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江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试数学试题及答案


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淮安市 2014—2015 学年度高三年级信息卷

数 学 试 题
数学Ⅰ 必做题部分
(本部分满分 160 分,时间 120 分钟)

2015.5

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一 律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。

1 参考公式:锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3
一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . .... 1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? ,集合 B ? ?x | x ≤ a, a ? R? ,若 A 2.若复数
B ? ? ??,5? ,则 a 的值是 ▲ .

a?i 是实数( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值是 1? i





3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个 社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 36 人.若在甲、乙、 丙、 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12, 21, 25, 42, 则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 4.若抛物线 y ? 8ax 的焦点与双曲线
2





x2 ? y 2 ? 1的右焦点重 a2
▲ .

开始
a ? 5, S ? 1

合,则双曲线的离心率为 ▲ . 5.如右图所示的流程图的运行结果是

6.某校有 A, B 两个学生食堂,若 a , b, c 三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐,则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ . 7.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, B ? ▲ .

S ? S ?a a ? a ?1

a≥ 4 Y

N
输出S

?
3

,则 ?ABC 的面积为

结束

第 5 题图

8.已知正四棱锥的底面边长是 3 2 ,侧棱长为 5,则该正四棱锥的体积为 ▲ .
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9.已知 sin ? ?

1 ? cos 2? 的值为 ? cos? ,且 ? ? (0, ) ,则 ? 2 2 sin(? ? ) 4
3 2





10.已知函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? R ,均满足 (x1 ? x2) ? f (x1) ? f (x2 )? ? 0 , 则实数 m 的取值范围是 11.已知 ▲ .

O : x2 ? y 2 ? 1.若直线 y ? k x ? 2 上总存在点 P ,使得过点 P 的 O 的两条切线互相

垂直,则实数 k 的最小值为__▲ __. 12.已知 ?an ? ,?bn ? 均为等比数列,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,若对任意的 n ? N ,总有
*

S n 3n ? 1 ? , Tn 4



a3 ? b3





13. 已知正△ ABC 的边长为1, 点 G 为边 BC 的中点, 点 D, E 是线段 AB, AC 上的动点,DE 中点为 F .若 AD ? ? AB , AE ? (1 ? 2? ) AC (? ? R) ,则 FG 的取值范围为 ▲ .
2 2

14.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? (2b ? 1) x ? a ? 2 在区间 [3, 4] 上至少有一个零点,则 a ? b 的最小 值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? (1)求出 ? 及图中 x0 的值; (2)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 16. (本题满分14分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 是圆柱的中截面,点 E 为线段 BC 的中点,点 S 为圆柱的下底 面圆周上异于 A , B 的一个动点. (1)在圆柱的下底面上确定一定点 F ,使得 EF // 平面 ASC ; (2)求证:平面 ASC ? 平面 BSC .
y 3 2

π ) 的部分图象如图所示. 2

O

x0

x

1 1 2 3

第 15 题图

D

C

E A
S 第 16 题图

B

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17. (本小题满分 14 分) 如图, 有一景区的平面图是一半圆形, 其中 AB 长为 2km, C、 D 两点在半圆弧上, 满足 BC=CD. 设

?C O B ?? .
(1)现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB、BC、CD 和 DA 组成,则当 θ 为何值时,观 光道路的总长 l 最长,并求 l 的最大值. (2)若要在景区内种植鲜花,其中在 ?AOD 和 ?BOC 内种满鲜花, 在扇形 COD 内种一半面积的鲜花,则当 θ 为何值时,鲜花种植 面积 S 最大.
B O A C D

第 17 题图

18. (本小题满分 16 分)

x2 y2 . 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 左 , 右 顶 点 分 别 为 a b

A1 ? 2,0 , A2

?

? ?

2,0 ,若直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上有且仅有一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? .

?

⑴ 求椭圆 C 的标准方程; ⑵ 设圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两

Q 分别为椭圆 C 和圆 T 上的一动点. 焦点. 点P, 若 PQ ? QT ? 0
时, PQ 取得最大值为

5 ,求实数 t 的值. 2

第 18 题图

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19. (本小题满分 16 分)

1 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ,且当 x ? ? 0, 2? 时, f ( x) ? ln x ? ax (a ? ? ) ,当 x ? ?? 4,?2 ? 2
时, f ( x) 的最大值为 ?4 . (1)求实数 a 的值;

1 ( 2 )设 b ? 0 ,函数 g ( x) ? bx3 ? bx , x ? ?1, 2? .若对任意 x1 ? ?1, 2? ,总存在 x2 ? ?1, 2 ? ,使 3
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? , ?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn , an ?1 成等差数列, bn , ? an , bn ?1 也 成等差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an?1 ? m am?1 ? 4

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淮安市 2014—2015 学年度高三年级信息卷

数 学 试 题
数学Ⅱ 注意事项 附加题部分

2015.5

1. 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律 无效。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多 ....... ............ 做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径, AC 是⊙ O 的弦, ?BAC 的 平分线 AD 交⊙ O 于 D ,过点 D 作 DE ? AC 交 AC 的延长线 E C F A O B D

AC 3 AF ? ,求 于点 E , OE 交 AD 于点 F .若 的值. FD AB 5

B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 A= ?

第 21-A 题图

?a b? ?1? ,若矩阵 A 属于特征值-1 的一个特征向量为 α1= ? ? ,属于特征值 4 的 ? ? 2 1? ? ?1? ? 3? - 一个特征向量为 α2= ? ? .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵 A 1. 2 ? ?
C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
? x ? t cos ? ? m x ? 5 cos? 已知直线 l: ? (t 为参数)恒经过椭圆 C: ? (?为参数)的右焦点 F. ? ? y ? t sin ? ? y ? 3 sin ?

(1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 FA? FB 的最大值与最小值.

D.选修 4—5:不等式选讲(本小题满分 10 分)

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y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N 分别是 CC1、BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ( ? ? R) . (1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的角为 45° ,试确定点 P 的位置.

第 22 题图

23.在自然数列 1,2,3,

, n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 n ? k 个元素变动位置,得到不

同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为 P n ?k ? . ⑴ 求 P3 ?1? ; ⑵ 求

? P ?k ? ;
k ?0 4

4

⑶ 证明

? kPn ? k ? ? n? Pn?1 ? k ? ,并求出 ? kPn ? k ? 的值.
k ?0 k ?0 k ?0

n

n ?1

n

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淮安市 2014—2015 学年度高三年级第一次调研测试

数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题: 1.5 9. ?
14 2

2.1

3.300

4.2

5.20

6. 3 4 13. ? ,

7. 2 3

8.24

10. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

11.1

12.9

?1

?2

7? ? 4 ?

14.

1 100

二、解答题: 15. (1)由图可知,当 f ? 0 ? ? f ? x0 ? ?
3 3 3 ,sin ?? x0 ? ? ? ? ,即 sin ? ? ,??????2 分 2 2 2

π 5 ? ?? 又 ? ? ? 0, ? , x0 ? 0 ,所以 ? ? . x0 ? .???????????????????6 分 6 3 ? 2?
(2)由(1)可知: f ( x ) ? cos( πx ? 所以 当 πx ? 当 πx ?

π 1 1 π π π ) .因为 x ? [? , ] ,所以 ? ≤ πx ? ≤ . 2 3 3 3 6 2

π 1 ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最大值 1 ; 3 3

1 π π ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 0. ?????????????14 分 3 6 2

16. (1)点 F 为线段 AB 的中点,又点 E 为线段 BC 的中点, 故 EF // AC ,????????????????2 分 又 AC ? 平面 ASC , EF ? 平面 ASC , 所以 EF // 平面 ASC .????????????6 分 (2)因为正方形 ABCD 是圆柱的中截面,所以 BC ? 底面 ASB , 而 AS ? 底面 ASB ,故 BC ? AS ,???????8 分 因为点 S 为圆柱的下底面圆周上异于 A , B 的一个动点, 所以 BS ? AS ,???10 分 又 BC
BS ? B ,且 BC, BS ? 平面 BSC ,所以 AS ? 平面 BSC ,???????12 分

D

C

E A
S

B

又 AS ? 平面 ASC ,所以,平面 ASC ? 平面 BSC .?????????????14 分

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? ?? 17. (1)由题 ?COD ? ? , ?AOD ? ? ? 2? , ? ? ? 0, ? ? 2?
取 BC 中点 M,连结 OM.则 OM ? BC , ?BOM ? 所以 BC ? 2BM ? 2sin 同理可得 CD ? 2sin 所以 l ? 2 ? 2sin

?
2


C

D

?
2



M

?
2

, AD ? 2sin

? ? 2?
2

? 2cos? .

B

O

A

?
2

? 2sin
2

?

?? ? ? ? 2cos ? ? 2 ?1 ? 2sin 2 ? ? 4sin ? 2 .?????????4 分 2 2? 2 ?

? 1 ? ? ? 1? ? ?? 即 l ? ?4 ? sin ? ? ? 5,? ? ? 0, ? .所以当 sin ? ,即 ? ? 时,有 lmax ? 5 .??6 分 2 2? 2 2 3 ? ? 2?
(2) S?BOC ? sin ? , S?AOD ? sin ?? ? 2? ? ? sin ? cos? , S扇形COD ? ? . 所以 S ? sin ? ? sin ? cos? ? ? . ??????????????????????8 分 所以 S ' ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?

1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

1 1 ? ? 4cos? ? 3?? 2cos? ? 1? ?????????10 分 4 4

? ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,随意解 S ' ? 0 得 ? ? ,列表得 3 ? 2?

?
S' S
所以当 ? ?

? ?? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

? 3
0 极大值

?? ? ? ? , ? ?3 2?
- 递减

?
3

时,有面积 S 取得最大值.

答: (1)当 ? ? (2)当 ? ?

?
3

时,观光道路的总长 l 最长,最长为 5km; 时,鲜花种植面积 S 最大. ????????????????14 分

?
3

18.⑴ 因为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 左,右顶点分别为 A1 ? 2,0 , A2 a 2 b2

?

? ?

2,0 ,

?

2 所以 a =2 . ??????????????????????????????1 分

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又因为直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 上恰存在一个点 M ,使得 ?F1MF2 ? 90? , 即以原点 O 为圆心,半径为 r ? OF 1 ? c 作圆 O,使得圆 O 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切即可. 又圆心 O 到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

3? 0 ? 4 ? 0 ? 5 32 ? 42

? 1 , ???????3 分

所以 c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,????????????????????????5 分

x2 ? y 2 ? 1 ; ???????????????????6 分 所以椭圆 C 的标准方程为 2 x2 2 ⑵设 P ? x0 , y0 ? ,因为点 P 在椭圆上,所以有 0 ? y0 ? 1 ,??????????????7 分 2
因为圆 T 的圆心 T ? 0, t ? 在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点.
2 2 所以圆 T 的方程为 x ? ? y ? t ? ? t ? 1 , 2

?t ? 0? ,????????????????8 分
2 2

由 PQ ? QT ? 0 得 PQ2 ? PT 2 ? QT 2 ? x0 ? ? y0 ? t ? ? t ? 1 ,
2
2 x0 2 2 ? y0 ? 1 ,所以 PQ 2 ? ? ? y0 ? t ? ? t 2 ? 1 , ????????????????10 分 2 ①当 ?t ≤ ?1 即 t ≥ 1 时,当 y0 ? ?1 时, PQ 取得最大值 2t ,

?

?



因为 PQ 的最大值为

5 5 5 ,所以 2t ? ,解得 t ? ,又 t ≥ 1 ,故舍去. ?????12 分 2 8 2

②当 ?t ? ?1 即 0 ? t ? 1 时,当 y0 ? ?t 时, PQ 取最大值 t 2 ? 1 , 所以 t 2 ? 1 ?

1 1 5 2 ,解得 t ? ,又 0 ? t ? 1 ,所以 t ? . ???????????14 分 4 2 2 1 5 时, PQ 的最大值为 .??????????????????16 分 2 2
1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) , 2 4

综上,当 t ?

19. (1)当 x∈(0,2)时, f ( x) ?

由条件,当 x ? 4∈(?4,?2), f ( x ? 4) 的最大值为 ? 4, 所以 f ( x) 的最大值为 ? 1.???????????????????????2 分 因为 f ?( x) ?
1 1 1 ? ax ,令 f ?( x) ? 0 ,所以 x ? ? .???????????3 分 ?a? a x x

1 1 1 因为 a ? ? ,所以 ? ? (0, 2) .当 x∈(0, ? )时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数; 2 a a

1 当 x∈( ? ,2)时, f ?( x) ? 0 ; f ( x) 是减函数. a
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1 1 1 则当 x ? ? 时, f ( x) 取得最大值为 f (? ) ? ln(? ) ? 1 ? ?1 .所以 a ? ? 1.??6 分 a a a

(2)设 f ( x) 在 x ? ?1,2? 的值域为 A, g ( x) 在 x ? ?1,2? 的值域为 B,则依题意知 A ? B. 因为 f ( x) 在 x ? ?1,2? 上是减函数,所以 A ? (ln 2 ? 2, ?1) . 又 g ?( x) ? bx2 ? b ? b( x2 ? 1) ,因为 x ? ?1,2? ,所以 x2 ? 1? ? 0,3? .
2 2 ① b ? 0 时, g ?( x) ? 0,g(x)是增函数,B ? (? b, b) . 3 3 2 3 因为 A ? B,所以 ? b≤ln 2 ? 2 .解得 b≥3 ? ln 2 . 3 2

2 2 ② b ? 0 时, g ?( x) ? 0,g(x)是减函数,B ? ( b, ? b) . 3 3
2 3 因为 A ? B,所以 b≤ln 2 ? 2 . b≤? 3 ? ln 2 . 3 2 3 3 由①,②知, b≤? 3 ? ln 2 ,或 b≥3 ? ln 2 .?????????????????16 分 2 2

20. (1)由 an , ?bn , an ?1 成等差数列可得, ?2bn ? an ? an ?1 ,① 由 bn , ? an , bn ?1 成等差数列可得, ?2an ? bn ? bn ?1 , ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? ?3(an ? bn ) , 所以 ?an ? bn ? 是以 6 为首项、 ?3 为公比的等比数列.???????????????6 分 (2)由(1)知, an ? bn ? 6 ? (?3)n?1 ,③ ③ ? ④得, an ? 代入 ① ? ②得, an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? ?2 ,④ ②

6 ? (?3) n ?1 ? 2 ? 3 ? (?3) n ?1 ? 1 , ?????????????????8 分 2

an ? m a ?4 3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m 3 ? (?3) m ?1 ? 3 ? m ? ,得 , an ?1 ? m am ?1 ? 4 3 ? (?3) n ? 1 ? m 3 ? (?3) m ? 3

所以 [3 ? (?3)n?1 ? 1 ? m][3 ? (?3)m ? 3] ? [3 ? (?3)n ? 1 ? m][3 ? (?3)m?1 ? 3] , 整理得, (m ? 1)(?3)m ? 3 ? (?3)n ? 0 ,所以 m ? 1 ? (?3)n?m?1 ,???????????10 分 由 m 是不超过 100 的正整数,可得 2 ≤ (?3)n?m?1 ≤101 ,所以 n ? m ? 1 ? 2 或 4 , 当 n ? m ? 1 ? 2 时, m ? 1 ? 9 ,此时 m ? 8 ,则 n ? 9 ,符合题意; 当 n ? m ? 1 ? 4 时, m ? 1 ? 81 ,此时 m ? 80 ,则 n ? 83 ,符合题意. E D F
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a ?m a ?4 ? m n )为 (8,9) , 故使 n 成 立 的 所 有 数 对 (m , an ?1 ? m am ?1 ? 4 C

A

O

B

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(80,83) .?????????16 分

数学Ⅱ部分
21.A. 连接 OD,BC,设 BC 交 OD 于点 M. 因为 OA=OD,所以 ? OAD= ? ODA; 又因为 ? OAD= ? DAE,所以 ? ODA= ? DAE 所以 OD//AE;又 因为 AC ? BC,且 DE ? AC,所以 BC//DE. 所以四边形 CMDE 为平行四边形, 所以 CE ? MD ,???????????????????????????????5 分 由

AC 3 3 5 ? ,设 AC ? 3x, AB ? 5x,则 OM ? x ,又 OD ? x , AB 5 2 2
5 3 x ? x ? x ,所以 AE ? AC ? CE ? 4 x , 2 2 AF AE 4 x 8 = ? ? . ??????????????????10 分 FD OD 5 x 5 2
?1? ? 可得, ? ?1?

所以 MD ?

因为 OD // AE ,所以

B. 由矩阵 A 属于特征值-1 的一个特征向量为 α1= ?

?a b? ? 1 ? ?1? ? 2 1 ? ? ?1? = ?1 ? ?1? ,即 a-b=-1;????????????????????3 分 ? ?? ? ? ? ? 3? 由矩阵 A 属于特征值 4 的一个特征向量为 α2= ? ? , ?2? ?a b? ? 3? ? 3? = 4 ? ? ,即 3a+2b=12,???????????????????6 分 ? ? ? ? 2 1? ? 2 ? ?2? ?a ? 2 ? 2 3? 解得 ? .即 A= ? ? ,?????????????????????????8 分 ?b ? 3 ? 2 1?
可得 ?

1 ? 2 ? ? ???????????????????????10 分 1? ? 2? ? x2 y 2 ? ?1, C. (1)椭圆的参数方程化为普通方程,得 25 9
因为 a ? 5, b ? 3, c ? 4 ,则点 F 的坐标为 (4, 0) . 因为直线 l 经过点 (m, 0) ,所以 m ? 4 .??????????????????4 分
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? 1 ?? 4 -1 所以 A 逆矩阵 A 是 ? ? 3 ? ? 4

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(2)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .?????????????????6 分
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

FA ? FB ?| t1t2 | =
当 sin 当 sin

81 81 ? . 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ?
2

? ? 0 时, FA ? FB 取最大值 9 ;

? ? ?1 时, FA ? FB 取最小值

81 . 25

?????????????????10 分

D. 因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得

x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ . ????????????4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ ,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .???10 分 yz zx xy x y z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. (1)证明:如图,以 AB,AC,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz. 1 1 1 则 P(λ,0,1) ,N( , ,0) ,M(0,1, ) , 2 2 2 1 1 1 NA M ? 从而 PN = ( -λ, , -1) ,AM = (0,1, ) ,P 2 2 2 1 1 1 =( -λ)×0+ × 1-1× =0,所以 PN⊥AM;?4 分 2 2 2 (2)平面 ABC 的一个法向量为 n = AA . 1 =(0,0,1) 设平面 PMN 的一个法向量为 m =(x,y,z) ,
?? 1? 1 ? ? ?x? y ? z ? 0 ? ? ? 1 ?m ? NP ? 0 2? 2 ? 由(1)得 MP =(λ,-1, ) .由 ? ,得 ? ? 2 m ? MP ? 0 ? 1 ? ?? x ? y ? z ? 0 ? ? 2

2? ? 1 ? y? x ? 3 ? 解得 ? ,令 x ? 3 ,得 m ? ? 3, 2? ? 1, 2 ? 2? ? . ????????????8 分 ? z ? 2 ?1 ? ? ? x ? 3 ?

因为平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45° , 所以 cos m, n ? |2(1-λ)| 2 1 m?n = 2 2= 2 ,解得 λ=-2, m n 9+(2λ+1) +4(1-λ)
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1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且 A1P= .????????????????????10 分 2 23.⑴ 因为数列 1, 2,3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1,3,2或3,2,1或2,1,3 , 所以 P 3 ?1? ? 3 ;??????????????????????????????2 分 ⑵

? P ? k ? ? P ? 0? ? P ?1? ? P ? 2? ? P ? 3? ? P ? 4 ?
k ?0 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 2 =C0 4C3C3 +C4C2 +C4 +0+1=9+8+6+0+1=24 ;?????????????????4 分

4

k ⑶ 把数列 1,2, ???, n 中任取其中 k 个元素位置不动, 则有 Cn 种;其余 n ? k 个元素重新排列,并 k 且使其余 n ? k 个元素都要改变位置,则有 P n ? k ? ? Cn P n ?k ? 0? ,?????????6 分
n n



? kPn ? k ? ? ? kCnk Pn?k ? 0? ,又因为 kCnk ? nCnk??11 ,
k ?0 k ?0

所以

? kPn ? k ? ? ? kCnk Pn?k ? 0? ? n?Cnk?1Pn?k ?1 ? 0? ? n? Pn?1 ? k ?. ,????????8 分
k ?0 k ?0 k ?0 k ?0

n

n

n ?1

n ?1

令 an ?

? kP ? k ?, 则 a
k ?0 n

n

n

? nan ?1 , 且 a1 ? 1.

于是 a2 a3a4 ??? an?1an ? 2a1 ? 3a2 ? 4a3 ????? nan?1 , 左右同除以 a2 a3a4 ??? an ?1 ,得 an ? 2 ? 3 ? 4 ????? n ? n! 所以

? kP ? k ? ? n!
k ?0 n

n

???????????????????????????10 分

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