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1.1.3集合的基本运算2


1.1.3 集合的基本运算(2)

复习:
? 1 交集的定义 一般地,由所有属于集合A且属于 集合B的元素所组成的集合,叫做A与B 的交集,记作A∩B,即A∩B={x∣x∈A, 且 x∈ B } .
A
A∩B B

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? 2 交集的性质

(1)(A∩B)? A,
(A∩B)? B

(2)A∩A=A
(3)A∩Ф =Ф

(4)A∩B=B∩A
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? 3 并集的定义 一般地,由所有属于集合A或属于 集合B的元素所组成的集合,叫做A与B 的并集,记作A∪B,即A∪B={x∣x∈A, 或 x∈ B } .
A B

返回

? 4 并集的性质 (1)(A∪B)? A, (A∪B)? B (2)A∪A=A (3)A∩Ф =Ф

(4)A∪B=B∪A

返回

新 课

在下面的范围内求方程 ?x ? 2? x ? 3 ? 0 的解集:
2

?

?

(1)有理数范围; (2)实数范围.
并回答不同的范围对问题结果有什么影响?

解:(1)在有理数范围内只有一个解2,即:

?x ? Q ?x ? 2??x ?x ? R ?x ? 2??x

2

? 3 ? 0 ? ?2?

? ?

(2)在实数范围内有三个解2, 3 , ? 3 ,即:
2

? 3 ? 0 ? 2, 3 ,? 3

? ? ?

?

全集概念

一般地,如果一个集合含有我们所研究问题 中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作U.
U

补集概念
对于一个集合A ,由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集, 简称为集合A的补集.

记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明:补集的概念必须要有全集的限制. Venn图表示:

U
A A

例1.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 A, B.
解:根据题意可知:
U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以: A={4,5,6,7,8}, B={1,2,7,8}.
说明:可以结合Venn图来解决此问题.

已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A={ 2, 4, 5 }, B={ 1, 3, 7 },求A,B的补集。 U

6

A 2 4 5

B 1 3 7

例2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B, (A∪B) 解:根据三角形的分类可知 A∩B= ? , A∪B= {x|x是锐角三角形或钝角三角形}, (A∪B)={x|x是直角三角形}.

几点说明
(1)补集是相对全集而言,离开全集谈补集没有意义; (2)若B= ? UA,则A=? UB, 即? U(?UA)=A; (3) ? UU=?, ? U?=U.

(4) A ? (CU A) ? U ; A ? (CU A) ? ?
(5) ? U(A∪B)=(? UA) ∩(? UB) ? U(A∩B)=(? UA) ∪(? UB)

?2 x ? 2 ? 0, 例3:不等式 ? 的解集为A, ?x ? 3 ? 0
U=R,求A和 ? U A,将它们表示在数轴上.

例4:设全集U={2,3,a2+2a-3}, A={b,2}, ? U A={5},求实数a、b的值.

知识小结
1.求集合的并、交、补是集合间的基本运算, 运算结果仍然还是集合. 2.区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件. 3.注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法.

作业
? P12

习题1.1 T 9,10


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