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人教版初中求函数解析式的基本方法


中考中求函数解析式的基本方法 求函数解析式是中学数学的重要内容,是高考的重要考点之一。本文给出求函数 解析式的基本方法,供广大师生参考。 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例 1. 已知 解:因为 ,求 。 二、换元法 已知 例 2. 同例 1。 解:令 , 看成一个整体 t,进行换元,从而求出 的方法。 所以 , 所以 。 评注:利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围,即 三、方程组法 根据题意,通过建立方程组求函数解析式的方法。 例 3. 已知定义在 R 上的函数 满足 ,求 的定义域。 的解析式。 解: , ① ② 得 , 所以 。 评注: 方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点, 构造另一个方程。 四、特殊化法 通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。 例 4. 已知函数 的定义域为 R,并对一切实数 x,y 都有 ,求 的解析式。 解:令 , 令 , 所以 , 所以 五、待定系数法 已知函数解析式的类型, 可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数 的方程,从而求出函数解析式的方法。 例 5. 已知二次函数 方程 的二次项系数为 a, 且不等式 的解析式。 的解集为 (1, 3) , 有两个相等的实根,求 解:因为 解集为(1,3), 设 , 所以 ① 由方程 得 ② 因为方程②有两个相等的实根, 所以 , 即 解得 又 , 将 ①得 。 六、函数性质法 利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。 例 6. 已知函数 是 R 上的奇函数,当 的解析式。 解析:因为 是 R 上的奇函数, 所以 , 当 , 所以 七、反函数法 利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。 例 7. 已知函数 ,求它的反函数。 解:因为 , 反函数为 八、“即时定义”法 给出一个“即时定义”函数,根据这个定义求函数解析式的方法。 例 8. 对定义域分别是 的函数 ,规定:函数 若 ,写出函数 的解析式。 解: 九、建模法 根据实际问题建立函数模型的方法。 例 9. 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别 截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图 1),问该容器 的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解:设容器高为 xcm,容器的容积为 。 求 的导数,得 当 为减函数; ,那么 为增函数;当 ,那么 因此,在定义域(0,24)内,函数 为 只有当 时取得最大值,其最大值 答:当容器的高为 10cm,容器的容积最大,最大容积为 十、图像法 利用函数的图像求其解析式的方法。 例 10. 在同一平面直角坐标系中,函数 称。现将 。 的图像关于直线 对 的图像沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位, 的表达式为 ( ) 所得的图像是由两条线段组成的折线 (如图 2 所示) , 则函数 (A) (B) (C) (D) 解析:由图像求得解析式 将 向左平移 2 个单位,向上平移 1 个单位得到 的图像, 所以 因为 所以 的图像关于 对称,所以 互为反函数。 所以选(A)。 十一、轨迹法 设出函数图像上任一点 P(x,y),根据题意建立关于 x,y 的方程,从而求出函 数解析式的方法。 例 11. 已知函数 求 的解析式。 的图像与函数 的图

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