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圆锥曲线解题技巧


圆锥曲线解题技巧 近些年的高考试题中, 圆锥曲线的出题方式一般以一个客观题和一个分布在 试卷靠后位置的主观题项目为主。圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,虽然属 于平面图形, 但是解析几何的直观在这里从对概念的理解开始便在发挥作用。圆 锥曲线的命题重点首先围绕着对象的概念和性质来展开, 其次是直线与圆锥曲线 的位置关系。 先行从代数的角度学习直线和圆的性质,从对对象的直观理解中跃 入解析几何的抽象领域, 圆锥曲线部分要求学生从一开始就在发散思维的原则下 超越到完全以方程的思想来约束并把握圆锥曲线的几何性质。 随着对其性质探讨 的逐步深入,在思想方法上将会涉及数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的 思想以及函数与方程的思想等。 因为以圆锥曲线为主题的试题变体很多,所以在 对具体试题的处理过程中, 还要求在综合运用这些思想方法的同时,学生具备一 定程度的计算能力。 高中数学圆锥曲线解题技巧 下面这部分试题围绕着圆锥曲线的基本知识, 在与方程的待定系数法相结合 的过程中,复合有其他平面几何图形的知识。或是说,题目的设计技巧体现在圆 锥曲线信息的有效性取决于先行的其他平面几何图形的知识的有效性, 例如三角 形。 1.客观题部分 例 1 (新课标 2·2015)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上, △ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( )。 A。5 B。2 C。3 D。2 解析 该题的核心知识点有两个:等腰三角形的性质;双曲线的标准方程和 性质。①将双曲线方程设定为 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如图;②因为 AB=BM, ∠ABM=120°,过点 M 作 MN 垂直于 X 轴,垂足为 N,在 Rt△BMN 中,求得 BN=a, MN=3a,M 点的坐标为(2a,3a),③根据双曲线方程、c2=a2+b2 以及离心率 e=ca (e>1),可以求的 c2=2a2,e=2,因此本题选 D。本题涉及的基本思想方法是待 定系数法。 2.主观题部分 首先, 是数形结合的思想方法,这种思想方法特点在于将圆锥曲线从平面的 角度视为一种运动中的轨迹, 在此背景下,题目的考核目标往往是与轨迹相关的 边缘域问题、定值问题、最值问题等。 例 2 (山东·2015)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x24a2+y24b2=1 (a>b>0)的离心率为 32,左、右焦点分别是 F1 和 F2,以 F1 为圆心以 3 为半径 的圆与以 F2 为圆心 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程。 (Ⅱ)设椭圆 E;x24a2+y24b2=1,p 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A 和 B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q。 (ⅰ)求 OQOP 的值。 (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值。 解析 本题的核心知识点有:椭圆的定义;韦达定理与最值问题;椭圆与直 线的位置关系问题。①根据椭圆的定义 2a 是定值,以及 e=32,结合椭圆的标准 方程求的 a=2,b=1,因此椭圆的方程为 C:x24+y2=1。②根据题意,设 OQOP=λ , P(x0,y0),则 Q(-λ x0,-λ y0)。又 x24a2+y24b2=1,所以将 P 和 Q 带入方 程解得,λ =2,所以 OQOP=2。③根据题意设 A(x1,y1),B(x2,y2)。将 y=kx+m 带入方程 x216+y24=1 得到 (1+4k2) x2+8kmx+4m2-16=0,

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