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江西省上饶市德兴一中2014届高三上学期第五次周考(数学文)含解析


江西省上饶市德兴一中 2014 届高三上学期第五次周考(数学文)
一、选择题 1.已知 m,n∈R,mi-1=n+i,则复数 m+ni 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 1.D 【解析】 试题分析:由复数相等的定义可知 m ? 1, n ? ?1,故 m ? ni ? 1 ? i ,故在复平面内对应的点位于第四象限. 考点:对复数概念的理解,考查学生的基本运算能力. 2.由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大” ,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体 的体积最大”是( A. 归纳推理 2.C 【解析】 试题分析:类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去 推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .所以,由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的 面积最大” ,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是类比推理。选 C。 考点:本题主要考查类比推理。 点评:简单题,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性 质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 3.椭圆上 A.10 3.A 【解析】 试题分析:由椭圆方程可知 a 考点:椭圆定义及性质 点评:椭圆定义:椭圆上的点到两焦点的距离和为定值 2a ,条件|MF1|+|MF2|>|F1F2|要特别注意。 4.复数 A. -i
2





B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

) B. 演绎推理 C. 类比推理 D.以上都不是

x2 9

?

y2 25

? 1一动点 P 到两焦点距离之和为(
B.8 C.6

) D.不确定

? 25? a ? 5,2a ? 10 ,结合椭圆定义可知距离之和为 2a ? 10

2 1? i ? 等于( 1? i i
B. i

) C. 0 D.1+i
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4.C 【解析】 试题分析:

2(1 ? i) (1 ? i)i 2 ? 2i 1 ? i 2 1? i ? = =0,故选 C. ? ? ? 1? i i (1 ? i )(1 ? i ) i ?i 2 ?1

考点:复数的运算

5.袋中共有 5 个除颜色外完全相同的小球,其中 1 个红球,2 个白球和 2 个黑球,从袋中任取两球,两球 颜色为一白一黑的概率等于( A. ) C.

1 5

B.

2 5

3 5

D.

4 5

5.B 【解析】 试 题 分 析 : 用 A 表 示 红 球 , B1 , B2 表 示 两 个 白 球 , C1 , C2 表 示 两 个 黑 球 , 任 取 两 求 的基 本 事 件 有 一白一黑的为 B1C1 , B1C2 , B2C1 , B2C2 共 AB1 , AB2 , AC1, AC2 , B1B2 , B1C1, B1C2 , B2C1, B2C2 , C1C2 共 10 种,

4 种,由古典概型的概率计算公式得 P ?
考点:古典概型概率的计算.

4 2 ? ,选 B. 10 5

6.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号 1,2,??,960,分组后在 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 29, 则抽到的 32 人中, 编号落入区间 [1, 480] 的人数为 ( ) A.10 6.D 【解析】 试题分析:由系统抽样的定义,960 人中抽取 32 人,共需要均分成 32 组,每组 恰好含 B.14 C.15 D.16

960 ? 30 人,区间[1,480] 32

480 ? 16 组,故抽到的 32 人中,编号落入区间[1,480]的人数为 16 人. 30

考点:系统抽样.
1? 3? ? 1 7. 在区间(0,1)内随机投掷一个点 M(其坐标为 x),若 A ? ? ? x 0 ? x ? ? , B ? ? x ? x ? ? ,则 P ? B | A? ? 2 4 4 ? ? ? ?

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

7.C

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1? 3? ? 1 【解析】因为区间(0,1)内随机投掷一个点 M(其坐标为 x),若 A ? ? ?x 0 ? x ? ?, B ? ?x ? x ? ? 2? 4? ? ? 4

则 P ? B | A? ?

1 ,选 C 2


8.已知命题 p: x ? ?1 是命题 q:向量 a ? (1, x) 与 b ? ( x ? 2, x) 共线的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 8.A 【解析】 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

试题分析:当 x ? ?1 时, a ? (1, ?1) , b ? (1, ?1) ,则 a ? b , a 与 b 共线;当 a ? (1, x) 与 b ? ( x ? 2, x) 共线,则 1? x ? x( x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? ?1 .即命题 p 是命题 q 的充分不必要条件. 考点:1.充要条件;2.向量共线的充要条件. 9.下列说法中,正确的是( )

?

?

?

?

?

?

?

?

2 2 A.命题“若 am ? bm ” ,则“ a ? b ”的逆命题是真命题;

B.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ” ;
2 C. “ x ? 3 ”是 x ? 3x ? 2 ? 0 的充分不必要条件;

D.命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题. 9.C 【解析】 试题分析:对于 A,当 m ? 0 时, am 2 ? bm 2 ? 故“若 am 2 ? bm 2 ? 则“ a ? b ”的逆命题是假命题;对于 B, 命题“ ?x ? R ? x 2 ? x ? 0 ”的否定应该是“ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ” ;对于 D,命题“ p ? q ”为真命题,则 命题 p 和命题 q 至少有一个为真命题. 考点:1.四种命题及其关系;2.充分与必要条件;3.全程量词与存在量词.
x x 3 2 10.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的是(



(A) p ? q 10.D;

(B) ? p ? ? q

(C) p ? ?q

(D) ? p ? q

【 解 析 】 取 x ? ?1 , 可 知 p 错 , ? p 为 真 命 题 ; 令 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 , 因 为 f ( x ) 图 像 连 续 , 且

f (0)?f (1) ? 0 ,故 f ( x) 在区间(0,1)上有零点,即方程 x3 ? x 2 ? 1 ? 0 有解,即 ?x ? R, x3 ? 1 ? x2 ,
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故 q 为真命题;所以 ? p ? q 为真命题. 【考点定位】本题考查全称命题与特称命题以及复合命题的真假判定,考查学生的逻辑腿理能力. 二、填空题 11. “ log3 M ? log3 N ”是“ M ? N ”成立的 不充分”中选择一个正确的填写) 11.充分不必要 【解析】 试题分析:由 log3 M ? log3 N ,又因为对数函数 y ? log3 x 在定义域 (0, ??) 单调递增,所以 M ? N ; 当 M ? N , 由 于 不 知 道 M 、N 是 否 为 正 数 , 所 以 log3 M、 log3 N 不 一 定 有 意 义 . 故 不 能 推 出 条件.(从“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要

log3 M ? log3 N ,所以 log3 M ? log3 N ”是“ M ? N ”成立的充分不必要条件.
考点:对数函数的单调性、充分必要条件 12.在区间 ? -3 , 3? 上随机取一个数 x ,使得函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 12.

x ? 3 ? 1 有意义的概率为

.

2 3

【解析】 试题分析:由 ?
?1 ? x ? 0 , 得 f ? x ? 的定义域为 ?x ? 3 ? 0 .

??3 ,1? ,由几何概型求解公式得所求概率为 6 ? 3 .

4

2

考点:1、函数定义域;2、几何概型. 13.21 ?1 ? 2, 22 ?1? 3 ? 3? 4, 23 ?1? 3? 5 ? 4 ? 5 ? 6, 24 ?1? 3? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8, …依此类推, 第 n 个等 式为 .

13. 2n ?1? 3 ??? (2n ?1) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ??? (2n ?1) ? 2n

14.已知 F1、F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9

则 AB = _____________ 14.8 【解析】 试题分析: 因为, F1、 F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, 过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 若 F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9

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由椭圆的定义,|AB|+ F2 A ? F2 B ? 4a ? 20 ,所以, AB =8. 考点:椭圆的标准方程,椭圆的定义。 点评:简单题,涉及椭圆的焦点弦问题,往往要利用椭圆的定义:椭圆上的点,到两焦点距离之和为定值。

三、解答题 15.已知 a ? x 2 ?
1 2 ,b=2-x,c=x -x+1,用反证法证明:a、b、c 中至少有一个不小于 1。 2

15.根据反证法来证明,先否定结论,然后根据假设推理论证得到结论。 【解析】 试题分析:证明:假设 a、b、c 都小于 1,则
2 因为 a ? x ?

a?b?c ? 3

2分

1 2 ,b=2-x,c=x -x+1, , 2

1 1 2 2 a ? b ? c ? 2 x ? 2 x ? ? 3 ? 2( x ? ) ? 3 ? 3 ,8 分 所以 2 2
这与

a ? b ? c ? 3 相矛盾,故假设不成立。

综上 a、b、c 中至少有一个不小于 1。12 分 考点:反证法 点评:主要是考查了不等式的证明,体现了正难则反思想的运用,属于基础题。 16.设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0(其中 a≠0) ,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 16.(1) (2,3) (2) (1,2] 【解析】 试题分析:(1)当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 2 分
2 2

x?3 ?0 x?2

x 2 ? x ? 6 ? 0 ,得 2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 4 分 由? ? ?x ? 2
若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,5 分 所以实数 x 的取值范围是(2,3).7 分 (2)p 是 q 的必要不充分条件,即 q?p,且 p/?q,8 分 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B ? A,又 B=(2,3],
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由 x -4ax+3a <0 得(x-3a)(x-a)<0,9 分 当 a>0 时,A=(a,3a),有 ?

2

2

?a ? 2 ,解得 1<a≤2;11 分 ?3 ? 3a

当 a<0 时,A=(3a,a),显然 A∩B=?,不合题意.13 分 所以实数 a 的取值范围是(1,2].15 分 考点:解不等式及复合命题,集合包含关系 点评:复合命题 p∧q 的真假由命题 p,q 共同决定,当两命题中有一个是真命题时复合后为真命题, 由若 p 是 q 的必要不充分条件可得集合 p 是集合 q 的真子集
2 17.已知命题 p:方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根,命题 q:关于 x 的不等式 x2+(m-3)x+m2>0

的解集是 R.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 17.

(??, ?3) ? (1,2]

【解析】 试题分析:将两个命题化简,若 p 真,则 m>2;若 q 真,则 m<-3 或 m>1,由题意知 p, q 中有且仅有一为 真,一为假,分为 p 假 q 真和 p 真 q 假讨论. 考点:1.一元二次方程;2.命题及其关系. 18.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 76 分,用 xn 表示编号为 n(n=1,2,3,?,6)的同学所得成 绩,且前 5 位同学的成绩如下:

(1)求第 6 位同学的成绩 x6 及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从 6 位同学中随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(70,75)中的概率. 18. (1) x6 ? 91 , s ? 7 ; (2) 【解析】 试题分析:本题主要考查平均数、标准差、随机事件概率等基础知识,考查学生的计算能力 .第一问,利 用已知中给出的表格中的数据,代入到公式中直接求解,较简单;第二问,是随机事件的概率,列出所有 事件的情况,在所有情况中数出符合题意的种数. 试题解析:(1)∵ x ?
6 1 6 , x ? 76 x ? 6 x ? xn ? 6 ? 76 ? 71 ? 77 ? 73 ? 71 ? 73 ? 91 , ? n ? 6 6 n ?1 n ?1

8 . 15

第 6 页(共 7 页)

S2 ?

1 6 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 ,∴ s ? 7 . ? 6 n?1 6

6分

(2)从 6 位同学中随机选取 2 位同学,包含的基本事件空间为 (1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(2,3),(2, 4),

(2,5), (3, 4), (3,5), (4,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6), 共 15 个基本事件,
记“选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于 (70,75) ”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为

(1, 2),(2,3), (2, 4),(2,5),(1,6),(3,6),(4,6),(5,6) ,共 8 个基本事件,则 P ( A) ?
机地选 2 位同学,恰有 1 位同学的成绩位于 (70,75) 的概率为 考点:1.平均数;2.标准差;3.随机事件的概率.

8 ,故从 6 位同学中随 15

8 . 15

12 分

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