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2013届高考数学一轮复习讲义 7.4 基本不等式及其应用


一轮复习讲义

基本不等式及其应用

要点梳理

忆一忆知识要点

a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件: a≥0,b≥0 . (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R). b a (2)a+b≥ 2 (a,b 同号). ?a+b? ? ?2 (3)ab≤? ? (a,b∈R). ? 2 ? a2+b2 ?a+b?2 ? ? (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ?

要点梳理

忆一忆知识要点

3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 2 ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数 .

4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最 小值是 2 P .(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 大 p2 值是 .(简记:和定积最大) 4

[难点正本

疑点清源]

1. 在应用基本不等式求最值时, 要把握不等式成立的三个条件, 就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相 等——等号能否取得”, 若忽略了某个条件, 就会出现错误. ?a+b? ? ?2 对于公式 a+b≥2 ab,ab≤? ,要弄清它们的作用和 2 ? ? ? 使用条件及内在联系, 两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化 关系. 2.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆 a2+b2 a+b 用,例如 a2+b2≥2ab 逆用就是 ab≤ ; ≥ ab (a, 2 2 ?a+b? ?2 b>0)逆用就是 ab≤? b>0)等. 还要注意“添、 拆项” ? 2 ? (a, ? ? 技巧和公式等号成立的条件等.

利用基本不等式证明简单 不等式
例 1 已知 x>0,y>0,z>0. ?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y+y?? z +z ?≥8. ? ?? ?? ?
由题意, 先局部运用基本不等式, 再利用不等式的性质即可得证. 证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz x z 2 xz ∴x+x≥ x >0, y+y≥ y >0, x y 2 xy z +z ≥ z >0, ?y z ??x z ??x y? 8 yz· xz· xy ∴?x+x??y+y?? z +z ?≥ =8. xyz ? ?? ?? ?

当且仅当 x=y=z 时等号成立.

探究提高
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况, 证 明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发, 借助不等式的性 质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.

变式训练 1
若 a>0,b>0,c>0,试证: bc ac ab (1) a + b + c ≥a+b+c; a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥a+b+c. 证明 (1)∵a,b,c∈(0,+∞), bc ac bc ac ∴ a + b ≥2 a · =2c, b
ac ab ab bc 同理 b + c ≥2a, c + a ≥2b, ?bc ac ab? ∴2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ? bc ac ab 即 a + b + c ≥a+b+c.

a2 (2)∵a>0,b>0,c>0,∴ b +b≥2a, b2 同理 c +c≥2b,
c2 a +a≥2c,
a2 b2 c2 ①+②+③得 b + c + a +a+b+c≥2a+2b+2c, a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c.






利用基本不等式求最值
4 例 2 (1)已知 x<0,求 f(x)=2+x+x 的最大值; 1 (2)已知 x>1,求 f(x)=x+ 的最小值; x-1 2 (3)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值. 5

以上三个小题都不具备应用基本不等式求最值的三个条件,可将 负数转化为正数,通过添项、拆项或变系数,使其积(或和)转化 为定值.



(1)∵x<0,∴-x>0, ? 4 ? 4 ? ∴f(x)=2+x+x=2-?-x+?-x??. ? ? ? 4 ∵-x+(-x)≥2 4=4, 4 当且仅当-x= ,即 x=-2 时等号成立. -x ? 4 ? ? ? ∴f(x)=2-?-x+?-x??≤2-4=-2, ? ? ∴f(x)的最大值为-2.
(2)∵x>1,∴x-1>0, 1 1 ∴f(x)=x+ =x-1+ +1 x-1 x-1 ? 1 ? ? ? ≥2 ?x-1?· ?x-1?+1=2+1=3. ? ?

1 当且仅当 x-1= ,即 x=2 时,等号成立. x-1

∴f(x)的最小值为 3.
(3)y=2x-5x2=x(2-5x) 1 = · (2-5x), 5x· 5

2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0, 5 ?5x+2-5x? ? ?2 ∴5x(2-5x)≤? ? =1, 2 ? ? 1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x, 5 1 1 即 x= 时,ymax= . 5 5

探究提高
利用基本不等式求最值时,必须注意三点:“一正,二定,三相 等”,缺一不可.如果项是负数,可转化为正数后解决,当和(或 积)不是定值时,需要对项进行添加、分拆或变系数,将和(或积) 化为定值.

变式训练 2
(1)已知 x>0, y>0, x+2y+2xy=8, x+2y 的最小值是________. 则 16 2 (2)已知 a>b>0,则 a + 的最小值是________. b?a-b?
(1)依题意,得(x+1)(2y+1)=9, ∴(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6, 即 x+2y≥4.
?x+1=2y+1, ? 当且仅当? ?x+2y+2xy=8, ? ?x=2, ? 即? ?y=1 ?

时等号成立.

∴x+2y 的最小值是 4.
?b+a-b? a2 ?2 (2)∵a>b>0,∴b(a-b)≤? ? ? =4, 2 ? ?

当且仅当 a=2b 时等号成立.

16 16 2 64 2 ∴a + ≥a + 2 =a + 2 a a b?a-b? 4 2 64 ≥2 a · 2 =16,当且仅当 a=2 2时等号成立. a
2

16 ∴当 a=2 2,b= 2时,a + 取得最小值 16. b?a-b?
2

基本不等式的实际应用
例 3 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面 利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙 对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知 旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的 旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单 位:元).

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少 总费用.

(1)首先明确总费用 y=旧墙维修费+建新墙费,其次,列出 y 与 x 的函数关系式;(2)利用基本不等式求最值,最后确定取得最值 的条件,从而得出问题结论.

解 (1)设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= x , 3602 所以 y=225x+ x -360 (x>2).
3602 3602 (2)∵x>2,∴225x+ x ≥2 225x× x =10 800. 3602 ∴y=225x+ x -360≥10 440.

3602 当且仅当 225x= x 时,等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是 10 440 元.

探究提高
(1)利用基本不等式解决实际问题时, 应先仔细阅读题目信息, 理 解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的 函数关系式,然后用基本不等式求解. (2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可 利用函数单调性求解.

变式训练 3
如图所示,一个铝合金窗分为上、下两栏, 四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽 均为 6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝 合金部分)的比为 1∶2,此铝合金窗占用的 墙面面积为 28 800 cm2,设该铝合金窗的宽 和高分别为 a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为 S cm2. (1)试用 a,b 表示 S; (2)若要使 S 最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?
解 (1)∵铝合金窗宽为 a cm,高为 b cm,a>0,b>0, ①

∴ab=28 800,

又设上栏框内高度为 h cm,下栏框内高度为 2h cm, b-18 则 3h+18=b,∴h= , 3 ∴透光部分的面积
2?b-18? b-18 S=(a-18)× +(a-12)× 3 3 =(a-16)(b-18)=ab-2(9a+8b)+288 =28 800-2(9a+8b)+288 =29 088-2(9a+8b).
(2)∵9a+8b≥2 9a· 8b=2 9×8×28 800=2 880, 9 当且仅当 9a=8b 时等号成立,此时 b= a, 8

代入①式得,a=160,从而 b=180, 即当 a=160,b=180 时,S 取得最大值. ∴铝合金窗的宽为 160 cm,高为 180 cm 时,可使透光部分的面 积最大.

易错警示
基本不等式等号成立的条件把握不准致误
(14 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 最小值. 学生解答展示
? 1 ?? 1 ? y=?a+a??b+b?的 ? ?? ?

错因分析

上面解法显然是错误的,因为当 a=1,b=1 时,a

+b=2,而已知中 a+b=1.照这种解法,无论 a+b 的值为多少, ? 1 ?? 1 ? ?a+ ??b+ ?的最小值总是 4,它错在两次利用基本不等式,等号 a ?? b ? ? 不能同时成立,故 y 的最小值不可能是 4.

审题视角
(1)求函数最值问题,可以考虑利用基本不等式,但是利用基 本不等式,必须保证“正、定、等”,而且还要符合已知条件. (2)可以考虑利用函数的单调性,但要注意变量的取值范围.

规范解答
? 1?? 1? 解 方法一 y=?a+a??b+b? ? ?? ? ? 1 ? ?b a? ? 1? =?ab+ab?+?a+b?≥?ab+ab?+2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ?2 ? 1 ? ? ? -3 =? ab+ = 4 ab+ ab? ? ab ? ? ? ? a+b?2 1 ? ? ≥?2 4 ab· -3× 2 ? ab ? ? ? 3?2 25 =?4-2? = . 4 ? ?

? ab?2 ? ?

[10 分]

? 1 ?? 1 ? 1 25 ?a+ ??b+ ?取最小值,最小值为 . 当且仅当 a=b= 时,y= a ?? b ? 2 4 ?

[14 分]

方法二

2 2 2 1 a +b 1 ?a+b? -2ab =ab+ab+ ab =ab+ab+ ab 2 =ab+ab-2.

? 1?? 1? 1 a b ?a+ ??b+ ?=ab+ + + y= a?? b? ab b a ?

[8 分]

令 又

?a+b? ? 1? ? ?2 1 t=ab≤? ? =4,即 t∈?0,4?. ? ? ? 2 ? ? 1? 2 f(t)= t +t 在?0,4?上是单调递减的, ? ?

[12 分]

1 33 1 ∴当 t= 时,f(t)min= ,此时,a=b= . 4 4 2 1 25 ∴当 a=b= 时,y 有最小值 . 2 4

[14 分]

批阅笔记

(1)这类题目考生总感到比较容易下手.但是解这类题目却又常 常出错.(2)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件:即 一正、二定、三相等.否则求解时会出现等号成立条件不具备 而出错.(3)本题出错的原因前面已分析,关键是忽略了等号成 立的条件.

方法与技巧
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转 化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证 明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点, 选择好利用基本不等式的切入点. 2.恒等变形:为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进 行适当变形.比如: 1 1 (1)当 x>2 时,x+ =(x-2)+ +2≥2+2=4. x-2 x-2 8 1 (2)0<x< ,x(8-3x)= (3x)(8-3x) 3 3 1?3x+8-3x?2 16 ? ? ≤ ? ? =3. 3? 2 ?

失误与防范
1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一 正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这 三个条件缺一不可. 2.在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件. 3.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一 次的字母取值存在且一致.

要点梳理
F

1.不等式链 (a>0, b>0)
a 2 ? b 2 ≥ a ? b ≥ ab ≥ 2 2 2 1?1 a b CF ≥ OD ≥ CD ≥ DE
a 2 ? b2 2

加权平均数

a?b 2
2 1?? a b

算术平均数

ab

几何平均数

调和平均数

2.定理的变式
(1)a2+b2≥2ab
a ? b ≥ ab () 2 2 b ? a≥2 (3) a b 1≥2 (4) a ? a (5) a ? 1 ≤ ?2 a

(a 、b∈R)
(a>0,b>0)
(a、b同号)

(a>0)
(a<0)

探究:下面几道题的解答可能有错,如果错 了,那么错在哪里?
(1) 已知x ? R, 求x ? 4 的最值 x
解: x ? 4 ≥2 x? 4 ? 4 x x

一不正,需变号

(2) 已知x ≥ 1 时, 求x 2 ? 1的最小值 2

解 : x ? 1 ≥ 2 x ? 1 ? 2 x,
2 2

二不定,要变形

其最小值为 2 x ? 2.
(3) 已知x ≥ 3, 求x ? 4 的最小值 x
解 : x ? 4 ≥ 2 x ? 4 ? 4, x x

三不等,用单调

基本不等式基本题型

a ? b ≥ a ? b ≥ ab 2 2
2 2

已知条件 (a>0, b>0)

求解最大值、最小值

a ? b ? 4 ab ≤ ____ 4

a ? b ≥ _____ 8
2 2

ab ? 3
a ? b ? 16
2 2

2 3 a ? b ≥ ____
a ? b ≤ ____ 4 2

6 a ? b ≥ ____
2 2

ab ≤ ____ 8

5 例1.求函数 f ( x ) ? 2 ? log 2 x ? log x (0 ? x ? 1) 的最大值.

解: 0 ? x ? 1,? log 2 x ? 0. ?
? f ( x ) ? 2 ? log 2 x ?
≤2? 2

2

5 ? 2 ? [? log x ? 5 ] 2 log 2 x log 2 x
5

5.
5 , 即 x ? 2? log 2 x
时等号成立.

当且仅当 log 2 x ?

? f ( x )max ? 2 ? 2 5.

一不正,需变号

例2.求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 ( x ? 5 ) 的最大 值. 4x ? 5 4 1 1 解: ? 4 x ? 2 ? y ? 4x ? 5 ? ? 3. 4x ? 5 4x ? 5

? x ? 5 , ? 4 x ? 5 ? 0. 4 1 ? y ? ?[?(4 x ? 5) ? ] ? 3 ≤ ?2 ? 3 ? 1. 4x ? 5 当且仅当 5 ? 4 x ? 1 , x ? 1 时取“=”号. 即 5 ? 4x
即当x=1时, 函数的最大值为1. 二不定,要变形

x 2 ? 5 的最小值. 例3.求函数 y ? x2 ? 4 依据:利用函数 y ? t ? 1 (t>0)的单调性. t t∈(0,1]单调递减, t∈[1,+∞)单调递增.

解:

y?

x2 ? 5 x2 ? 4

?

x2 ? 4 ? 1 x2 ? 4

?

x ?4?
2

1 x2 ? 4

令t?

x 2 ? 4,

则 y ? t ? 1 (t ≥ 2) 在[1,+∞)上单调递增. t

?当t ? 2, 即 : x ? 0时, ymin ? 5 . 2 三不等,用单调

1?1 例4.已知正数x, y满足2x+y=1, 求 x y 的最小值.
1 ? 1 ? 2x ? y ? 2x ? y 解 :? x y x y

y 2x ? 3 ? ? ≥ 3 ? 2 2. x y y 2x 当且仅当 ? , 即 y ? 2 x 时取“=”号. x y ? 1
? y ? 2 x, ? 而? ? 2 x ? y ? 1, ?
x? ? 2? 2 ? ?? 2 ?y ? ? 2? 2 ?

“1”代换 法

2 时, 1 ,y? ? 当x ? ymin ? 3 ? 2 2. 2? 2 2? 2

例5.若正数a, b 满足 ab = a+b+3, 求 ab 的取值范围. 解: (方法一)
? a ? 0, b ? 0,

? ab ? a ? b ? 3 ≥ 2 ab ? 3,
令 t ? ab ? 0,

则 t 2 ? 2t ? 3 ≥ 0.

? t ≥ 3, 或 t ≤ ?(舍去) 1 . ? t ≥ 3,即 ab ≥ 9.
? ab ? a ? b ? 3, 当且仅当? ?a ? b

,即a=b = 3时取等号.

(方法二)

解: ab ? a ? b ? 3, ? b ? a ? 3 . ? a ?1

又 ? a ? 0, b ? 0, a ? 1. ?
2

a 2 ? 3a ? ? a ? 1? ? 5 ? a ? 1? ? 4 ? ab ? a ?1 a ?1
? ? a ? 1? ? 4 ? 5 ≥ 2 ? a ? 1? ? 4 ? 5 ≥ 9. a ?1 a ?1 当且仅当 a ? 1 ? a 4 1 , 即 a=3 时,取等号. ?

所以 ab≥9.

例6. 已知a, b是正数,且a+b=1. 求证: a + 1 ? b + 1 ≤ 2.
2 2

≤ (a ? 1 ) ? (b ? 1 ) ? 2 ? 0.

2

2

例6. 已知a, b是正数,且a+b=1.
求证: a + 1 ? b + 1 ≤ 2.
2 2

证明3: | a ? b | ?( 2(a ? b )) ? ?(a ? b) ? 0, ?
2 2 2 2

2

?| a ? b |≤ 2(a ? b ),
2 2

? a ? b ≤ 2(a ? b ).
2 2

? a + 1 ? b + 1 ≤ 2[( a + 1 )2 ? ( b + 1 )2 ] 2 2 2 2

? 2(a ? b ? 1) ? 2.

? ? 证明4:设a ? ( a ? 1 , b ? 1 ), b = (1,1), 2 2 ? ? ? a ? b |?| ( a ? 1 , b ? 1 )? | (1,1) | 2 2

? ? | a | ? | b |? a ? 1 ? b ? 1 ? 1? 1
2 2

? a? 1 ? b? 1. 2 2

? a ? b ? 1 ? 2 ? 2.
? ? ? ? 由|a ? b |≤|a | ? | b | 知, a ? 1 ? b ? 1 ≤ 2.
2 2

1?1 【1】已知正数x, y满足x+2y=1, 则 x y 的最小值

是__________. 3? 2 2

3 x 2 ? x ? 1 ( x ? 0) 【2】函数 y ? 的最大值是_____. 2 2 x ?1 y ? 1? 1 ≤1? 1 ? 3 . 2 2 x? 1 x 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 )( x ? 2 y ) ? 3 ? 2 y ? x ≥ 3 ? 2 2. x y x y x y 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 )( x ? 2 y ) ≥ 2 1 ? 2 2 xy ? 4 2. x y x y xy
【解题回顾】错误的原因在于两次运用均值定理时取等号 的条件矛盾.(第一次须x=y,第二次须x=2y).

【3】若正数a, b 满足 的最大值. 2 2 b ? 1,? 2a 2 ? b 2 ? 2. 解 : ?a ? 2 又 a ? 0, b ? 0,
2

b2 ? 1 a ? 2

,求

a 1 ? b2

2a 2 ? (1 ? b2 ) 3 2 ? . ? a 1 ? b2 ? 2 2a 2 (1 ? b2 ) ≤ 2 ? 2 2 4 2
? 2a 2 ? 1 ? b 2 ? 当且仅当 ? 2 2 ? 2a ? b ? 2 ?

3 ,b ? 2 ,即 a ? 2 2 时,取等号.

所以 a 1 ? b2 的最大值是 3 2 .
4

【4】 已知不等式 ( x ? y )( 1 ? a ) ≥ 9 对任意正实数 x, y 恒 x y

4 成立,则 a(a ? 0) 的最小值是________.
? x ? 0, y ? 0, a ? 0,

1 ? a ) ? a ? 1 ? y ? ax ? ( x ? y )( x y x y
≥ a ?1? 2

?[( x ? y )( 1 ? a )]min x y
2

a ? ( a ? 1) . 2 ? ( a ? 1) ,
2

? ( a ? 1) ≥ 9. ? a ≥ 4, 即amin ? 4.

设 【5】 x ? 0, y ? 0, 若 x ? 则 a 的最小值是________. 2
a≥
令z ?
2

y ≤a

x ? y 恒成立,

x?
x?

y

x? y

对x ? 0, y ? 0恒成立,
y

x? y

,

x ? y ? 2 xy 2 xy ?z ? ≤1? ?2 ?0? z≤ 2 x? y 2 xy

? a ≥ 2 ? amin ?

2.

1 1 【6】设a ? b ? c, n ? N* ,且 a ? b ? b ? c ≥ a n c , 恒成立,则 ? n的最大值是 4 .

1 ? 1 ≥ n ? (a ? c )( 1 ? 1 )≥ n 恒成立 a?b b?c a?c a?b b?c
? (a ? c )( 1 ? 1 ) ? (a ? b ? b ? c )( 1 ? 1 ) a?b b?c a?b b?c
? 2? b?c ? a ?b ≥2? 2 b?c ? a ?b ? 4 a?b b?c a?b b?c

?n≤4

化归与转化思想

设a ? b ? c, n ? N* ,且 1 ? 1 ≥ n , 恒成立,则 【6】 a?b b?c a?c

n的最大值是

.

可设x ? a ? b ? 0, y ? b ? c ? 0,

? a ? b ? c, 则a ? c ? x ? y.
由 1 ? 1 ≥ n 得, x y x? y

n ≤( 1 ? 1 )( x ? y ) 恒成立, x y 1 ? 1 )( x ? y ) ? 2 ? y ? x ≥ 4, ?( x y x y

? n ≤ 4.

a ? f ( x )恒成立 ? a ? fmin ( x )

? x ? 0, ? 【11】设不等式组 ? y ? 0, 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn ? y ≤ ? n( x ? 4), ?
内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an ( n ? N ? ) ,则 a3 为

18

.

an ? 3n ? 2n ? n ? 6n. ? a3 ? 18.

【1】(2010· 湖北)设 a>0,b>0 ,称 2ab 为 a,b 的调和

走进高考

a?b

平均数.如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 的中点,以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂线,交半 圆于 D,连接过 OD, AD, BD. 过点 C 作 OD 的垂线, 垂足为 E. 连 结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.则图中线 段 OD 的长度是 a,b 的算术平均数,线段 CD 的长度是 a, b 的几何平均数 ,线段 DE 的长度是 a,b 的调和平均数.

CD2 ? AC ? CB ? CD ? ab
OC ? a ? a ? b ? a ? b , OD ? a ? b 2 2 2 OD ? CE ? OC ? CD ? CE ? a ? b ab a?b

“十一”节日期间,甲、乙两商场对单价相 同的同类产品进行促销,以便吸引更多的顾客进 行消费.甲商场采取的促销方式是在原价 a 折的 基础上再打 b 折;乙商场的促销方式则是两次 a 都打? b 折. ? a , b ? 10, a ? b) (0 2 如果你是顾客, 你会 进哪个商店采购?

第24届国际数学家大会(简称ICM)于2002年8 月25日在北京举行.

第 二 十 四 届 国 际 数 学 家 大 会 会 标

ICM 2002 会标

赵爽:弦图

大会会标 设计的基 础是公元3世纪中国数学 家赵爽的弦图.会标对这 个图进行了加工变形.首 先,打开外面正方形的边 并放大里面的正方形,这 代表着数学家思想的开 阔以及中国的开放.颜色 的明暗使它看上去更像 一个旋转的纸风车,这代 表着北京人的热情好客.

第24届国际数学家大会(简称ICM)于2002 年8月20 — 28日在北京举行. 这届国际数学家大会主席由 我国著名数学家,中科院院士,2000 年度国家最高科学技术奖得主吴 文俊担任. 国家主席江泽民出席大会开幕式并为本 届菲尔茨奖获得者颁奖. 新世纪第一次, 发展中国家第一次 世界数学最高盛会,中国数学百年机遇

赵爽,中国古代数学家,东汉末至三 国时代的人,他的主要贡献是约在222 年深入研究了《周髀算经》,为该书写 了序言,并作了详细注释,其中一段 530余字的“勾股圆方图”注文是数学 史上极有价值的文献.它记述了勾股定 理的理论证明,将勾股定理表述为: “勾股各自乘,并之,为弦实,开方除 之,即弦.”证明方法叙述为:“按弦 图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为 朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实, 加差实,亦成弦实.”

数学界的战略科学家——中科院院士吴文俊
吴文俊在拓扑学、自动 推理、机器证明、代数几何、 中国数学史、对策论等研究 领域均有杰出的贡献,在国 内外享有盛誉. 他在拓扑学的示性类、 示嵌类的研究方面取得一系 列重要成果,是拓扑学中的 奠基性工作,并有许多重要 应用.他创立的“吴文俊方法” 在国际机器证明领域产生巨 大的影响,有广泛的重要的 应用价值.

国际数学家大会(简称ICM)已有100多 年历史.1897年,首届国际数学家大会在瑞士苏 黎世举行.1900年巴黎大会后,每4年举行一次, 除了两次世界大战期间中断,一直延续至今.它 是最高水平的全球性数学科学学术会议,被誉 为数学界的“奥运会”.

丘成桐,1949年生,广东汕 头人,1969年毕业于香港中文大 学数学系,22岁获博士学位,27岁 因证明世界数学难题卡拉比猜 想而引起轰动,华人中惟一获得 被称为世界数学领域的诺贝尔 奖的菲尔兹奖,美国哈佛大学讲 座教授,中科院外籍院士,美国科 学院院士,中科院晨兴数学研究 中心、浙江大学数学研究中心 主任,香港中文大学数学研究所 所长.

菲尔兹奖获得者—美籍华人丘成桐.

解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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