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1.1.2余弦定理


授课教师: 授课教师 参与教师: 参与教师 教学课题:§1.1.2 余弦定理 教学课题 课 (第一周第 2 课时) 时:

主备人: 主备人

教学课型:新授课 教学课型 教学目标: 教学目标 【知识与技能】 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 并会运用余弦定理解 决两类基本的解三角形问题。 【过程与方法】 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定理解 决两类基本的解三角形问题 【情感态度与价值观】 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦 定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学重点 教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用 教学难点 教学方法:观察、思考、交流、讨论、概括 教学方法 实验及教具:多媒体辅助教学 实验及教具 教学过程设计: 教学过程设计 一、课题导入 :如果已知一个三角形的两边及其所夹得角,根据三角形全等的判定方 【探究】 探究】 : 法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。我们仍然从量化的角度来研 究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一 边和另两个角的问题。
C

如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ∠ C,求边 c
A

b

a

c (图 1.1-4)

B

二、讲授新课 【思考】 :联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。

1

A 如图 1.1-5,设 CB = a , CA = b , AB = c ,那么 c = a ? b ,则
c = c ?c = a ? b a ? b r r r r r r = a ? a + r ? b ?r ar? b 2 r 2 b2 = a + b ? 2a ? b
r2 r r
uur r uu r r uur r r r r r r

b
r

c

(

r

r r

)(

r

)
C

a

B

从而 同理可证

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B

(图 1.1-5)

于是得到以下定理 余弦定理】 :三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 【余弦定理】 它们的夹角的余弦的积的两倍。即: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC

【思考】 :这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第 四个量,能否由三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A = b2 + c 2 ? a 2 a 2 + c 2 ? b2 b2 + a 2 ? c 2 cos B = cosC = 2bc 2ac 2ba ; ;

[理解定理] 理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 【思考】 :勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出 了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关 系?(由学生总结)若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC = 0 ,这时 c 2 = a 2 + b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 二、讲解新课: 讲解新课: 例 3:在 ? ABC 中,已知 b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形(角度精确到 1°,边 长精确到 1cm)

2

(角度精 例 4:在 ? ABC 中,已知 a =134.6cm , b = 87.8cm , c =161.7cm ,解三角形。 确到 1′)

: 【思考】 我们讨论的解三角形的问题可以分为几种类型?分别是怎样求解的? 思考】 要求解三角形,是否必须已知三角形一边的长? 四、课堂练习: P—8:1,2. 课堂练习 五、小结: 小结: (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的 特例; (2)余弦定理的应用范围: ①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。 六、课后作业: 课后作业: ①课后阅读:课本第 8 页[探究与发现] ②课时作业:第 10 页[习题 1.1]A 组第 3(1) ,4(1) 。 七、课后反思: 课后反思: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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