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数学:例谈立体几何中的排列组合概率问题


例谈立体几何中的排列组合概率问题
在近几年的高考试题中,出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的 排列、组合、概率问题。这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强, 往往作为高考选择填空题的压轴题。它不仅考查了相关的基础知识,而且还注重 对数学思想方法及数学能力的考查。 一、共面问题:分类讨论 例 1. 不共面的四个定点到平面α 的距离都相等,这样的平面α 共有( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个 解析:平面α 可以分为两类:一类是在平面α 的两侧各有两个点;另一类是在平 面α 的两侧分别有一个点和三个点。如图 1,设 E、F、G、H、M 分别是 AB、AC、 AD、CD、BD 的中点,过 E、F、G 三点的平面α 满足题意,这样的平面有 4 个;又 过 E、F、H、M 的平面α 也满足题意,这样的平面有 3 个。故适合题设的平面α 共 有 7 个,应选 D。

图1 例 2. 在四棱锥 P�ABCD 中,顶点为 P,从其他的顶点和各棱的中点中取 3 个, 使它们和点 P 在同一平面上,不同的取法有()种。 A. 40 B. 48 C. 56 D. 62

图2

解析:如图 2,满足题设的取法可分为三类: (1)在四棱锥的每个侧面上除点 P 外任取 3 点,有 (2)在两个对角面上除点 P 外任取 3 点,共有 (种)不同的取法; (种)不同的取法;

(3)过点 P 的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面,共有 (种)不同的取法。 故不同的取法共有 (种)。

点评:这类问题应根据立体图形的几何特点,选取恰当的分类标准,做到分类既 不重复,也不遗漏。在例 2 中,最容易漏掉的是第(3)类,最易重复的也是第(3) 类。 二、异面问题:灵活转化 例 3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有( ) A. 18 对 B. 24 对 C. 30 对 D. 36 对 解析:大家知道一个三棱锥可以确定 3 对异面直线,一个三棱柱可以组成 (个)三棱锥,则共有 36 对异面直线。故选 D。 点评:利用熟知的立体图形来灵活转化,是处理异面直线配对问题的常用方法。 例 4. 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品, 有公共点的两条棱所代表的 化工产品在同一仓库中存放是危险的,没有公共点的棱所代表的化工产品在同一 仓库中存放是安全的。现有编号为①②③④的四个仓库,用来存放这 8 种化工产 品,则安全存放的不同方法总数为() A. 96 B. 48 C. 24 D. 0

图3

解析:如图 3,分别用 1~8 标号的棱表示 8 种不同的化工产品,易知可以两两放 入同一仓库的情况如下(其实就是异面直线配对):

则 8 种产品安全存放有“(1,5)、(2,6)、(3,7)、(4,8)”和“(1, 8)、(2,5)、(3,6)、(4,7)”两种可能,故所求的方法总数为 (种),应选 B。 点评:这道实际应用题用四棱锥的 8 条棱的关系来研究化工产品的存放种数,体 现了数学建模的思想。同学们在解决问题时,首先要将问题转化为四棱锥的 8 条 棱之间的排列组合情况,然后再把四棱锥的 8 条棱分成 4 对异面直线。 三、综合问题:化整为零,各个击破 例 5. 以平行六面体 的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机 取出 2 个三角形,则这 2 个三角形不共面的概率 P 为()

A.

B.

C.

D.

解析:此问题可分解成五个小问题: (1)由平行六面体的 8 个顶点可组成多少个三角形? 可组成 (个)三角形。

(2)平行六面体的 8 个顶点中,4 点共面的情形共有多少种? 平行六面体的 6 个面加上 6 个对角面,共 12 个平面。 (3)在上述 12 个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个? 有 (个)

(4)从 56 个三角形中任取 2 个三角形共面的概率 P 等于多少?

(5)从 56 个三角形中任取 2 个三角形不共面的概率 P 等于多少?

利用求对立事件概率的公式,得 故选 A。



点评:这道题以立体几何熟知内容为载体,构思巧妙,综合考查立体几何、排列 组合、概率等基础知识,深入考查同学们的数学思维能力。本题的得分率较低, 同学们的主要失误表现在以下两方面:(1)面对一个复杂的问题,缺乏明确的解 题目标意识,不善于将其分解为若干个子问题;(2)漏掉平行六面体的 6 个对角 面也是 4 点共面的情形,造成所求概率 ,误选 B。


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