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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.1指数与指数幂的运算(一


2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解 n 次方根与根式的概念; (2)正确运用根式运算性质化简、求值; (3)了解分类讨论思想在解题中的应用. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出 n 次方根的概念,进而学习 根式的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (2)培养学生认识、接受新事物的能力. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)根式概念的理解; (2)掌握并运用根式的运算性质. 2.教学难点:根式概念的理解. (三)教学方法 本节概念性较强,为突破根式概念的理解这一难点,使学生易于接受,故可以从初中已 经熟悉的平方根、立方根的概念入手,由特殊逐渐地过渡到一般的 n 次方根的概念,在得出 根式概念后, 要引导学生注意它与 n 次方根的关系, 并强调说明根式是 n 次方根的一种表示 形式,加强学生对概念的理解,并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发 现,学生合作交流,自主探索的教学方法. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计意图

环节 提出
53).

先让我们一起来看两个问题(见教材 P52—

老师提出问题, 学生思考回答.

由 实 际问题引 入, 激发学

问题

1 1 1 在问题 2 中,我们已经知道 , ( )2 , ( )3 , … 2 2 2

1 1 1 是正整数指数幂,它们的值分别为 , , , … . 2 4 8

生的学习 积极性.

1 1 1 那么,( ) 5730 , ( ) 5730 , ( ) 5730 的意义是什么呢? 2 2 2

6000

10000

100000

这正是我们将要学习的知识. 下面,我们一起将指数的取值范围从整数 推广到实数.为此,需要先学习根式的知识.

复习

什么是平方根?什么是立方根?一个数的 平方根有几个,立方根呢?

师生共同回顾初中所学过 的平方根、立方根的定义.

学 习 新知前的 简 单 复 习,不仅 能唤起学 生 的 记 忆,而且 为学习新 课作好了 知识上的 准备.

引入

归纳:在初中的时候我们已经知道:若
3 x2 ? a , 则 x 叫做 a 的平方根.同理, 若x ?a,

则 x 叫做 a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平 方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根 为 ?2 ,负数没有平方根,一个数的立方根只有 一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、立 方根均为零.

形成

类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次 方根的概念.

老师点拨指导,由学生观 察、 归纳、 概括出 n 次方根的概

由特殊 到一般, 培养学生 的观察、 归纳、概

概念

n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a
n

念.

的 n 次方根(throot) ,其中 n >1,且 n∈N ,



当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根中,正 数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示. 当 n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表 示,
n

括 的 能 力.

a 为被开 a 叫做根式.其中 n 称为根指数,

方数.

深化 概念

类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数 时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数 时呢?
n ? ?n为奇数, a的n次方根有一个,为 a a为正数:? n ? ?n为偶数, a的n次方根有两个,为 ? a

让学生对 n 为奇偶数进行 充分讨论.通过探究得到: n 为奇数, n an ? a ; n 为偶数,
n

通 过分 n 为 奇数和偶 数两种情 况讨论, 掌握 n 次 方 根 概

? ?n为奇数, a的n次方根只有一个,为n a a为负数:? ? ?n为偶数, a的n次方根不存在.

?a, a ? 0 . a ?| a |? ? ??a, a ? 0
n

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 举例:16 的次方根为 ?2 ,

举出实例,加深理解.

念,培养 学生掌握 知识的准 确性、全 面性,同 时培养学 生的分类 讨论的能 力

?27的5次方根为5 ?27 等等,而 ?27 的 4
次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们 一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还 要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:

( n a )n ? a ( n a )n ? a 肯定成立,n an 表示 an 的 n 次
方根,等式 n an ? a 一定成立吗?如果不一定 成立,那么 n an 等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号, 充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, n an ? a n 为偶数,
n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

如 3 ( ?3)3 ? 3 ?27 ? ?3,
4

(?8) 4 ?| ?8 |? 8

小结:当 n 为偶数时, n an 化简得到结果 先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就 避免出现错误.

应用 举例

例题:求下列各式的值

学生思考,口答,教师版 演、点评.

通过 例题的解

(1)

3

( ?8)3

(2)
(3) (4)
4

( ?10) 2
(3 ? ? ) 4 ( a ? b) 2
n

例题分析:当 n 为偶数时, 答,进一 应先写 n a n ?| a | ,然后再去绝 对值. 解: (1)
3

步理解根 式 的 概

( ?8)3 = —8;

念、性质.

思考: a n ? ( n a )n 是否成立,举例说明. 课堂练习:1. 求出下列各式的值

(2)
(3)
4

( ?10) 2 =|—10|=10;
(3 ? ? ) 4


(1) 7 ( ?2) 7

; ;

=? ? 3

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1)
(3) (3a ? 3) 4 .
4

(4)

( a ? b) 2 = a ? b

课堂练习 1.解: (1)—7; (2) 3a ? 3 ; (3) | 3a ? 3|

2.若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1,

求a的取值范围 .
3.计算 3 (?8) ? 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3)
3 4 3

=?

? ?3a ? 3 a ? 1 . ? ?3 ? 3a a ? 1

2.解: a ? 1 . 3.解: 原式=—8+1+ 3 ? 2 = ?9 ? 3 .

归纳 总结

1 .根式的概念:若 n >1 且 n ? N ,则
*

先让学生独自回忆, 然后师 生共同总结.

通过 小结使学 生加强对 知识的记 忆,加深 对数学思 想方法的 理解,养 成总结的 好习惯.

x是a的n次方根 .

n为奇数时,x= n a ,

n 为偶数时, x ? ? n a ;
n 2.掌握两个公式: n为奇数时,( n a ) ,

?a (a ? 0) n为偶数时,n a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

课后 作业

作业:2.1 第一课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 计算下列各式的值. (1) (3 a ) 3 ;
n (2) n (3 ? ? )

( n ? 1 ,且 n ? N ) ( n ? 1 ,且 n ? N )
?

?

(3) 2 n ( x ? y )

2n

【解析】 (1) (3 a ) 3 ? a .
n (2)当 n 为奇数时, n (3 ? ? ) = 3 ? ? ; n 当 n 为偶数时, n (3 ? ? ) = ? ? 3 .

(3) 2 n ( x ? y )

2n

=| x ? y |,
2n

当 x ? y 时, 2 n ( x ? y ) 当 x ? y 时, 2 n ( x ? y )

=x? y; = y ? x.
n

2n

【小结】 (1)当 n 为奇数时, an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ? ?
n n

a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

(2) 不注意 n 的奇偶性对式子 an 值的影响, 是导致错误出现的一个重要原因.故要在 理解的基础上,记准、记熟、会用、活用. 例 2 求值:

n

5? 2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 【解析】 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 22 ? 2 ? 2 2 ? ( 2) 2 ? (( 3 ? 2)) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (2 ? 2) 2

?|

3?

2 |? | 2 ?

3? | |? 2

2 |

? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2)
?2 2
【小结】开方后带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值.



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