结论,明确解题方向 假设M存在 观察所求结论:探索是否存在点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M问题转化为 ― ― ― ― ― →

x2 y2

? ???? ???? MP ? MQ =0 恒成立.
3.建联系,找解题突破口
???? ???? ? ? ? 由条件分析的位置并设出 M 的坐标(x1,0) ??????? 得到关于参数 m,k,x1 代入等式 MP · =0 MQ ???? ???? ? ? 写出向量 MP, 的坐标 MQ

对任意m,k恒成立 判别是否有解 的方程 ― ― ― ― ― ― ― → 得关于 x1 的方程组 ― ― ― 结论., ― ― → [准确规范答题] (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,?(1 分) 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,?(2 分) 所以 4a=8,a=2. 1 c 1 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1,?(3 分) 2 a 2 所以 b= a -c = 3. 故椭圆 E 的方程是 + =1.?(4 分) 4 3
2 2

易忽视定义 的应用.

x2 y2

?y=kx+m, ? (2)由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ?

消去 y 得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0.?(5 分)

2

2

2

10

因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0), 所以 m≠0 且 Δ =0,?(6 分) 即 64k m -4(4k +3)(4m -12)=0, 化简得 4k -m +3=0.
2 2 2 2 2 2

(*)?(7 分)

4km 4k 3 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= , 4k +3 m m

? 4k 3? 所以 P?- , ?.?(8 分) ? m m?
?x=4, ? 由? ? ?y=kx+m,

忽视圆的对称性, 判断不出 M 必在 x 轴上.

得 Q(4,4k+m).?(9 分)

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知, 点 M 必在 x 轴上.?(10 分) 设 M(x1,0),则 MP ? MQ =0 对满足(*)式的 m,k 恒成立.

????

???? ?

???? ? 4k 3? 因为 MP =?- -x1, ?,
m? ? m ???? ? MQ =(4-x1,4k+m), ? ???? ???? 由 MP ? MQ =0, m m

对于方程(4x1 -4)? +

k m

16k 4kx1 12k 2 得- + -4x1+x1+ +3=0,

m

x12-4x1+3=0 不会利用
对 m,k 恒成立,求解 x1.

k 2 整理,得(4x1-4) +x1-4x1+3=0.(**) m
?(11 分) 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,
?4x1-4=0, ? 所以? 2 ? ?x1-4x1+3=0,

解得 x1=1.?(12 分)

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.?(13 分)

[答题模板速成]

解决解析几何中的探索性问题的一般步骤:

第一步 提假设 假设结论 ?

第二步 作推理 以假设 ?

第三步 来证 明 明确规范结 ?

第四步 下结论 回顾反思

11

成立

为条件, 进行推 理求解

论,若能推出 合理结果,经 验证成立即可 肯定正确.若 推出矛盾,即 否定假设

解题过程

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直 线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是( A.k>- )

x2 y2 a b

b a b a

B.k<

b a b a b a

C.k> 或 k<-

b a

D.- <k<

解析:选 D 由双曲线渐近线的几何意义知- <k< . 2.直线 y=kx+1,当 k 变化时,此直线被椭圆 +y =1 截得的最大弦长等于( 4 A.4 C.2 B. 4 3 3

b a

b a

x2

2

)

D.不能确定

解析:选 B 直线 y=kx+1 恒过点(0,1),该点恰巧是椭圆 +y =1 的上顶点,椭圆的 4 长轴长为 4,短轴长为 2,而直线不经过椭圆的长轴和短轴,因此排除 A、C;将直线 y=kx +1 绕点(0,1)旋转,与椭圆有无数条弦,其中必有最大弦长,因此排除 D. 3.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c, 若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c, 则椭圆的离心率为( A. C. 3 2 2 2 ) B. 3-1 D. 2-1

x2

2

x2 y2 a b

12

解析:选 D 依题意直线 y=2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c),所以 2+

c2 4c2 =1,又 a b2

b2=a2-c2,消去 b 整理得 a2-2ac-c2=0,所以 e2+2e-1=0,解得 e=-1± 2.
又 e∈(0,1),所以 e= 2-1. 4.(2013?温州模拟)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上 的一点, FA 与 x 轴正方向的夹角为 60°,则| OA |为( A. C. 21p 4 13 p 6 B. D. 21p 2 13 p 36
2

??? ?

??? ?

)

解析: B 如图, A 作 AD⊥x 轴于 D, FD|=m, FA|=2m, AD| 选 过 令| 则| | = 3m,由抛物线定义知|FA|=|AB|,即 p+m=2m,∴m=p. ∴| OA |=

??? ?

?p+p?2+? ?2 ? ? ?
)

3p?

2



21 p. 2
2

5.(2013?清远模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一 个公共点,这样的直线有( A.1 条 C.3 条

B.2 条 D.4 条

解析:选 C 设过点(0,1)斜率为 k 的直线方程为 y=kx+1. 由?
? ?y=kx+1, ? ?y =4x,
2

得 k x +(2k-4)x+1=0.(*)

2 2

当 k=0 时,(*)式只有一个根; 当 k≠0 时,Δ =(2k-4) -4k =-16k+16, 由 Δ =0,即-16k+16=0 得 k=1. 所以 k=0,或 k=1 时,直线与抛物线只有一个公共点, 又直线 x=0 和抛物线只有一个公共点. 6.(2013?绍兴模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),M,N 是双曲线上关于原点对称 的两点,P 是双曲线上的动点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2| 的最小值为 1,则双曲线的离心率为( A. 2 C. 3 2 ) B. D. 5 2 3 2
2 2

x 2 y2 a b

解析:选 B 设 M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y)
13

则 k1=

y-y0 y+y0 ,k2= . x-x0 x+x0 x2 y2 a b
2

又∵M,N,P 都在双曲线 2- 2=1 上,
?b x0-a y0 =a b , ? ∴? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x -a y =a b .
2 2 2 2 2 2

∴b (x -x0 )=a (y -y0 ).

2

2

2

2

2



x-x0 a2 y+y0 1 a2 = 2 ? .∴ = 2|k2|, y-y0 b x+x0 |k1| b
2

b 2b 即|k1|?|k2|= 2.又∵|k1|+|k2|≥2 |k1||k2|= , a
2

a
2



2b

a
2

=1,即 4b =a .∴4(c -a )=a ,即 4c =5a .

2

2

2

2

2

c 5 5 5 2 ∴ 2= .即 e = ,∴e= . a 4 4 2
二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7. 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点, l 的方程是________. 则 36 9 解析:设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

两式相减得

y1-y2 x1+x2 =- . x1-x2 4? y1+y2?

又 x1+x2=8,y1+y2=4, 所以

y1-y2 1 1 =- ,故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. x1-x2 2 2

答案:x+2y-8=0 8.一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 x =4y 上,且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的方 程为________. 解析:由于 A(0,1)为抛物线的焦点,由抛物线定义可知,圆心到 A 点的距离等于到准 线的距离,故 l:y=-1. 答案:y=-1 9.(2012?重庆高考)过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB| 25 = ,|AF|<|BF|,则|AF|=________. 12
2 2

?y =2x, ?x-1?,联立得? 解析:设过抛物线焦点的直线为 y=k? ? ? ? 1? ? 2? ?y=k?x-2?, ? ? ?

2

整理得 k x -

2 2

14

1 2 2 (k +2)x+ k =0, 4

k2+2 1 x1+x2= 2 ,x1x2= . k 4 k2+2 25 2 |AB|=x1+x2+1= 2 +1= ,得 k =24, k 12
1 2 2 2 2 2 代入 k x -(k +2)x+ k =0 得 12x -13x+3=0, 4 1 3 解得 x1= ,x2= .又|AF|<|BF|, 3 4 1 5 故|AF|=x1+ = . 2 6 5 答案: 6 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b .
2 2

y2 b

?y=x+c, ? 设 A(x1, 1), (x2, 2), A, 两点坐标满足方程组? 2 y2 y B y 则 B ?x +b2=1, ?
+2cx+1-2b =0. -2c 1-2b 则 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+b 1+b 因为直线 AB 的斜率为 1, 4 所以|AB|= 2|x2-x1|,即 = 2|x2-x1|. 3 8 4? 1-b? 2 则 =(x1+x2) -4x1x2= 2 9 ? 1+b ? 解得 b= 2 . 2 4? 2-
2 2 2

化简得(1+b )x

2

2

1-2b ? 8b = 2 2 1+b ? 1+b ?

2

4

2



11.(2013?株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,△ABC 的三个
15

顶点都在抛物线上, 且△ABC 的重心为抛物线的焦点, BC 所在直线 l 的方程为 4x+y-20 若 =0. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点,且满足 PO⊥OQ,证明:直线 PQ 过 定点. 解:(1)设抛物线 C 的方程为 y =2mx,
?4x+y-20=0, ? 由? 2 ? ?y =2mx,
2

得 2y +my-20m=0.

2

∵Δ >0,∴m>0 或 m<-160. 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2=- , 2 ∴x1+x2=?5- ?+?5- ?=10+ . 8 ? 4? ? 4?

m

?

y1? ?

y2?

m

? ? 再设 A(x3,y3),由于△ABC 的重心为 F? ,0?, ?2 ?
m

?x +x +x =m, ? 3 2 则? y +y +y ? ? 3 =0,
1 2 3 1 2 3

?x =11m-10, ? 8 解得? m ? ?y =2.
3 3

?m?2 ?11m ? ∵点 A 在抛物线上,∴? ? =2m? -10?. 2? ? ? 8 ?
∴m=8,抛物线 C 的方程为 y =16x. (2)证明:当 PQ 的斜率存在时, PQ 的方程为 y=kx+b, 设 显然 k≠0,b≠0, PO⊥OQ, ∵ ∴kPOkOQ=-1,设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0. 将直线 y=kx+b 代入抛物线方程,得 ky -16y+16b=0, 16b yPyQ b ∴yPyQ= .从而 xPxQ= 2 = 2, k 16 k
2 2 2 2 2

b 16b ∴ 2+ =0.∵k≠0,b≠0,整理得 b=-16k. k k
∴直线 PQ 的方程为 y=kx-16k,PQ 过点(16,0); 当 PQ 的斜率不存在时,显然 PQ⊥x 轴,又 PO⊥OQ, ∴△POQ 为等腰三角形.由?
?y=|x|, ? ? ?y =16x,
2

2

得 P(16,16),Q(16,-16),此时直线 PQ 过点(16,0), ∴直线 PQ 恒过定点(16,0).

16

12.(2012?天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆 上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. 1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. 解:(1)设点 P 的坐标为(x0,y0).由题意,有

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 + =1.① a2 b2
由 A(-a,0),B(a,0)得 kAP=

y0

x0+a

,kBP=

y0

x0-a

.

1 2 2 2 2 2 2 由 kAP?kBP=- ,可得 x0=a -2y0,代入①并整理得(a -2b )y0=0. 2 由于 y0≠0,故 a =2b .于是 e =
2 2 2

a2-b2 1 2 = ,所以椭圆的离心率 e= . 2 a 2 2

(2)证明:法一:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).由条件

?y0=kx0, ? 得?x2 y2 0 0 ?a2+b2=1. ?
消去 y0 并整理得 x0=
2

a2b2 .② k a +b2
2 2

由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0, 得(x0+a) +k x0=a .整理得(1+k )x0+2ax0=0. -2a 而 x0≠0,于是 x0= 2,代入②, 1+k 整理得(1+k ) =4k ? ? +4. b
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?a?2 ? ?

由 a>b>0,故(1+k ) >4k +4,即 k +1>4,因此 k >3,所以|k|> 3. 法二:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0). 由点 P 在椭圆上,有 2+ ③ 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a) +k x0=a ,整理得(1+k )x0+2ax0=0,于是 x0 -2a 4a 2 = 2.代入③,得(1+k ) 2 1+k ? 1+k ?
2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

2

x2 k2x2 x2 k2x2 0 0 0 0 2 2 2 2 =1.因为 a>b>0,kx0≠0,所以 2+ 2 <1,即(1+k )x0<a . a b a a

<a ,解得 k >3,所以|k|> 3.

2

2

17

1.P 为双曲线 y - =1 下支上一点,M,N 分别是圆 x +(y-4) =4 和 x +(y+4) = 15 1 上的点,则|PM|-|PN|的最小值为________. 解析:已知两圆圆心(0,4)(0,-4)(记为 F1 和 F2) 恰为双曲线 y - =1 的两焦点. 15 当|PM|最小,|PN|最大时,|PM|-|PN|最小. |PM|的最小值为 P 到圆心 F1 的距离|PF1|与圆 F1 半径之差,同样,PNmax=|PF2|+1,从 而(|PM|-|PN|)=|PF1|-2-|FP2|-1=|PF1|-|PF2|-3=-1. 答案:-1 8 3 2.以直线 x±2y=0 为渐近线,且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线方程为 3 ________. 解析:设双曲线方程为 x -4y =λ ,
?x -4y =λ , ? 联立方程组? ? ?x-y-3=0,
2 2 2 2 2

2

x2

2

2

2

2

x2

消去 y,得 3x -24x+(36+λ )=0. 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),

2

?x +x =8, ? 36+λ , 那么,?x x = 3 ?Δ =24 -1236+λ >0. ?
1 2 1 2 2

所以|AB|= ? = ?

1+k ?

2

[? x1+x2?

2

-4x1x2] 8? 12-λ ? 3 8 3 = . 3

? 1+1? ?8 -4? ?
2

36+λ ? = 3 ? ?

解得 λ =4,故所求双曲线方程是 -y =1. 4 答案: -y =1. 4 3.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且 OP ⊥ OQ (O 为坐 标原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值;

x2

2

x2

2

x2 y2 a b

??? ?

????

a

b

(2)当离心率 e∈?

2? ? 3 , ?时,求长轴长的取值范围. 3 2 ? ?

18

?x +y =1, ? 2 2 解:(1)证明:由?a b ?x+y-1=0, ?
得(a +b )x -2a x+a (1-b )=0. 由 Δ =4a -4(a +b )a (1-b )>0 得 a +b >1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= 2a , a +b2
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

a2? 1-b2? x1?x2= . a2+b2
∵ OP ⊥ OQ , ∴x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1 = 2a ?
2

??? ?

????

1-b ? 2a - 2 +1=0, 2 a +b a +b2
2 2 2 2 2

2

2

化简得 a +b =2a b . 1 1 ∴ 2+ 2=2 为定值.

a

b

(2)∵e= ,b =a -c ,a +b =2a b , 2-e 1 ∴a = = + 2 2? 1-e ? 2 2?
2 2

c a

2

2

2

2

2

2 2

1 . 2 1-e ?

又∵e∈?

2? ? 3 , ?, 3 2? ?

5 2 3 ∴ ≤a ≤ , 4 2 即 5 6 ≤a≤ .∴2a∈[ 5, 6 ]. 2 2

∴长轴长的取值范围是[ 5, 6 ].

19


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