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2018届人教B版 6个解答题专项强化练(四) 数 列 单元测试

6 个解答题专项强化练(四) 大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前 n 项和(n∈N*). 数 列 1.已知{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),{bn}是首项为 2 的等比数列,且公比 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12, 而 b1=2,所以 q2+q-6=0. 又因为 q>0,解得 q=2. 所以 bn=2n. 由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8.① 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16.② 由①②,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2,数列{bn}的通项公式为 bn=2n. (2)设数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 Tn, 由 a2n=6n-2,b2n-1=2×4n 1, - 得 a2nb2n-1=(3n-1)×4n, 故 Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n 1, + 上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n = 12×?1-4n? + -4-(3n-1)×4n 1 1-4 + +1 =-(3n-2)×4n 1-8. 故 Tn= 3n-2 n+1 8 ×4 + . 3 3 3n-2 n+1 8 ×4 + . 3 3 所以数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 1 - 2.已知数列{an}满足:a1= ,an+1-an=p· 3n 1-nq,n∈N*,p,q∈R. 2 (1)若 q=0,且数列{an}为等比数列,求 p 的值; (2)若 p=1,且 a4 为数列{an}的最小项,求 q 的取值范围. 解:(1)∵q=0,an+1-an=p· 3n 1, - 1 1 ∴a2=a1+p= +p,a3=a2+3p= +4p, 2 2 1 ?2 1?1 ? 由数列{an}为等比数列,得? ?2+p? =2?2+4p?,解得 p=0 或 p=1. 第 1 页 共 9 页 1 当 p=0 时,an+1=an,∴an= ,符合题意; 2 当 p=1 时,an+1-an=3n 1, - 1 1 1-3 - ∴ an= a1+ (a2- a1)+ (a3- a2) + … + (an- an- 1)= + (1+ 3+ … + 3n 2)= + = 2 2 1-3 1 n-1 · 3 , 2 an+1 ∴ a =3.符合题意. n ∴p 的值为 0 或 1. (2)法一:若 p=1,则 an+1-an=3n 1-nq, - n-1 1 - ∴an=a1+ (a2-a1)+ (a3-a2)+…+(an-an- 1)= + (1+3+…+3n 2)- [1+2+…+ (n 2 1 - -1)]q= [3n 1-n(n-1)q]. 2 ∵数列{an}的最小项为 a4, 1 - 1 ∴对任意的 n∈N*,有 [3n 1-n(n-1)q]≥a4= (27-12q)恒成立, 2 2 即 3n 1-27≥(n2-n-12)q 对任意的 n∈N*恒成立. - 当 n=1 时,有-26≥-12q,∴q≥ 当 n=2 时,有-24≥-10q,∴q≥ 13 ; 6 12 ; 5 当 n=3 时,有-18≥-6q,∴q≥3; 当 n=4 时,有 0≥0,∴q∈R; 当 n≥5 时,n2-n-12>0,所以有 q≤ 3n 1-27 令 cn= 2 (n≥5,n∈N*), n -n-12 - 3n 1-27 恒成立, n2-n-12 - 则 cn+1-cn= 2?n2-2n-12?3n 1+54n >0, ?n2-16??n2-9? - 即数列{cn}为递增数列,∴q≤c5= 27 . 4 27? 综上所述,q 的取值范围为? ?3, 4 ?. 法二:∵p=1,∴an+1-an=3n 1-nq, - 又 a4 为数列{an}的最小项, ?a4-a3≤0, ?9-3q≤0, ? ? ∴? 即? ?a5-a4≥0, ? ? ?27-4q≥0, 第 2 页 共 9 页 ∴3≤q≤ 27 . 4 此时 a2-a1=1-q<0,a3-a2=3-2q<0, ∴a1>a2>a3≥a4. 27 - - 当 n≥4 时,令 bn=an+1-an,bn+1-bn=2· 3n 1-q≥2· 34 1- >0, 4 ∴bn+1>bn,∴0≤b4<b5<b6<…, 即 a4≤a5<a6<a7<…. 27 综上所述,当 3≤q≤ 时,a4 为数列{an}的最小项, 4 27? 即 q 的取值范围为? ?3, 4 ?. n ? * 3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=an? ?3+r?(r∈R,n∈N ). (1)求 r 的值及数列{an}的通项公式; n (2)设 bn= (n∈N*),记{bn}的前 n 项和为 Tn. an ①当 n∈N*时,λ<T2n-Tn 恒成立,求实数 λ 的取值范围; ②求证:存在关于 n 的整式 g(n),使得 ? (Tn+1)=Tn· g(n)-1 对一切 n≥2,n∈N*都 i=1 n-1 成立. 1 ? 2 解:(1)当 n=1 时,S1=a1? ?3+r?,∴r=3, n 2? ∴Sn=an? ?3+3?. n 1? 当 n≥2 时,Sn-1=an-1? ?3+3?. 两式相减,得 an= ∴ n+2 n+1 a- a , 3 n 3 n-1 an n +1 = (n≥2). an-1 n-1 n +1 a2 a3 an 3 4 5 n ∴ ·· …· = × × ×…× × , a1 a2 an-1 1


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