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反函数专题练习试卷及解析


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反函数专题练习试卷及解析
1.2015 年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第 21 题 已知函数 g ( x) ?

10 x ? 1 , x ? R ,函数 y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的反函数. 10 x ? 1

求函数 y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D

2.2013 年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第 22 题 已知函数 f ( x) ? a x?a ? 1,(a ? 0 且 a ? 1) 恒过定点 (2, 2) .

(1) 求实数 a ;
(2) 在 (1) 的条件下,将函数 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位,再向左平移 a 个单位后得到函
数 g ( x) ,设函数 g ( x) 的反函数为 h( x) ,求的 h( x) 解析式;

(3) 对 于 定 义 在 (1, 4] 上 的 函 数 y ? h( x) , 若 在 其 定 义 域 内 , 不 等 式

[h( x) ? 2]2 ? h( x2 ) ? h( x)m ? 6 恒成立,求 m 的取值范围.

3.2013 年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第 18 题 已知函数 f ? x ? ? lg ? x ?1? .

(1) 若 0 ? f ?1 ? 2x ? ? f ? x ? ? 1,求 x 的取值范围;

(2) 若 g ( x) 是 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 且 当 0 ? x ? 1 时 , 有 g ( x) ? f ( x) , 求 函 数
y ? g ? x ? ? x ? ?1, 2?? 的反函数.

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4.2014 年华约自主招生数学试题第 3 题 (1)求证: y ? f ( g ( x)) 的反函数是 y ? g ?1 ( f ?1 ( x)) . (2) F ( x) ? f (? x) , G( x) ? f ?1 (? x) ,若 F ( x) ? G ?1 ( x) ,求证 f ( x ) 为奇函数.

5.2010 年全国高考文科数学试题-四川卷第 22 题 设 f ( x) ?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1) , g ( x )是 f ( x )的反函数. 1? ax

(Ⅰ)求 g ( x) ; (Ⅱ)当 0 ? a ?

1 t 时,恒有 g ( x) ? log a 2 成立,求 t 的取值范围; 2 ( x ? 1)(7 ? x) 1 时,试比较 f ( 1 )+ f ( 2 )+…+ f ( n )与 n ? 4 的大小,并说明理由. 2

(Ⅲ)当 0 ? a ?

6.2012 年全国高考文科数学试题-上海卷第 20 题 已知 f ( x) ? lg( x ? 1) .

(1) 若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围;
(2) 若 是 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 且 当 0 ? x ? 1 时 , g ( x)? y ? g ( x) f ( x, ) 求函数

( x ??1, 2?) 的反函数.

7.2012 年全国高考理科数学试题-上海卷第 20 题 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) .

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(1) 若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围;
(2) 若 g ( x) 是 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 且 当 0 ? x ? 1 时 , 有 g ( x) ? f ( x) , 求 函 数 y ? g ( x) ( x ?[1, 2]) 的反函数.

8.2014 年全国高考理科数学试题-上海卷第 20 题 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a

(1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ;
(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

9.2014 年全国高考文科数学试题-上海卷第 20 题 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a

(1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ;
(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

答案和解析
1.2015 年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第 21 题 答案:见解析 分析: (1) ∵ g ( x) ?

10 x ? 1 2 ? 1? x , x ? R x 10 ? 1 10 ? 1

? g ( x) ? 1 ,
.又 10 ? 1 ? 1 ,?1 ?
x

2 2 ? 1? ? ?1 . 10 ? 1 0 ?1
x

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??1 ? g ( x) ? 1 .
由y?

10 x ? 1 1? y 1? y x ,可解得 10 ? . , x ? lg x 10 ? 1 1? y 1? y
1? x , D ? (?1,1) . 1? x

? f ( x) ? lg

2.2013 年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第 22 题 答案: (1) 2

(2) h( x) ? log2 x( x ? 0)

(3) m ? 1
分析: (1) 由已知 a
2? a

? 1 ? 2? a ? 2 .

(2) ∵ f ( x) ? 2x?2 ? 1? g ( x) ? 2x ?h( x) ? log2 x( x ? 0)
(3) 要使不等式有意义:则有 1 ? x ? 4 且 1 ? x2 ? 4 ,?1 ? x ? 2
据题有 (log2 x ? 2)2 ? log2 x2 ? m log2 x ? 6 在 (1, 2] 恒成立. ∴设 t ? log2 x(1 ? x ? 2)

?0 ? t ? 1

?(t ? 2)2 ? 2t ? tm ? 6 在 (0,1] 时恒成立.
即: m ? 设y?t?

t 2 ? 2t ? 2 2 ? t ? ? 2 在 [0,1] 时恒成立 t t
2 ? 2 , t ? (0,1] 单调递增 t

? t ? 1 时,有 ymax ? 1 ? m ? 1 .

3.2013 年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第 18 题 答案: (1) ?

2 1 ?x? 3 3

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(2) y ? 3 ?10x , x ?[0,lg 2]
分析: (1) 由 ? 得1 ?

?2 ? 2 x ? 0 2 ? 2x ?1 得 ?1 ? x ? 1 . 由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg x ?1 ?x ?1 ? 0

2 ? 2x ? 10 x ?1

2 1 因 为 x ? 1 ? 0 , 所 以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10, ? ? x ? . 3 3
得 ?

? ?1 ? x ? 1 ? 由 ? 2 1 ? ?x? ? 3 ? 3

2 1 ?x? 3 3

(2) 当 x ? [1, 2] 时 , 2 ? x ?[0,1] 因


y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ?10x , x ?[0,lg 2]
y

由单调性可得 y ?[0,lg 2] .

4.2014 年华约自主招生数学试题第 3 题 答案:答案见解析
?1 ?1 ?1 分析: (1)由 y ? f ( g ( x)) 得 g ( x) ? f ( y) , x ? g ( f ( y)) ,

故所求反函数是 y ? g ( f (2)由 G( x) ? f
?1

?1

?1

( x)) .

(? x) 得 G?1 ( x) ? ? f ( x) ,
?1

事实上,设 y ? G ( x) 和 y ? f
?1

( ? x) ,
?1

由 y ? G ( x) 得反函数 y ? G ( x) ;由 y ? f

(? x) 得反函数 y ? ? f ( x) ;

?1 于是由 F ( x) ? G ( x) 有 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ) 为奇函数.

5.2010 年全国高考文科数学试题-四川卷第 22 题 答案:答案见解析

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分析: (1) 由题意得: a ?
x

x ?1 y ?1 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) . ? 0 故 g ( x) ? log a x ?1 y ?1

(2) 由 log a

x ?1 t x ?1 t 得①当 a > 1 时, ? log a 2 ? 2 ? 0 又因 x ?1 ( x ? 1)(7 ? x) x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x)

为 x ? [2, 6] ,所以

0 ? t ? ( x ?1)2 (7 ? x) 令 h( x) ? ( x ?1)2 (7 ? x) ? ? x3 ? 9x2 ?15x ? 7, x ?[2,6] 则 h?( x) ? ?3x2 ? 18x ?15 ? ?3( x ?1)( x ? 5) 列表如下:

所以 h ? x ? ? 5 , 所以 0 < t < 5 ②当 0 < a <1
2 t ? ( x ?1) (7 ? x )? 令 0

时 0?

x ?1 t ? 2 又 因 为 x ? [ 2 , 6 ,]所 以 x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x)

,? h( x) ? ( x ?1)2 (7 ? x) ? ? x3 ? 9x2 ?15x ? 7, x ?[2,6] 由 ① 知 h( x) ? 3 2 x

所 [ 2, 6以 ]

t =""> 32 综上,
当 a > 1 时, 0 < t < 5 ;当 0 < a < 1 时 t =""> 32 ) 设 a ?

1 ,则 p ? 1 当 n ? 1 时 , 1? p

f (1) ? 1 ?

2 ? 3? 5 p

当 n ? 2 时设 k ? 2, k ? N * 时则

1 ? ak 2 2 f (k ) ? ? 1? ? 1? 1 k k 2 2 1? a (1 ? p) ? 1 Ck p ? Ck p ?
f (k ) ? 1+ 2 4 4 4 从而 =1+ ? 1+ ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

? Ckk p k

所以

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f (2) ? f (3) ??? f (n) ? n ? 1 ?
所 以

4 4 ? ? n ?1 2 n ?1

f( ? 1 )f

?( 2 f )?

?( f ? 3 )n ?n ( ?

?f )

( ?) n 综 ? (上 n ? 1 , ) ?总 有 1 4

4

f( ? 1 )f

?( 2 f )?

. ?( f ? 3 )n

6.2012 年全国高考文科数学试题-上海卷第 20 题 答案:见解析 分析: (1) 由 ?

?2 ? 2 x ? 0, 得 ?1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0

2 ? 2x 2 ? 2x ? 1 , 得1 ? ? 10 x ?1 x ?1 2 1 因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 ,?? ? x ? . 3 3
由 0 ? lg ? 2 ? 2 x ? ? lg ? x ? 1? ? lg

? ?1 ? x ? 1, 2 1 ? 由 ? 2 1 得 ? ?x? . 3 3 ? ?x? ? 3 ? 3
(2)
当 x ? [1, 2] 时, 2 ? x ?[0,1]

因此 y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) 由单调性可得 y ?[0,lg 2] . 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 x ? 3 ? 10 , x ?[0,lg 2] .
y y

7.2012 年全国高考理科数学试题-上海卷第 20 题 答案:见解析 分析: (1) 由 ?

? 2 ? 2x ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 , ? x ?1 ? 0

2 ? 2x 2 ? 2x ? 1 得1 ? ? 10 , x ?1 x ?1 2 1 因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? ? x ? , 3 3
由 0 ? lg ? 2 ? 2 x ? ? lg ? x ? 1? ? lg

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? ?1 ? x ? 1 2 1 ? 由? 2 1得? ? x ? ; 3 3 ? ?x? ? 3 ? 3
(2) 当 x ??1, 2? 时, 2 ? x ??0,1? ,因此

y ? g ? x ? ? g ? x ? 2? ? g ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? lg ?3 ? x ? ,
由单调性可得 y ??0,lg 2? , 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ??0,lg 2? .
y

8.2014 年全国高考理科数学试题-上海卷第 20 题 答案: (1)

y ? f ?1 ( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) ; (2) 见解析 x ?1

分析: (1) ∵ a ? 4 ,∴ f ( x) ? ∴y? f
?1

2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? y ,∴ 2 x ? ,∴ x ? log 2 , x 2 ?4 y ?1 y ?1

( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) . x ?1

(2) 若 f ( x) 为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,∴

2 x ? a 2? x ? a ? , 2 x ? a 2? x ? a

x ?x 整理得 a(2 ? 2 ) ? 0 ,∴ a ? 0 ,此时为偶函数

2x ? a 2? x ? a ? ? ?x 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ x , 2 ?a 2 ?a
2 整理得 a ? 1 ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ,此时为奇函数.

当 a ? (0,1) ? (1, ??) 时,此时 f ( x ) 既非奇函数也非偶函数.

9.2014 年全国高考文科数学试题-上海卷第 20 题 答案: (1)

f ?1 ( x) ? 2 ? log 2

x ?1 , x ? ? ??, ?1? ? ?1, ??? (2) 见解析 x ?1

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2

分析:(1) 因为 y ?

4 ? y ? 1? 2x ? 4 , 所以 2 x ? , 得 y ? ?1 或 y ? 1 , 且 x ? 2 ?l og x 2 ?4 y ?1
?1

y ?1 . y ?1

因此,所求反函数为 f

( x) ? 2 ? log 2

x ?1 , x ? ? ??, ?1? ? ?1, ??? . x ?1

(2) ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 1 ,定义域为 R ,故函数 y ? f ( x) 是偶函数;
②当 a ? 1 时, f ( x) ?

2x ? 1 ,定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? , 2x ? 1

f (? x) ?

2? x ? 1 2x ? 1 ? ? ? ? f ( x) ,故函数 y ? f ( x) 为奇函数; 2? x ? 1 2x ?1

③当 a ? 0 且 a ? 1 时,定义域为 ? ??,log2 a ? ? ? log2 a, ??? 关于原点不对称, 故函数 y ? f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数. 综上可知,①当 a ? 0 时,故函数 y ? f ( x) 是偶函数; ②当 a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 为奇函数; ③当 a ? 0 且 a ? 1 时,故函数 y ? f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.


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