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【金识源】高中数学 2.3.3-2.3.4(第1课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题 新人教A版必修2

2.3.3-2.3.4 第 1 课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质
一、选择题 1.若 l,m,n 表示不重合的直线,α 表示平面,则下列说法中正确的个数为( ①l∥m,m∥n,l⊥α ? n⊥α ;②l∥m,m⊥α ,n⊥α ? l∥n; ③m⊥α ,n? α ? m⊥n. A.1 C.3 B.2 D.0 )

解析:选 C ①正确,∵l∥m,m∥n,∴l∥n. 又 l⊥α ,∴n⊥α ; ②正确.∵l∥m,m⊥α ,∴l⊥α . 又 n⊥α ,∴l∥n; ③正确,由线面垂直的定义可知其正确.故正确的有 3 个. 2.如果直线 a 与平面 α 不垂直,那么平面 α 内与直线 a 垂直的直线有( A.0 条 C.无数条 B.1 条 D.任意条 )

解析:选 C 可构造图形,若 a∥α ,a′? α ,且 a′∥a,则在平面 α 内有无数条直 线垂直于 a′,故平面 α 内有无数条直线垂直于直线 a. 3. 设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 解析:选 B 对于选项 A,两平面可能平行也可能相交;对于选项 C,直线 l 可能在 β 内也可能平行于 β ;对于选项 D,直线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交. 4.已知平面 α ⊥平面 β ,α ∩β =l,点 A∈α ,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直 线 m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( A.AB∥m C.AB∥β 解析:选 D B.AC⊥m D.AC⊥β 如图所示.AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l? AC⊥m;AB∥l ) )

? AB∥β ,故选 D. 5.线段 AB 的两端在直二面角 α ?l?β 的两个面内,并与这两个面都成 30°角,则异 面直线 AB 与 l 所成的角是( )

A.30° C.60°

B.45° D.75°

解析:选 B 过 B 作 l 的平行线,过 A′作 l 的垂线,两线交于点 C,连接 AC,则∠ABC 即为异面直线 AB 与 l 所成的角,由题意,∠ABA′=∠BAB′=30°, 1 1 3 所以 AA′= AB,BB′=A′C= AB,AB′= AB, 2 2 2 所以 A′B′=BC= 2 2 AB,AC= AB, 2 2

由勾股定理知∠ACB=90°,则∠ABC=45°. 二、填空题 6. 一条与平面 α 相交的线段, 其长度为 10 cm, 两端点到平面的距离分别是 2 cm,3 cm, 这条线段与平面 α 所成的角是________. 解析:如图:作出 AC⊥α ,BD⊥α ,则 AC∥BD,AC,BD 确定的平面 与平面 α 交于 CD,且 CD 与 AB 相交于 O,AB=10,AC=3,BD=2,则 AO =6,BO=4,∴∠AOC=∠BOD=30°. 答案:30° 7.如图,已知平面 α ∩平面 β =l,EA⊥α ,垂足为 A,EB⊥β , 垂足为 B, 直线 a? β , a⊥AB, 则直线 a 与直线 l 的位置关系是________. 解析:∵EA⊥α ,平面 α ∩平面 β =l,即 l? α ,∴l⊥EA.同理

l⊥EB.
又 EA∩EB=E,∴l⊥平面 EAB. ∵EB⊥β ,a? 平面 β ,∴EB⊥a. 又 a⊥AB,EB∩AB=B, ∴a⊥平面 EAB,∴a∥l. 答案:平行 8.如图,四面体 P-ABC 中,PA=PB= 13,平面 PAB⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AC= 8,BC=6,则 PC=________.

解析:取 AB 的中点 E,连接 PE. ∵PA=PB, ∴PE⊥AB. 又平面 PAB⊥平面 ABC, ∴PE⊥平面 ABC.连接 CE,所以 PE⊥CE. ∠ABC=90°,AC=8,BC=6, ∴AB=2 7,PE= PA -AE = 6,
2 2

CE= BE2+BC2= 43, PC= PE2+CE2=7.
答案:7 三、解答题 9. 如图:三棱锥 P-ABC 中,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ABC= 90°,△PAC 是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,平面 PAC⊥平面

ABC.求证:平面 PAB⊥平面 PBC.
证明:∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PA⊥AC, ∴PA⊥平面 ABC.又 BC? 平面 ABC, ∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC,AB∩PA=A,AB? 平面 PAB,

PA? 平面 PAB,
∴BC⊥平面 PAB.又 BC? 平面 PBC, ∴平面 PAB⊥平面 PBC. 10.如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,

E、 F 分别为 PC、 BD 的中点, 侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA=PD=
(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 C—PBD 的体积. 解:(1)证明:连接 AC,如图所示,

2 AD. 2

则 F 是 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点,∴EF∥PA. 又∵PA? 平面 PAD,

EF?平面 PAD,
∴EF∥平面 PAD. (2)取 AD 的中点 N,连接 PN,如图所示. ∵PA=PD,∴PN⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PN? 平面 PAD, ∴PN⊥平面 ABCD,即 PN 是三棱锥 P-BCD 的高. 又∵PA=PD= 2 2 1 1 AD= a,∴PN= AD= a, 2 2 2 2

1 ∴VC—PBD=VP—BCD= S△BCD·PN 3 1 1 1 a = ·( a·a)· a= . 3 2 2 12
3



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