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福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题


福建师大附中 2015-2016 学年第一学期模块考试卷

高二数学(文科)选修 1-1 命题人:王
本试卷共 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟.

婵 审核人:江 泽

注意事项:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷

共 60 分

一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.抛物线 y ? 2x2 的准线方程为 1 1 1 1 A. y ? ? B. y ? ? C. x ? ? D. x ? ? 2 8 2 8
2.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

B. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

3.函数 f ( x ) 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ?( x0 ) ? 0 , q : x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,则 A. p 是 q 的充要条件 C. p 是 q 的必要不充分条件 4.下列命题中为真命题的是 B. p 是 q 的充分不必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

[来源:学科网]

A.命题“若 x ? y ,则 x ? y ”的逆命题 C.命题“ x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题
2

B.命题“若 x ? 1 ,则 x ? x ? 2 ? 0 ”的否命题
2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题

5. 已知双曲线 C: A. y ? ?

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?
2

1 x 2

D. y ? ? x

6. 已知命题 p : ?x ?[1,2], x 2 ? a ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是真命题,则实 数 a 的取值范围为 A. a ? ?2 B. a ? ?2 或 a ? 1 C. a ? 1 D. 1 ? a ? 4

7. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 C 的实
2

轴长为 A. 2 B. 2 2 C. ? D. ?

8. 函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) 的部分图像可能是

A. 9. 设椭圆 C :

B.

C.

D.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 C 上的点, PF2 ? F1F2 , a 2 b2
[来源:学科网 ZXXK]

?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

10. 下列不等式对任意的 x ? (0, ??) 恒成立的是 A. x ? x ? 0
2

B. e ? ex
x

C. ln x ? x

D. sin x ? ? x ? 1

11. 直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,交抛物线于 A, B 两点,交其准线于 C 点,已知 | AF |? 4, CB ? 3BF , 则p? A. 2 B.

4 3

C. 4

D.

8 3

12. 已知 f ( x ) 为 R 上的可导函数,且 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) ,则有 A. e2013 f (?2013) ? f (0) , f (2013) ? e2013 f (0) B. e2013 f (?2013) ? f (0) , f (2013) ? e2013 f (0) C. e2013 f (?2013) ? f (0) , f (2013) ? e2013 f (0) D. e2013 f (?2013) ? f (0) , f (2013) ? e2013 f (0)

[来源:学科网 ZXXK]

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13. 椭圆 5x2 ? ky2 ? 5 的一个焦点为 (0,2) ,则 k 等于
14. 函数 y ? xe ? 1在点 (0,1) 处的切线方程为
x 2 2

. .

15. 已知 A(?1,0) ,B 是圆 C: ( x ? 1) ? y ? 8 (C 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BC 于 P,则动点 P 的轨迹方程为
2

.

16. 若 函 数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在 其 定 义 域 的 一 个 子 区 间 (k ? 1, k ? 1) 内 不 .是 .单 调 函 数 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 .

三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分) 已知某物体的位移 S (米)与时间 t (秒)的关系是 S (t ) ? 3t ? t .
2

(Ⅰ)求 t ? 0 秒到 t ? 2 秒的 平均速度; (Ⅱ)求此物体在 t ? 2 秒的瞬时速度.

18.(本小题满分 10 分) 已知椭圆焦点是 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P 在这个椭圆上,且 PF 1 PF2 的余弦值. 1 ? PF 2 ? 1 ,求 ? F

1 . 2

[来源:学。科。网]

19. (本小题满分 12 分)
若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值 ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

4 . 3

20.(本小题满分 12 分)
如图,有一块抛物线形钢板,其下口宽为 2 米 ,高为 2 米 .计划将此钢板切割成等腰梯形的 形状,下底 AB 是抛物线的下口,上底 CD 的端点在抛物线上. (Ⅰ)请建立适当的直角坐标系 ,求抛物线形钢板所在抛物线方程; .......... (Ⅱ)记 CD ? 2 x ,写出梯形面积 S 以 x 为自变量的函数关系式,并指出定义域; (Ⅲ)求面积 S 的最大值. D C 2 米 B 2 米 21.(本小题满分 12 分)

A

已知过点 P

?0, 2? 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, O 为坐标原点.

[来源:学科网]

(Ⅰ)若以 AB 为直径的圆经过 原点 O ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q ,求 ?POQ 面积的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 ? ln x( x ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x) 的单调递增区间; 1 (Ⅱ)若 f ( x) 在 (0, ) 上是增函数,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)是否存在实数 a ? 1, 使得方程 f ( x) ? x2 ? 1 在区间 (1, e) 上有解,若存在,试求出 a 的取值范围,若不存
在,请说明理由.

高二数学选修 1-1(文科)参考答案
1-12.BCCDC 13. 1 BCADB DA

14. x ? y ? 1 ? 0

x2 ? y2 ? 1 15. 2

16. 1 ? k ?

3 2

S ( 2) ? S ( 0) ? 1 米/秒 (2)? S ' (t ) ? 3 ? 2t ,? S ' (2) ? ?1 米/秒 2?0 5 3 18.解:∵椭圆焦点是 F1 (?1,0) , F2 (1,0) 解得 m ? , n ? 2 2 ∴ 半焦距 c = 1 ,半长轴为 a ∴ ?F 1PF 2中 c 1 又 离心率 e ? ? ,∴ a = 2 m2 ? n2 ? (2c)2 a 2 cos ?F1PF2 ? 2mn ∴半短轴 b ? a2 ? c2 ? 3 5 3 x2 y 2 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 22 3 ? ? 1; (1)∴ 椭圆的标准方程为 2 ? ? 2 4 3 5 3 5 2? ? (2) 设 | PF 1 |? m, | PF 2 |? n 2 2 ∵ 点 P 在这个椭圆上,则 m + n = 2 a = 4 3 ∴ 的余弦值为 。 ? F PF 1 2 ∵ PF 1 ? PF 2 ? 1 , ∴ m -n = 1 5 19.解: (1)由题意可知 f ' ( x) ? 3ax2 ? b,
17. (1) v ?

? f ' (2) ? 12a ? b ? 0 ? ? 4 ? f (2) ? 8a ? 2b ? 4 ? ? 3 ?

1 ? 1 3 ?a ? 解得 ? 3 所求的解析式为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 3 ? ?b ? 4

(2)由(1)可知 f ' ( x) ? x 2 ? 4 ? ( x ? 2)(x ? 2), 令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 列表得

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,?2)
+ 递增

?2
0 极大值

(?2,2)
递减

2
0 极小值 ?

(2,??)
+

28 3 4 28 所以实数 k 的取值范围为 ? ? k ? 3 3

4 3

递增

20.解: (1)如图,建立直角坐标系 x o y ,使抛物线的顶点在坐标原点,且抛物线的对称轴在 y 轴上。则依题 意;A(- 1,-2 ) ,B(1,-2) , 设梯形的高为 h ,∵ CD = 2 x 则 C( x ,-2 + h ) 设抛物线的标准方程为: x ? a y
2 2 ∴ 1 ? a ? (?2) 求得 p ? ?

∵点 B 在抛物线上,

1 1 2 ∴抛物线的方程为: x ? ? y 2 2 1 2 2 (2)又点 C 在抛物线上,∴ x ? ? (?2 ? h) 故 h ? ?2 x ? 2 2 1 (2 ? 2 x)(?2 x 2 ? 2) = 2(? x3 ? x2 ? x ? 1) ∴ S= 2
定义域: ( 0 < x < 1) (3)∵ S = 2(? x ? x ? x ? 1)
3 2

y 0 D A 2 米 C x 2 米 B

∴ S / ? 2(?3x2 ? 2 x ? 1) ? ?2(3x ? 1) ( x ? 1) 由 S ' ( x) ? 0 解得 S ( x) 单调增区间为 ( ?1, ) ,

1 3

1 S ' ( x) ? 0 单调减区间为 (?? ,?1), ( ,?? ) 3 64 1 1 1 ? S ( x) 在 ( 0, ) 上为增函数, ( ,1) 上为减函数,? S ( ) max ? 3 3 3 27 64 答:梯形的面积 S 的最大值为 . 27
21.解: (1)依题意可得直线 l 的斜率存在,设为 k (k ? 0) ,则直线 l 方程为

y ? kx ? 2

联立方程

? y ? kx ? 2 ,消去 x ,并整理得 ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
1 2

2 则由 ? ? (?4) ? 4k ? 8 ? 0 ,得 k ?

4 ? y1 ? y 2 ? 2 2 ? y1 y 2 4 ? k 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 ? ,则 x1 x2 ? ? ? 2 4 4 k ?y y ? 8 1 2 ? k ?
以 AB 为直径的圆过原点 O ?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即

4 8 ? ?0 k2 k

?k ? ?

1 1 所以直线方程为 y ? ? x ? 2 即 x ? 2 y ? 4 ? 0 2 2

(2)设线段 AB 的中点为 ( x0 , y0 ) ,由(1)可知 y 0 ? 直线 AB 中垂线方程为 y ?

y ? 2 2 ? 2k y1 ? y 2 2 ? , x0 ? 0 ? , 2 k k k2

2 2 ? 2k 2 ? 2k 2 2 ? k(x ? ) ,令 y ? 0 , xQ ? 2 ? ? 2 ? ?2 2 2 k k k k k 1 1 1 1 3 2 又由(1)可知 k ? 且 k ? 0 ,? ? 0 或 ? 2 ,? xQ ? 2( ? 2) ? ? 2 2 k k k 2 1 1 ? S ?POQ ? OP OQ ? ? 2 ? xQ ? 2 ,所以 ?POQ 的面积的取值范围为 (2,??) 2 2
2 22.解: (1)当 a ? 3 时, f ( x) ? x ? 3x ? 1 ? ln x

? f ' ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ,又? x ? 0 2 x x

1 ? f ( x) 单调增区间为 (0, ), (1,?? ) 2 1 1 ' (2)若 f ( x) 在 (0, ) 上是增函数,则对任意 x ? (0, ) , f ( x) ? 0 恒成立, 2 2

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? f ( x) ? 2 x ? a ? ? ? 0, 等价于: x x
'

1 1 1 ?x ? (0, ) , 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,等价于: ?x ? (0, ), a ? 2 x ? 恒成立 2 2 x

令 g ( x) ? 2 x ?

1 2x ? 1 1 ' ? ,? g ( x ) ? 2 ? 2 ? x x2 x
2

2( x ?

2 2 )( x ? ) 2 2 x2

1 1 ? g ( x) 在 (0, ) 上为减函数, a ? g ( ) min ? 3 2 2
(3)假设 a ? 1, 方程 f ( x) ? x2 ? 1 在区间 (1, e) 有解,等价转化为: 当 a ? 1, 函数 h( x) ? ln x ? ax 在区间 (1, e) 上有零点

1 1 ? ax 1 ?a? ? 0, 解得: x ? ,又? x ? 0 , x x a 1 1 1 ? h( x) 单调增区间为 (0, ) ,单调减区间 ( ,?? ) ,? a ? 1,? ? 1 , a a a
令 h ( x) ?
'

? h( x) 在 (1, e) 上为减区间,而 h(1) ? ?a ? 0 , 故 h( x) 在 (1, e) 上不存在零点


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