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2014高考数学第一轮复习精品学案第13讲


普通高考数学科一轮复习精品学案 第 13 讲 直线与圆的方程

一.课标要求: 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素; (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过 两点的直线斜率的计算公式; (3)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点 式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系; 2.圆与方程 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 二.命题走向 直线方程考察的重点是直线方程的特征值(主要是直线的斜率、截距)有关问题,可与 三角知识联系;圆的方程,从轨迹角度讲,可以成为解答题,尤其是参数问题,在对参数的 讨论中确定圆的方程。 预测对本讲的考察是: (1)2 道选择或填空,解答题多与其他知识联合考察,本讲对于数形结合思想的考察 也会是一个出题方向; (2)热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。 三.要点精讲 1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜 角,范围为 ?0, ? ? 。 2.斜率:当直线的倾斜角不是 90 时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=tan ? ;
0

当直线的倾斜角等于 90 时,直线的斜率不存在。 过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan ? ?
0

0

y2 ? y1 (若 x1=x2, x2 ? x1

则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90 )。 4.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形 式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 斜截式 点斜式 方程 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直线 上两个已知点 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式

y=kx+b y-y0=k(x-x0)

两点式

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x 2 ? x1

截距式

x y + =1 a b

a——直线的横截距 b——直线的纵截距

1

一般式

Ax+By+C=0

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

斜率、横截距和纵截距

A、B 不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能表示 平行或重合两坐标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 5.圆的方程 圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) 。特殊
2 2 2

地,当 a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的方程为: x ? y ? r 。
2 2 2

圆 的 一 般 方 程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆 心 为 点 (?
2 2

D E ,? ) , 半 径 2 2

r?

D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ,其中 D ? E ? 4F ? 0 。 2
二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 表示圆的方程的充要条件是: ①、
2 2

x 2 项 y 2 项 的 系 数 相 同 且 不 为 0 , 即 A ? C ? 0 ; ② 、 没 有 xy 项 , 即 B=0 ; ③ 、

D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 。
四.典例解析 题型 1:直线的倾斜角 例 1. 图中的直线 l1、 2、 3 的斜率分别为 k1、 2、 3, ( l l k k 则 ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 答案:D 解析:直线 l1 的倾斜角 α 1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α 2、α 3 均为锐角,且 α 2>α 3,所以 k2>k3>0,因此 图 k2>k3>k1,故应选 D。 点评:本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系,考查数形结合的能力。
y B

例 2.过点 P(2,1)作直线

分别

θ
O

P(2,1)

θ
A x

交 x 轴、 轴的正半轴于 A、 两点, y B 求

2

的值最小时直线

的方程。

解析:依题意作图,设∠BAO=











,即



的值最小,此时直线

的倾斜角为 135°,

∴斜率



故直线

的方程为

,即



点评:求直线方程是解析几何的基础,也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和 直线方程的五种形式外,还要用到一些技巧。 题型 2:斜率公式及应用

3

例 3. 设实数 x, 满足 (1) y

, 则

的最大值是___________。

(2)已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点。 (1)证明点 C、D 和原点 O 在同一条直线上。 (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标。

解析: (1) 如图, 实数 x, 满足的区域为图中阴影部分 y (包括边界) 而 ,

表示点 x, ) ( y 与原点连线的斜率, 则直线 AO 的斜率最大, 其中 A 点坐标为



此时

,所以

的最大值是



点评:本题还可以设

,则

,斜率 k 的最大值即为

的最大值,但求解颇费周折。 (2)证明:设 A、B 的横坐标分别为 x1,x2,由题设知 x1>1,x2>1,点 A(x1,log8x1),

B(x2,log8x2).

4

因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log 8 x1 log 8 x 2 ? , x1 x2

又点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2) 由于 log2x1=

log 8 x1 log 8 x 2 =3log8x1,log2x2= =3log8x2, log 8 2 log 8 2

所以 OC 的斜率和 OD 的斜率分别为

k OC ?

log 2 x1 3 log 8 x1 log 2 x2 3 log 8 x2 ? , k OD ? ? 。 x1 x1 x2 x2

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一条直线上。 3 由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,解得 x2=x1 将其代入

log 8 x1 log 8 x 2 3 ? ,得 x1 log8x1=3x1log8x1. x1 x2
3

由于 x1>1,知 log8x1≠0,故 x1 =3x1,x1=

3 ,于是点 A 的坐标为( 3 ,log8 3 ).

点评: 本小题主要考查对数函数图象、 对数换底公式、 对数方程、 指数方程等基础知识, 考查运算能力和分析问题的能力。

例 4.当

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值是( ) sin 2 x

A.2

B.

C.4

D.

解析:原式化简为

,则 y 看作点 A(0,5)与点

5

的连线的斜率。

因为点 B 的轨迹是



过 A 作直线

,代入上式,由相切(△=0)可求出

,由

图象知 k 的最小值是 4,故选 C。 点评: 也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。 但将问题转化为直线 与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。 题型 3:直线方程

例 5.已知直线的点斜式方程为

,求该直线另外三种特殊形式的方程。

解析: (1) 将

移项、 展开括号后合并, 即得斜截式方程



(2)因为点(2,1)、(0, 直线上的两点。

)均满足方程

,故它们为

6

由两点式方程得:



(3)由

知:直线在 y 轴上的截距

又令

,得

故直线的截距式方程

点评: 直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系, 它是直线在不同条件下的不同 表现形式,要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时,要根据问题的条件、结论,灵活恰 当地选用公式,使问题解得简捷、明了。

例 6.直线

经过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为 5,

求直线

的方程。

解析:设所求直线

的方程为



7

∵直线

过点 P(-5,-4),

,即



又由已知有

,即



解方程组

,得:



故所求直线

的方程为:

,或





,或

点评:要求

的方程,须先求截距 a、b 的值,而求截距的方法也有三种:

(1)从点的坐标



中直接观察出来;

(2)由斜截式或截距式方程确定截距;

8

(3)在其他形式的直线方程中,令



轴上的截距 b;令

得出 x 轴上的截距 a。 总之,在求直线方程时,设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时 善于观察,勤于思考,常常能起到事半功倍的效果。 题型 3:直线方程综合问题 例 5. 在直角坐标系 xOy 中, 已知△AOB 三边所在直线的方程分别为 x=0, =0, x+3y=30, y 2 则△AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( ) A.95 B.91 C.88 D.75 答案:B 解析一: y=10- 由

2 2 x (0≤x≤15, ∈N) x 转化为求满足不等式 y≤10- x (0≤x≤15, 3 3

x∈N)所有整数 y 的值.然后再求其总数.令 x=0,y 有 11 个整数,x=1,y 有 10 个,x=2 或 x=3 时,y 分别有 9 个,x=4 时,y 有 8 个,x=5 或 6 时,y 分别有 7 个,类推:x=13 时 y 有 2 个,x=14 或 15 时,y 分别有 1 个,共 91 个整点.故选 B。 解析二: x=0,=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形. 将 y
如图所示。 对角线上共有 6 个整点,矩形中(包括边界)共有 16×11=176. 因此所求△AOB 内部和边上的整点共有

176 ? 6 =91(个) 2



点评:本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑, 通过不等式解等知识探索解题途径。 例 6.已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上。 (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)设过点 P,且斜率为-

3 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点。

(i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围。 (Ⅰ)解法一,依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲线 M 2 的方程为 y =4x. 解法二:设 M(x,y),依题意有|MP|=|MN|, 所以|x+1|=

( x ? 1) 2 ? y 2 。化简得:y2=4x。

(Ⅱ)(i)由题意得,直线 AB 的方程为 y=-

3 (x-1).



9

由?

? ? y ? ? 3 ( x ? 1), 2 消 y 得 3x -10x+3=0, 2 ? y ? 4 x. ?
1 ,x2=3。 3
1 2 3 , ),B 点坐标为(3,-2 3 ), 3 3

解得 x1=

所以 A 点坐标为(

|AB|=x1+x2+2=

16 。 3

假设存在点 C(-1,y),使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即

16 ? (3 ? 1) 2 ? ( y ? 2 3 ) 2 ? ( ) 2 , ① ? 3 ? ? ?( 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? (16 ) 2 . ② ? 3 3 3 ?
由①-②得 4 +(y+2
2

2 3 2 4 3 )2=( )2+(y- ), 3 3

解得 y=-

14 3 。 9

但 y=-

14 3 不符合①, 9

所以由①,②组成的方程组无解。 因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形。 (ii) 解法一: C 设 (-1, ) y 使△ABC 成钝角三角形, ? 由

? y ? ? 3 ( x ? 1), ? x ? ?1.

得 y=2

3,

即当点 C 的坐标为(-1,2

3 )时,A、B、C 三点共线,故 y≠2 3 。

又|AC| =(-1-

2

2 3 2 28 4 3 y 2 1 2 ? ) +(y- )= +y , 3 9 3 3
3 )2=28+4 3 y+y2,

|BC| =(3+1) +(y+2 |AB| =(
2

2

2

16 2 256 )= 。 9 3
| AB | 2 ? | AC | 2 ? | BC | 2 <0。 2 | AB | ? | AC |
10

当∠CAB 为钝角时,cosA=

即|BC| >|AC| +|AB| ,即 28 ? 4
2 2 2

3y ? y 2 ?

28 4 3 256 ? y ? y2 ? , 9 3 9

即 y>

2 3 时,∠CAB 为钝角。 9
2 2 2

当|AC| >|BC| +|AB| ,即

28 4 3 256 ? y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? , 9 3 9

即 y<-

10 3 时,∠CBA 为钝角。 3
2 2

又|AB| >|AC| +|BC| ,即

2

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 9 9 3

即y

2

?

4 4 2 2 3 y ? ? 0, ( y ? ) ? 0。 3 3 3

该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角。 因 此 , 当 △ABC 为 钝 角 三 角 形 时 , 点 C 的 纵 坐 标 y 的 取 值 范 围 是

y??

10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) 。 3 9

解法二:以 AB 为直径的圆的方程为(x-

2 8 5 2 3 )2=( )2。 ) +(y+ 3 3 3

圆心(

8 5 2 ,? 3 )到直线 l:x=-1 的距离为 , 3 3 3
2 3 )。 3

所以,以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G(-1,-

当直线 l 上的 C 点与 G 重合时,∠ACB 为直角,当 C 与 G 点不重合,且 A、B、C 三点不 共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角。 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角。 过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 y ?

2 3 3 1 ? (x ? ) 。 3 3 3

令 x=-1 得 y=

2 3 。 9 3? 3 (x-3)。 3
11

过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 y+2

令 x=-1 得 y=-

10 3。 3
解得 y=2

又由 ?

? y ? ? 3 ( x ? 1), ? x ? ?1.

3,

所以,当点 C 的坐标为(-1,2

3 )时,A、B、C 三点共线,不构成三角形。

因此, 当△ABC 为钝角三角形时, C 的纵坐标 y 的取值范围是 y<- 点

10 3 2 3 或 y> 3 9

(y≠2

3 )。

点评:该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注重学科 知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的 能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对 思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求 也较高,有较好的区分度。 题型 4:圆的方程 例 7.(1)已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0), 求△ABC 外接圆的方程。 分析:如果设圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,将三个顶点坐标分别代入,即可
2 2 2

确定出三个独立参数 a,b,r,写出圆的标准方程;如果注意到△ABC 外接圆的圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点,由此可求圆心坐标和半径,也可以写出圆的标准方程。 解法一:设所求圆的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2



因为 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程①,于是

? (4 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(6 ? a) ? (?3 ? b) ? r , ? (?3 ? a)2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 . ?

? a ? 1, ? 可解得 ? b ? ?3, ? r 2 ? 25. ?
2 2

所以△ABC 的外接圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25 。 解法二:因为△ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, 所以先求 AB、BC 的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心坐标。

?3 ? 1 0 ? (?3) 1 ? ?2 , k BC ? ? ? ,线段 AB 的中点为(5,-1),线段 BC 6?4 ?3 ? 6 3 3 3 的中点为 ( , ? ) , 2 2
∵ k AB ?

12

∴AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ? ①

1 ( x ? 5) , 2
C

y A O x E B

3 3 BC 的垂直平分线方程 y ? ? 3( x ? ) 2 2
? x ? 1, 解由①②联立的方程组可得 ? ? y ? ?3.
∴△ABC 外接圆的圆心为E(1,-3), 半径 r ?| AE |?



图 4-1

(4 ? 1) ? (1 ? 3) ? 5 。
2 2

故△ABC 外接圆的方程是 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25 .
2 2

点评:解法一用的是“待定系数法”,解法二利用了圆的几何性质。 (2)求过 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)三点的圆的方程,并求这个圆的半 径长和圆心坐标。 分析:细心的同学已经发现,本题与上节例 1 是相同的,在那里我们用了两种方法求圆的方 程.现在再尝试用圆的一般方程求解(解法三),可以比较一下哪种方法简捷。 解析:设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2



因为三点 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圆上,所以它们的坐标都是方程 ①的解,将它们的坐标分别代入方程①,得到关于 D,E,F 的一个三元一次方程组:

? 42 ? 12 ? 4 D ? E ? F ? 0 ? D ? ?2 ? ? 2 2 ? 6 ? (?3) ? 6 D ? 3E ? F ? 0 ,解得 ? E ? 6 。 ? F ? ?15 ?(?3)2 ? 02 ? 3D ? 0 ? E ? F ? 0 ? ?
所以,圆的方程是 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 15 ? 0 。
2 2

圆心是坐标(1,-3),半径为 r ?

1 D2 ? E 2 ? 4F ? 5 。 2

点评:“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般地,在选用圆的方程形式时,若 问题涉及圆心和半径,则选用标准方程比较方便,否则选用一般方程方便些。

例 8.若方程



(1)当且仅当

在什么范围内,该方程表示一个圆。

13

(2)当

在以上范围内变化时,求圆心的轨迹方程。

解析:(1)由





当且仅当

时,



时,给定的方程表示一个圆。

(2)设圆心坐标为

,则



为参数)。

消去参数
2 2



为所求圆心轨迹方程。

点 评 : 圆 的 一 般 方 程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆 心 为 点 (?

D E ,? ) , 半 径 2 2

r?

D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ,其中 D ? E ? 4F ? 0 。 2

题型 5:圆的综合问题 例 9.如图 2,在平面直角坐标系中,给定 y 轴正半轴上两点 A(0,a),B(0,b)

14



),试在 x 轴正半轴上求一点 C,使∠ACB 取得最大值。

解析:设 C 是 x 轴正半轴上一点,在△ABC 中由正弦定理,有



其中 R 是△ABC 的外接圆的半径。 可见,当 R 取得最小值时,∠ACB 取得最大值。 在过 A、 两定点且与 x 轴正向有交点 C 的诸圆中, B 当且仅当点 C 是圆与 x 轴的切点时, 半径最小。故切点 C 即为所求。

由切割线定理,得:

所以

,即点 C 的坐标为

时,∠ACB 取得最大值。

点评:圆是最简单的二次曲线,它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一 些数学问题,若能作一个辅助圆,可以沟通题设与结论之间的关系,从而使问题得解,起到 铺路搭桥的作用。 例 10.已知⊙O′过定点 A(0,p)(p>0),圆 2 心 O′在抛物线 x =2py 上运动,MN 为圆 O′截 x 轴所得的弦,令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ 。 (1)当 O′点运动时,|MN|是否有变化? 并证明你的结论; (2)求 值的 θ 值。 解析:设 O′(x0,y0),则 x0 =2py0 (y0≥0),
2

d1 d 2 + 的最大值,并求取得最大 d 2 d1

15

2 2 2 2 2 2 ⊙O′的半径|O′A|= x0 ? ( y 0 ? p ) , ⊙O′的方程为(x-x0) +(y-y0) =x0 +(y0-p) 。 y=0, 令

并把 x0 =2py0 代入得 x -2x0x+x0 -p =0,解得 xM=x0 – p,xN=x0+p,∴|MN|=| xN – xM|=2p 为定值。 (2)∵M(x0-p,0) ,N(x0+p,0) ∴d1=
4 p 2 ? ( x 0 ? p ) 2 , 2= p 2 ? ( x 0 ? p ) 2 , d12+d22=4p2+2x02, 1d2= 4 p 4 ? x 0 , d 则 d

2

2

2

2



2 4 p 2 ? 2 x0 d2 d d 2 ? d 12 + 1 = 2 = =2 4 4 d1d 2 d1 d2 4 p ? x0

2 (2 p 2 ? x0 ) 2 4 4 p 4 ? x0

=2

1?

2 4 p 2 x0 4 4 p 4 ? x0

≤2

1?

2 4 p 2 x0 2 2 ? 2 p 2 x0

=2 2 。

当且仅当 x0 =2p ,即 x=± 2 p,y0=p 时等号成立,∴

2

2

d1 d 2 + 的最大值为 2 2 。 d 2 d1

此时|O′B|=|MB|=|NB|(B 为 MN 中点),又 O′M=O′N, ∴△O′MN 为等腰直角三角形,∠MO′N=90°,则 θ =

1 ∠MO′N=45°。 2

点评:数形结合既是数学学科的重要思想,又是数学研究的常用方法。 五.思维总结 抓好“三基”,把握重点,重视低、中档题的复习,确保选择题的成功率。 本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各 个部分,正是它们构成了解析几何问题的基础,又是解决这些问题的重要工具之一.这就要 求我们必须重视对“三基”的学习和掌握, 重视基础知识之间的内在联系, 注意基本方法的 相互配合,注意平面几何知识在解析几何中的应用,注重挖掘基础知识的能力因素,提高通 性通法的熟练程度,着眼于低、中档题的顺利解决。 在解答有关直线的问题时,应特别注意的几个方面: (1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次要注意倾角的 范围; (2) 在利用直线的截距式解题时, 要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目 条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距 是另一坐标轴上的截距的 m 倍 m>0) ( ”等时, 采用截距式就会出现“零截距”, 从而丢解. 此时最好采用点斜式或斜截式求解; (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于“无斜率”,从而造成丢 解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,或讨论两直 线的平行、垂直的位置关系时,一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论; (4)首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题 转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。这种思想 应贯穿平面解析几何教学的始终。

16

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