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宁夏银川一中2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案


绝密★启用前

2018 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、 超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数 z= A.3 3
2

10 -2i (其中 i 为虚数单位),则|z|= 3+i B.3 2
2

C.2 3
x

D.2 2

2.设集合 A={(x,y)|x +y =1},B={(x,y)|y=3 },则 A∩B 的子集的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

3.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几 何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺, 问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件, 可求得该女子第 3 天所织布的尺数为 20 A. 31 3 B. 5 8 C. 15 2 D. 3

4.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面 直观图△A′B′C′的面积为 A. C. 3 2 a 4 6 2 a 8 B. D. 3 2 a 8 6 2 a 16

1 1 5.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间[ , ]内, 4 2 则输入的实数 x 的取值范围是 A.(-∞,-2] C.[-1,2] B.[-2,-1] D.[2,+∞)

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A.96 C.96+4( 2-1)π B.80+4 2π D.96+4(2 2-1)π

7.上海某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括甲 博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博 物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的 方案有
2 4 A. A6 种 ? A5 2 4 C. C 6 种 ? A5

4 2 B. A6 ?5 种 4 2 D. C 6 ?5 种

8.根据需要安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 D.2 日和 11 日 x-y+2≥0, ? ? 9.设 x,y 满足条件?3x-y-6≤0, ? ?x≥0,y≥0, 2 的最小值为 b 25 A. 6

3 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,则 + a

8 11 B. C. D.4 3 3 x2 y2 10.设 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P, a b → → → 使(OP+OF2)· F2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3|PF2|,则双曲线的离心率为 A. 2+1 2 B. 2+1 C. 3+1 2 D. 3+1

→ → → → → → AB· BC BC· CA CA· AB 11.在△ABC 中, = = ,则 sinA:sinB:sinC= 3 2 1 A.5 : 3 : 4
3

B.5 :4 :3
2

C. 5 : 3 :2

D. 5 :2 : 3

12.若函数 f(x)=x -3x 在(a,6-a )上有最小值,则实数 a 的取值范围是

A.(- 5,1)

B.[- 5,1)

C.[-2,1)

D.(- 5,-2]

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 a=log43,则 2a+2 a = . π π π 14.函数 f(x)=2sin2( +x)- 3cos2x ( ≤x≤ )的值域为 4 4 2


.

15.已知圆 x2+y2=4, B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上动点,若 ? PBQ=900,则线段 PQ 中点 的轨迹方程为 . . 16.设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段 PF 上的 点,且|PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为 三.解答 17.(本小题满分 12 分)
2 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 an>0,an +2an=4Sn+3.

(1)求{an}的通项公式: 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. anan+1 18.(本小题满分 12 分) 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指 标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近 10 表示满意度越高.为了解某地区居民的 幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调查数据如表所示: 幸福感指数 男居民人数 女居民人数 [0,2) 10 10 [2,4) 20 10 [4,6) 220 180 [6,8) 125 175 [8,10] 125 125

(1)在图中绘出频率分布直方图 (说明:将各个小矩形纵坐标标注 在相应小矩形边的最上面) ,并估算 该地区居民幸福感指数的平均值; (2)若居民幸福感指数不小于 6, 则认为其幸福.为了进一步了解居 民的幸福满意度,调查组又在该地 区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人 都感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率). 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AD∥BC, ∠BAD=90° ,AC⊥BD,BC=1,AD=PA=2,E,F 分别为 PB, AD 的中点. (1)证明:AC⊥EF; (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 积为 4.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2 a b 2

(1)求椭圆的方程. (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点 Q(0, y0 ) 在 线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求 y0 的值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(a-2)x. (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值. 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x=2+2cosα, 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数),曲线 C2 的参数 ?y=2sinα ? ? ?x=2cosβ, 方程为? (β 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ?y=2+2sinβ ?

(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程; π π π (2)已知射线 l1:θ=α(0<α< ),将射线 l1 顺时针旋转 得到射线 l2:θ=α- ,且射线 l1 与 2 6 6 曲线 C1 交于 O,P 两点,射线 l2 与曲线 C2 交于 O,Q 两点,求|OP|· |OQ|的最大值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 ?2 ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 0 的解集为 M,且 a , b ? M (1)证明:
1 1 1 a? b ? ; 3 6 4

(2)比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小,并说明理由.

宁夏银川一中 2018 届高三第一次模拟数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择 10(3-i) 10 1.B 解:z= -2i= -2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3 2,故选 B. 3+i (3+i)(3-i) 2.A 解:∵集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=3x}∴x2+y2=1 圆和指数函数 y =3x 图象,如图,可知其有两个不同交点,记为 A1、A2 则 A∩B 的子集应为?,{A1},{A2}, {A1,A2}共四种,故选 A. a1(25-1) 3.A 解:设这女子每天分别织布 an 尺,则数列{an}是等比数列,公比 q=2.则 2-1 5 5 2 20 =5,解得 a1= .∴a3= × 2 = .故选 A. 31 31 31 4.D [解析] 如图①、②所示的平面图形和直观图. 1 3 由②可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a,在图②中作 2 4 C′D′⊥A′B′于 D′,则 C′D′= 2 6 1 1 6 6 O′C′= a.∴S△A′B′C′= A′B′·C′D′= × a× a= a2. 2 8 2 2 8 16

?2x,x∈[-2,2] ? 5. B[解析] 该程序的作用是计算分段函数 f(x)=? 的函数 ? ?2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)

1 1 值.又∵输出的函数值在区间[ , ]内,∴x∈[-2,-1],故选 B. 4 2 6. C 解:由三视图可知几何体为边长为 4 的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半 径为 2,高为 2,∴圆锥的母线长为 2 2.∴几何体的平面部分面积为 6× 42﹣π×22=96﹣4π.圆 锥的侧面积为 π×2×2 2=4 2π.∴几何体的表面积为 96﹣4π+4 2π.故选 C. 2 7.D [解析] 因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有 C6种情 2 4 况,其余年级均有 5 种选择,所以共有 54 种情况,根据乘法原理可得 C6× 5 种情况,故选 D. 8.C [解析] 1~12 日期之和为 78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的 日期之和是 26,甲在 1 日和 3 日都有值班,故甲余下的两天只能是 10 号和 12 号;而乙在 8 日和 9 日都有值班,8+9=17,所以 11 号只能是丙去值班了.余下还有 2 号、4 号、5 号、6 号、7 号五天,显然,6 号只可能是丙去值班了.

9. D [解析] 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分. 当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12, ∴4a+6b=12,即 2a+3b=6.

3 2 3 2 2a+3b 1 9b 4a 9b 4a ∴ + =( + )· = (12+ + )≥4,当且仅当 = , a b a b 6 6 a b a b 3 3 2 即 a= ,b=1 时,等号成立.∴ + 的最小值为 4,故选 D. 2 a b 10. D → → → → → → → → → [解析] ∵(OP+OF2)· F2P=0,∴(OP+OF2)· (OP-OF2)=0,∴OP2-OF22=0,

OP=OF2=c=OF1,∴PF1⊥PF2,Rt△PF1F2 中,∵|PF1|= 3|PF2|,∴∠PF1F2=30° .由双曲 2a 3-1 2a 1 PF2 a 线的定义得 PF1-PF2=2a, ∴PF2= , sin30° = = = = , ∴2a=c( 3 2 F F 2 c 1 2 3-1 c( 3-1) c -1),∴ = 3+1,故选 D. a 11. C [解析] 由条件利用两个向量的数量积的定义可得 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2= 6b2+6c2-6a2=k,由此求得 a、b、c 的值,利用正弦定理可得 sinA:sinB:sinC 的值.解: △ABC 中 , ∵ → → → → → → → → → → AB· BC· cos(π-B) BC· CA· cos(π-C) AB· BC BC· CA CA· AB = = ,∴ = = 3 2 1 3 2

→ → 2 2 2 2 2 2 CA· AB· cos(π-A) ac· cosB ab· cosC bc· cosA ac a +c -b ab a +b -c 即 = = ,即 · = · = 1 3 2 1 3 2ac 2 2ab b2+c2-a2 bc ,即 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设 2a2+2c2-2b2=3a2+3b2 2bc -3c2=6b2+6c2-6a2=k,求得 a2=5k,b2=3k,c2=4k,∴a= 5k,b= 3k,c= 4k=2 k, ∴由正弦定理可得 a:b:c=sinA:sinB:sinC= 5?: 3?:2,故选 C. 12.C [解析] f′(x)=3x2-3=0,解得 x=± 1,且 x=1 为函数的极小值点,x=-1 为函 数的极大值点. 因为函数 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值, 所以函数 f(x)的极小值点必在区间(a,6 -a2)内,即实数 a 满足 a<1<6-a2,且 f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.由 a<1<6-a2,解得- 5<a<1. 不等式 a3-3a≥f(1)=-2, 所以 a3-3a+2≥0, 所以 a3-1-3(a-1)≥0, 所以(a-1)(a2+a-2)≥0, 所以(a-1)2(a+2)≥0,即 a≥-2.故实数 a 的取值范围是[-2,1).故选 C.

二.填空 13.[解析] 原式=2log43+2
-log

4

3

= 3+

1 4 3 = . 3 3

π π 14.. [解析] 依题意,f(x)=1-cos2( +x)- 3cos2x=sin2x- 3cos2x+1=2sin(2x- )+ 4 3 π π π π 2π 1 π 1.当 ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ , ≤sin(2x- )≤1,此时 f(x)的值是[2,3] 4 2 6 3 3 2 3 15. 解。设 PQ 的中点为 N(x′,y′).在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|,设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以 x′2+y′2+(x′-1)2+(y′-1)2

=4.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0. t2 p+ 2p t t p 16. [解析] 设 P( ,t),易知 F( ,0),则由|PM|=2|MF|,得 M( , ),当 t=0 时, 2p 2 3 3
2

t 1 1 1 直线 OM 的斜率 k=0, 当 t≠0 时, 直线 OM 的斜率 k= = , 所以|k|= ≤ t2 p t p |t| p |t| p+ + + 2p t 2p |t| 2p 2· |t|· 2p = 2 p |t| 2 ,当且仅当 = 时取等号,于是直线 OM 的斜率的最大值为 , 2 |t| 2p 2

三.解答 17.(本小题满分 12 分) [解析] (1)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式: 1 (2)求出 bn= ,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和. anan+1
2 解:(1)由 a2 n+2an=4Sn+3,可知 an+1+2an+1=4Sn+1+3 2 两式相减得 a2 n+1-an+2(an+1-an)=4an+1,

10 分 2分



2 2(an+1+an)=a2 n+1-an=(an+1+an)(an+1-an),∵an>0,∴an+1-an=2,

∵a2 1+2a1=4a1+3,∴a1=-1(舍)或 a1=3, 则{an}是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, ∴{an}的通项公式 an=3+2(n-1)=2n+1: 1 1 1 1 1 (2)∵an=2n+1,∴bn= = = ( - ), anan+1 (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3 ∴ 数列{bn}的前 n 项和 11 1 1 1 1 1 11 1 n Tn= ( - + - +…+ - )= ( - )= . 23 5 5 7 2 3 2n+1 2n+3 2n+3 3(2n+3) 18.(本小题满分 12 分)

4分

6分 8分

12 分

[解析] (1)频率分布直方图如图所示. 所求的平均值为 0.01× 2× 1+0.015× 2× 3+0.2× 2× 5+ 0.15× 2× 7+0.125× 2× 9=6.46. 2分

5分 125+125 (2)男居民幸福的概率为 =0.5, 500 175+125 女居民幸福的概率为 =0.6,故一对夫妻都幸福的概率为 0.5× 0.6=0.3. 500 因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.3), 于是 P(X=k)=Ck 0.3k(1-0.3)4 k(k=0,1,2,3,4),X 的分布列为 4×


X P

0 0.240 1

1 0.411 6

2 0.264 6

3 0.075 6

4 10 分 0.008 1 12 分

∴E(X)=np=4× 0.3=1.2. 19.(本小题满分 12 分)

解:(1)易知 AB,AD,A P 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分 别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), t t → → → E( ,0,1),F(0,1,0).从而EF=(- ,1,-1),AC=(t,1,0),BD=(-t,2,0). 2 2 → → 因为 AC⊥BD,所以AC· BD=-t2+2+0=0.解得 t= 2或 t=- 2(舍去). 2 → → 于是EF=(- ,1,-1),AC=( 2,1,0). 2 → → → → 因为AC· EF=-1+1+0=0,所以AC⊥EF,即 AC⊥EF. → → (2)由(1)知,PC=( 2,1,-2),PD=(0,2,-2). 设 n=(x,y,z)是平面 PCD 的一个法向量,则? 5分 3分

? 2x+y-2z=0 ?2y-2z=0

令 z= 2,则 n=(1, 2, 2). 设直线 EF 与平面 PCD 所成角为 θ, 1 1 → 则 sinθ=|cos<n,EF>|= .即直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 5 5 20.(本小题满分 12 分)

10 分

12 分

c 3 2 2 ,得 3a ? 4c , ? a 2 2 2 2 再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b , 1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 . 由题意可知, 2 ?a ? 2b , x2 ? y 2 ? 1. 解方程组 ? 得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 4 ?ab ? 2
解: (1)由 e ?

1分 2分 3分 4分

(2)由(1)可知 A(-2,0).设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 5分

? y ? k ( x ? 2) , ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 2 , ? ? y ?1 ? 4
由方程组消去 y 整理,得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0 ,
2 2 2 2

6分

由 ?2 x1 ?

2 ? 8k 2 4k 16k 2 ? 4 x ? , 从而y1 ? , , 得 1 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 .
8k 2 2k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2
8分

设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为 (?

以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0).线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 9分 (2)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x=0,解得 由 10 分

QA? QB ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)=

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4. (1 ? 4k 2 )2
2 2

?故 2, 故 k? ?? 整理得 7k7k? 2, k?
综上 y0 = ? 2 2或y0 = ? 21.(本小题满分 12 分)

1414 22 1414 所以 =? , . 所以 y0 y =0 ? 77 55

11 分 12 分.

2 14 . 5

[解析] (1)因为 f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞). 1-2ax2+(a-2)x -(2x-1)(ax+1) 1 所以 f′(x) = -2ax+(a-2)= = . x x x 因为 f(x)在 x=1 处取得极值,即 f′(1) =-(2-1)(a+1)=0,解得 a=-1. 1 当 a=-1 时,在( ,1)上 f′(x)<0,在(1,+∞)上 f′(x) >0, 2 此时 x=1 是函数 f(x)的极小值点,所以 a=-1. (2)因为 a2<a,所以 0<a<1,f′(x) =- (2x-1)(ax+1) . x

1 1 因为 x∈(0,+∞),所以 ax+1>0,所以 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减. 2 2 1 ①当 0<a≤ 时,f(x)在[a2,a]上单调递增,所以 f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a; 2

?a>2, ②当? 1 ?a <2,
2

1

1 2 1 1 即 <a< 时,f(x)在(a2, )上单调递增,在( ,a)上单调递减, 2 2 2 2

1 a a-2 a 所以 f(x)max=f( )=-ln2- + = -1-ln2; 2 4 2 4 1 2 ③当 ≤a2, 即 ≤a<1 时, f(x)在[a2, a]上单调递减, 所以 f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2. 2 2 1 综上所述,当 0<a≤ 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 lna-a3+a2-2a; 2 1 2 a 当 <a< 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 -1-ln2; 2 2 4 当 二选一 22.(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4 所以 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ 1分 2分 2 ≤a<1 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 2lna-a5+a3-2a2. 2

曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 所以 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (2)设点 P 的极坐标为(ρ1,α), π π 即 ρ1=4cosα,点 Q 的极坐标为(ρ2,(α- )),即 ρ2=4sin(α- ), 6 6 π 3 1 则|OP|· |OQ|=ρ1ρ2=4cosα· 4sin(α- )=16cosα· ( sinα- cosα) 6 2 2 π π =8sin(2α- )-4. ∵α∈(0, ), 6 2

3分 4分 5分 6分

8分

π π 5π π π π ∴2α- ∈(- , ).当 2α- = ,即 α= 时,|OP|· |OQ|取最大值 4. 10 分 6 6 6 6 2 3

23.

2



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