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高一年级期末数学试卷


高一年级期末数学试题
考试时间:120 分钟 总分:150 分
1 3

命题人:

一,选择题(每题 5 分,12 小题,共 60 分) 1. 已知集合 P={x| y ? 1 ? x ? lg( x ? 2) },Q={ y | y ? ( ) , x ? R} ,则 P∩Q= ( b )
| x|

A.(0,1)

B.(0,1]

C. [?2,1)

D.[-2,1]

2.已知向量: a =(2,3), b =(4,y),若: a ∥ b ,则 y=( b ) A.一

?

?

?

?

8 3

B.6

C.

8 3

D.一 6 ( d )

3. 下列式子中成立的是 A. log0.4 4 ? log0.4 6 B. 1.01
3.4

? 1.013.5

C. 3.5

?0.3

? 3.4?0.3

D. log7 6 ? log 6 7 a )

4. 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ( 2 2 2 2 A.4cm B. 2cm C. 4π cm D. 2π cm 5.

3 ? sin 700 =( 2 ? cos 2 100
1 2
B.

C )

A.

2 2

C. 2

D.

3 2

6.计算: 1.10 ? 3 216 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2 lg 2 ? ( A.4 ; B.5 ;

b ) D.--5

C.6 ;

7. 已知 AD、 分别是△ABC的边BC、 BE AC上的中线, AD = a , BE = b 则 BC =( c) 且 A. a ?

?

? ?

1? 3

2? b 3

B.

2? 1? a? b 3 3
?

C.

2? 4? a? b 3 3

D.

4? 2? a? b 3 3

8、已知 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? m , f ( x ? ( D ) A. ? 1

) ? f (? x) 恒成立,且 f ( ) ? ?1 ,则实数 m 的值为 3 6 ?3 B. C.-1 或 3 D.-3 或 1

?

9.已知 cos(α -

π 4 7π 3 , 则 sin( α ? )的值是 (c ) )+sinα = 5 6 6
(B)

(A)-

2 3 5

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5

10. 以下命题中:①函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 有 1 个零点.

②函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的零点所在的区间是[2,3]. ③函数 y ? a ④函数 y ? 8
loga x

(a ? 0且a ? 1) 与函数 y ? x 有相同图象.
? ? 1 ? , x ? R ? ;值域是(0,+∞). 2 ?

1 2 x ?1

的定义域是 ? x | x ?

⑤函数 y ? 3x 与 y ? ?3? x 的图象关于原点成中心对称. 其中结论正确的有 A. 2 个 一、选择题答题处: 题号 答案 二、填空题: (每题 5 分,4 小题,共 20 分) 11、已知钝角 ? 的终边经过点 P( sin 2? , sin 4? ) ,且 cos ? ? 1 2 ( a ) C. 4 个

B. 3 个

D. 5 个

3

4

5

6

7

8

9

10

1 3? ,则 ? 的值为_______; 4 2

12、△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 ?A 、 ?B 、 ? C 的对边。如果 a ? c ? 2b , ?B ? 30? , △ABC 的面积为

13、将函数 y ? f ( x) sin x 的图象向右平移

3 ,那么 b=___________; 1 ? 3 2 ?
4

个单位后,再作关于 x 轴对称的曲线,得到函

数 y ? 1? 2 sin2 x , 则 f ( x ) 是_____; 2 cos x 14.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, ?B ? 300 , (a ? b)(a ? 2b) ? 0 ,则

?ABC 解的情况是

. (填一解、两解或无解)

两解

15.已知函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x ? 3) 在 [2, 4] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是___
? 1 1? ? , ? ? ?1,??? ? 16 8 ? 三、解答题: (每题 14 分,5 小题,共 70 分)

16.(本小题满分 12 分)
0 已知 a =1, b = 2 .(Ⅰ)若 a 与 b 的夹角为 60 ,求 a ? b ;

?

?

?

?

?

?

(Ⅱ)若 a ? b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.
0 16.解:(I)∵ a =1, b = 2 , a与b 的夹角为 60

?

?

?

?

?

?

?

?

?

∴a ·b = a

?

?

?

? 2 b cos 600 =1× 2 ×cos 600 = 2
? ? ? ? a 2 ? b 2 ? 2a ? b
= 1?

2 ∴ a ? b = (a ? b ) ?

? ?
?

?

?

2 ? 2?

2

2 ? 3? 2 2

(Ⅱ)设 a 与 b 的夹角为 ? . ∵( a - b )⊥ a
2

?

? ?

?

∴ a ·( a - b )=0 即 a 2 ? a · b =0

?

? ?

?

?

?

∴ 1 -1× 2 ×cos ? =0 ∴cos ? = 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)化简:

2 2

∴ ? = 450 即 a 与 b 的夹角为 450

?

?

1-2 sin 100 0 cos 280 0 1 ? cos 2 170 0 ? cos 370 0



(Ⅱ)已知:sinacosa=

1 ? ? ,且 <a< ,求:COSa-Sina 的值. 4 4 2

17.解: (Ⅰ)原式=

1 ? 2 cos100 sin 100 1 ? cos2 100 ? cos100

?

(cos100 ? sin 100 ) 2 sin 2 100 ? cos100



cos100 ? sin 100 ? ?1 sin 100 ? cos100

2 2 2 (Ⅱ)∵(cos ? ? sin ? ) = cos ? ? sin ? ? 2 sin cos?

=1—2sin ? cos ? ? 1 ? 2 × ∵

? ? < ? < ,∴ cos? <sin ? ,∴ cos? - sin ? <0 4 2
? 2 2

1 1 ? 4 2

∴ cos? - sin ? =

18.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 AB 的长; (2)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. ∴a+b= 2 c 即 AB 边长为 1

1 6

18.解:①∵ sinA+sinB= 2 sinC 又 a+b+c= 2 +1

∴a+b= 2 , c=1

②由 s=

1 1 1 absinC= sinC,得 ab= 2 6 3

由余弦定理得 cosC=

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b)2 ? 2ab ? c 2 1 ? = 2 2ab 2ab

∴∠C=60°

19、 (本小题满分 10 分)已知: f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2x ? a (a ? R, a 为常数) (1)若 f (x) 在 [?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值; 6 4 (2)在(1)条件下 f (x) 先经过平移变换,再经过伸缩变换后得到 y ? sin x ,
请写出完整的变换过程。

? ?

19 解:? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? a ? 1
6

?

(1) x ? [?

? ?

? ? ? ? 2? , ] ? 2 x ? [ ? , ] ? 2 x ? ? [? , ] 6 4 3 2 6 6 3

??

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

即 f (x) min=a,

f (x) max=a+3,

? a+a+3=3? a=0

? ? (2)将 f ( x) ? 2 sin(2x ? ) ? 1 的图像先向右平移 个单位,再向下平移 1 个单位, 12 6 得到 f ( x) ? 2 sin 2 x 的图像, 将 f ( x) ? 2 sin 2 x 的图像上每一个点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标缩短到
原来的
1 ,得到 f ( x) ? sin x 的图像。 2

20.已知向量 a= (cos? , sin ? ), b= (? cos? , sin ? ) , ? ? [0, (1)若 a ? b,求 ? 的值; (2)求 a·b +

?
2

].

a- b

的取值范围;

(3)是否存在实数 ? 和 ? ,使得 ? a+b=(0,1)?如果存在,求出对应的 ? 和 ? ; 如果不存在,请说明理由.

? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? [0, ] ? 2? ? , ? ? 4 2 2 2 2 (2) a·b + a- b = ? cos ? ? sin ? ? 2 cos?
20.解: (1)由 a ? b 得 a·b =0

即 cos 2? ? 0

1 2 3 2 2 ? 3? 又 0 ? cos ? ? 1 ? a·b + a- b ? ?1, ? ? 2? (3)假设存在实数 ? 和 ? ,使得 ? a+b=(0,1) 由 ? a+b= ? ? (cos? , sin ? ) ? (? cos? , sin ? ) = (? cos? ? cos? , ? sin ? ? sin ? ) ? (0,1) ?(? ? 1) cos? ? 0 得? ? (? ? 1) sin ? ? 1
= ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? ?2(cos ? ? ) ?
2

当 ? ? 1 时, cos ? ? 0 ? ? [0,

?

2 ? 1 ? 当 ? ? 1 时, sin ? ? , ? ? [0, ] , ? ? 6 2 2
所以存在 ? ? 0, ? ? 21.(本小题满分 14 分)

] 则 sin ? ? 1

? ? ? 0, ? ?

?
2

?

2

;或 ? ? 1 , ? ?

?
6

满足题意

设 A(7,1),B(1,5),P(7,14)为坐标平面上三点,0 为坐标原点,点 M 为线段 OP 上 的一个动点. (I)求向量 MA 在向量 AB 方向上的投影的最小值; .

(II)当 MA · MB 取最小值时,求点 M 的坐标; (III)当点 M 满足(2)的条件和结论时,求 cos∠AMB 的值. 21.解:(I)设 M(x,y) ∵点 M 在线段 OP 上 ∴o≤x≤7,且向量 OM 与 OP 商共线 又 OM =(x,y), OP =(7,14) ∴14x 一 7y=0 . ∴ M A =(7,1)一(x,2x)=(7--x,1—2x) ∴ M A 在向量 AB 方向上的投影为:

?

?

?

?

∴.Y=2x.∴M(x,2x)

? ?

? AB = (1,5)一(7,1)=(一 6,4)

?

? ? MA ? AB (7 ? x,1 ? 2 x) ? (?6,4) x ? 19 = ?? ? 2 2 AB 13 (?6) ? 4
∴0≤x≤7 ∴当 x=7 时,所求投影的最小值为 ? 2 13

(Ⅱ)由(I)知 M A =(7 一 x,1—2x) 又 MB =(1,5)一(x,2x)=(1—x,5—2x) ∴ M A · MB =(7--x,1—2x)·(1 一 x,5—2x) =(7--x) (1 一 x)+(1—2x)(5—2x) =5 x ? 2) —8 (
2

?

?

?

?

当 x=2∈(0,7)时 M A · MB 取最小值一 8,此时点 M(2,4). (Ⅲ)由(1I)知, M A =(5,一 3), MB =(一 1,1) Cos∠AMB=

?

?

?

?

? ? MA ? MB MA MB

?

(5,?3) ? (?1,1) 5 2 ? (?3) 2 (?1) 2 ? 12

=?

4 17 17


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