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四川省成都外国语学校2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


2013-2014 学年高二下学期期末考试数学(理)试题
试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓 名、准考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷
一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1、已知集合 M ? x ? Z x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 , N ? ?1, 2,3, 4? , 则 M ? N ? ( )

?

?

A、 ?1, 2,3? 2、已知 cos 2? ? A、 ?

B、 ?2,3, 4?

C、 ?2,3?

D、 ?1, 2, 4?

2 3

2 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( ) 3 2 11 B、 C、 18 3


D、 ?

2 9

3、下列命题错误的是 (

2 A、命题“若 m?0 ,则方程 x ? x?m ? 0 有实数根”的逆否命题为“若方程

x 2 ? x ? m ? 0 无实数根,则 m ? 0 ” 2 B、“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 2 2 C、对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 D、若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 S4 ?( 4、设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 ) S2 A、 8 B、 5 C、 ? 8 D、 15 5、运行如下程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出 s 属于( )

A、 [?4,3]

B、 [?5, 2]

C、 [?3, 4]

D、 [?2,5]

6、若当 x ? R 时,函数 f ( x) ? a 始终满足 0 ? f ( x) ? 1 ,则函数 y
x

? log a

1 x

的图象大

致为(



7、 函数 f ( x) ? sin(2x ? ? )( x ? ? ) 的图象向左平移 在 [0,

?
6

个单位后关于原点对称, 则函数 f ( x)

?
2

] 上的最小值为(



3 1 1 C、 D、 2 2 2 ?2 x ? y ? 1 x 4 ? y 4 ? 2 ? 2 x2 y 2 ? 8、设变量 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 的最小值为( ) 2 x2 ? 2 y 2 ? y?x?2 ?
A、 ? B、 ? A、 2 B、

3 2

3 2

C、 2 2 )

D、 2

9、已知 f ? x ? 是可导的函数,且 f ?( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成立,则( A、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0) C、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0)

B、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0) D、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0)

?log 1 ( x ? 1), x ? ? ?0,1? , ? 2 10、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ≥0 时, f ( x) ? ? ?1? | x ? 3 |, x ? ? ?1, ?? ? , ?
则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a (0< a <1)的所有零点之和为( A、1- 2
a


?a

B、 2 ? 1
a

C、 1 ? 2

D、 2

?a

?1

第Ⅱ卷
二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11、复数满足 z (1 ? i ) ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之差为 12、用数字 1,3 组成四位数,且数字 1,3 至少都出现一次,这样的四位数共有_______个

13 、 已 知 函 数

( x ? 1)2 ? sin x , 其 导 函 数 为 x2 ? 1 f ( 2 0? 1 f5 ) ?' ( f ? 2 0 1 5 ) ( 2 0 1 5 ) ? f ' (? 2 0 1 5? ) ______ f ( x) ?
?

f '( x) , 则

14、如图,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90 , BC ? 2 2,

A P G

G 是 ?ABC 的重心, P 是 ?ABC 内的任一点(含边界) ,则 ? ? ?? ? ? ?? 的最大值为_________ B G? B P
15、给出下列命题; ①设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则

B

C

[log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? ? ? [log2 127] ? [log2 128] ? 649 ;
②定义在 R 上的函数 f ( x ) ,函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 的图象关于 y 轴对称; ③函数 f ( x) ?

x ?1 1 1 的对称中心为 ( ? , ? ) ; 2x ?1 2 2

④已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 1 在 x ? 1 处有极值 11 ,则 f (?1) ? 3 或 31 ; ⑤定义:若任意 x ? A ,总有 a ? x ? A( A ? ?) ,就称集合 A 为 a 的 “ 闭集 ” ,已知

A ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} 且 A 为 6 的“闭集”,则这样的集合 A 共有 7 个。
其中正确的命题序号是____________ 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x , ( m ? 0) 的最大值为 2。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的值域; (Ⅱ)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 3 , f ( A ? 所对的边分别是 a , b ,求

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B , 角 A, B 4 4

?

1 1 ? 的值. a b
P

17、 (12 分)三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC。 (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; 2 2 (2)若 PA= 6,PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 , 3 PB 与底面 ABC 成 60° 角, 求二面角 B―PC―A 的大小。

A C



18、 (12 分)成都外国语学校开设了甲,乙,丙三门选修课,学生对每门均可选或不选,且

选哪门课程互不影响。 已知某学生只选修甲的概率为 0.08, 只选修甲和乙的概率为 0.12, 至少选修一门的概率为 0.88,用 ? 表示该学生选修课程的门数,用? 表示该学生选修课 程门数和没有选修课程门数的乘积。 (1)记“函数 f ( x) ? x2 ?? x 为偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (2)求 ? 的分布列与数学期望. 19、 (12 分)工厂有一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面,建造平面图形为矩形, 面积为 126 m2 的厂房,工程条件是:(1)建 1m 新墙费用为 a 元;(2)修 1 m 旧墙费用是 a a 元;(3)拆去 1 m 旧墙,用所得材料建 1m 新墙费用为 元,经过讨论有两种方案: 4 2 ①利用旧墙的一段 x m (x<14)为矩形厂房一面的边长; ②矩形厂房利用旧墙的一面,矩形边长 x≥14。 问:如何利用旧墙,即 x 为多少 m 时,建墙费用最省?①②两种方案哪种更好? 20、 (13 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (Ⅰ)证明数列 ?

an?1 1 , an ? ( n ? 2, n ? N ? ) 。 n 4 (?1) an?1 ? 2

?1 ? ? (?1) n ? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ? 1 (Ⅱ)设 bn ? 2 ,求 ?bn ?的前 n 项和 S n ; an (2n ? 1)? 4 ? (Ⅲ)设 c n ? a n sin ,数列 ?c n ?的前 n 项和 T n ,求证:对 ?n ? N , Tn ? 。 2 7
21、 (14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ex .

? n ? 1 (n ? N? ) ; (Ⅲ)对于函数 h( x) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x ,若存在常数 k , b ,使得
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)求证: e
x “分界线”.设函数 h( x) ? f ( x) ? e ? ex ?

1 1 1 1 1? ? ????? ? 2 3 n ?1 n

h( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b 都成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 h( x) 与 g ( x) 的

1 2 g ( x) ? e ln x h( x) g ( x) x , , 与 是否存 2

在“分界线”? 若存在,求出 k , b 的值;若不存在,请说明理由.

成都外国语学校高 2015 届高二下期期末考试 理科数学答案
1-10:CADB CBAB DA 11、0 12、14 13、2 14、4 15、①⑤

17、(1)证明:∵PA?面 ABC,?PA?BC, ∵AB?BC,且 PA∩AB=A,?BC?面 PAB 而 BC?面 PBC 中,?面 PAB?面 PBC. ……5 分 解:(2)过 A 作 AE ? PB于E, 过E作EF ? PC于F, 连结AF, 如图所示 : 则?EFA 为 B?PC?A 的二面角的平面角 ……8 分 P 2 由 PA= 6,在 Rt?PBC 中,cos?COB= 2. 3 E Rt?PAB 中,?PBA=60?. ?AB= 2,PB=2 2,PC=3 PA· AB 6 ?AE= = PB 2 A 同理:AF= 2 ………10 分 6 2 3 ?sin?EFA= = , ??EFA=60. ………12 分 2 2

F

C B

另解:向量法:由题可知:AB= 2,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系…………7 分 → B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, 2,0),P(0, 2, 6),假设平面 BPC 的法向量为 n =(x1,y1,z1), → ?→ n· BC=x1=0 z ??→ → ?n· BP= 2y1+ 6z1=0 P → 取 z1= 6,可得平面 BPC 的法向量为 n =(0,?3 2, 6)………9 分 → 同理 PCA 的法向量为 m =(2,? 2,0)…………………11 分 →→ m ·n 1 →→ y ?cos< m , n >= = , 所求的角为 60° ………12 分 → → 2? A | m |· |n| 18、解:设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为 P1,P2,P3,则由题意知 ?P1(1?P2)(1?P3)=0.08 ?P1=0.4 ?P1P2(1?P3)=0.12 ,解得?P2=0.6, ………4 分 ?1?(1?P1)(1?P2)(1?P3)=0.88 ?P3=0.5 (1)由题意? ? 0 ,即该生为选三门或一门都不选。 (2)由题意可设 ? 可能取的值为 0,1,2,3
B

C

x

因此 P(? ? 0 )=0.4?0.6?0.5+(1?0.4)(1?0.6)(1?0.5)=0.24 即为所求. ………6 分

P(? ? 0) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.6)(1 ? 0.5) ? 0.12 , P(? ? 1) ? 0.4 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.5) ? (1 ? 0.4) ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.38 P(? ? 2) ? 0.4 ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? (1 ? 0.4) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.38

P(? ? 3) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.12 ? 的分布列为:

?
P

0 0.12

1 0.38

2 0.38

3 0.12

E? ? 0 ? 0.12 ? 1? 0.38 ? 2 ? 0.38 ? 3 ? 0.12 ? 1.5 --------------12 分
a 19、解:(1)利用旧墙的一段 xm(x<14),则修墙费用为 x· 元,将剩余旧墙拆得材料建新墙费 4 2× 126 a ? a 元. 用为(14-x)· 元,其余建新墙的费用为? ?2x+ x -14?· 2 14-x ? 252 x ?7 252 ? ?x 36 ? 总费用 y= a+ a+?2x+ x -14? ?a=a?4x+ x -7?=7a?4+ x -1?(0<x<14). 4 2 x 36 x 36 ? ∴y≥7a?2 · -1 =35a。当且仅当4= x ,即 x=12m 时,ymin=35a. 4 x ? ? a 7 (2) 利用旧墙的一面,矩形边长 x≥14 ,则修旧墙费用为 × 14 = a 元,建新墙费用为 4 2 252 ?2x+ -14?a 元. x ? ? 252 126 7 7 2x+ -14?a= a+2a?x+ -7?(x≥14). 总费用 y= a+? x x ? 2 ? ? 2 ? a 126 由 t=x+ 在[ a,+∞)上为增函数,得 y1=x+ 在[14,+∞)上为增函数. x x 126 7 ? ∴当 x=14m 时,ymin= a+2a? ?14+ 14 -7?=35.5a. 2 综上所述,采用第一种方案,利用旧墙的 12m 为矩形的一面边长时,建墙费用最省 20、解: (Ⅰ)∵

? 1 ? 1 1 2 ,∴ ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)? ? (?1) n?1 ? , an a n ?1 an ? an?1 ?

又∵

?1 ? 1 ? (?1) ? 3 ,∴数列 ? ? (?1) n ? 是首项为 3,公比为-2 的等比数列, a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 。………………………………4 分 ? (?1) n = 3(?2) n?1 ,即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2 n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1,

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n = 3 ? 4 n ? 6 ? 2 n ? n ? 9 。………8 分 1? 4 1? 2 (2n ? 1)? (?1) n?1 1 n (Ⅲ)∵ sin = (?1) ,∴ cn ? , ? n ?1 n n ?1 2 3 ? (?2) ? (?1) 3? 2 ?1 1 1 1 1 ? ? ??? 当 n≥3 时, T n = 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 1 1 ? [1 ? ( ) n ? 2 ] 11 12 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ??? ? = 1 4 7 3 ? 2 2 3 ? 23 3 ? 2 n ?1 28 1? 2

Sn = 9 ?

11 1 ? 1 ? 11 1 47 4 ? ? ? ,……………12 分 ? ? ?1 ? ( ) n ?2 ? ? 28 6 ? 2 ? 28 6 84 7 4 ? 又∵ T1 ? T2 ? T3 ,∴对 ?n ? N , Tn ? 。……………………………13 分 7
= 21、

(Ⅲ)设 F ( x) ? h( x) ? g ( x) ?

1 2 x ? e ln x( x ? 0) . 2 e x 2 ? e ( x ? e)( x ? e) 则 F ?( x) ? x ? ? . ? x x x 所以当 0 ? x ? e 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, F ?( x) ? 0 .

因此 x ?

e 时 F ( x) 取得最小值 0,则 h( x) 与 g ( x) 的图象在 x ? e 处有公共点

1 ( e, e) . 2



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