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苏教版数学必修二立体几何点线面之间的位置关系。


高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 D C 2.1.1 α 1 平面含义:平面是无限延展的 A B 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边 形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的 平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α · C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, · 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L P 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 α · L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示

a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b

α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂直, 记作 L⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂 直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思 想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

[基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列四个结论: ⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 3.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 4. 如右图所示, 正三棱锥 V ? ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心) 中,D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是

( A. 30 0

) B. 90 0 C. 60 0 D.随 P 点的变化而变化。
E F A P B C V

D

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

)个部分

6.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直 线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 二、填空题 1.已知 a , b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系____________________。 2.直线 l 与平面 ? 所成角为 30 0 , l ? ? ? A, m ? ? , A ? m , 则 m 与 l 所成角的取值范围是 _________

3.棱长为 1 的正四面体内有一点 P ,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为

d1 , d2 , d3 , d4 ,则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 的值为



4.直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面 ? , ? 内各有一条射线 AB ,
AC 与 l 成 450 , AB ? ? , AC ? ? ,则 ?BAC ?



5.下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。 三、解答题 1.已知 E , F , G, H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 上的 B 且 EH // FG .求证: EH // BD .

A E H D F

点,
G C

2. 自二面角内一点分别向两个半平面引垂线, 求证: 它们所成的角与二两角的平面角互补。

第二章空间点、直线、平面的位置关系复习 一、选择题: 1.下列命题正确的是??????????????????( ) A.三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.四边形确定一个平面 2.平行于同一平面的两条直线的位置关系?????????( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 3.下列命题中,错误的是????????????????( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 4.直线 a,b 异面直线, a 和平面?平行,则 b 和平面?的位置关系是( A.b?? B.b∥? C.b 与?相交 D.以上都有可能 5.直线 a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是?????????( A、若 a ? α,b ? α,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α C、若 a//α,α∩β=b 则 a//b

) )

B、若 b ? α, a//b 则 a//α D、若 a⊥α, b⊥α 则 a//b )

6.下列命题中正确的是??????????????(

A.如果一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行。

B.如果平面 ? ? ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? C. 如果平面 ? 不垂直于平面 ? , 那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? 内的某条直线。 D.如果平面 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成角是:( )

A.30?

B.45?

C.60?

D.90?

8.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A. 30? 题号 答案 1 B. 45? 2 C. 60? 3 4 ) D. 90? 5 6 7 8

二、填空题 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有 10.已知直线 a//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系为 11.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. ①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是 ; ②若 AC?BD, 则四边形 EFGH 是 12.在四面体 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、CD 的中点,BD、AC 所成的角为 60? ,BD=AC=1, 则 EF 的长度为 三、解答题: 13.如图所示,在正三棱锥 S—ABC 中,D,E,F 分别是棱 AC,BC,SC 上的点,且 CD=2AD,CE=2BE,CF=2SF,G 是 AB 的中点。求证:SG∥平面 DEF。 条

14、如图: AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意 一点,求证: BC ? 平面PAC P

C A O B

15、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 CC1 的中点,求证: 平面A1 BD ? 平面BED .

16、如图, 已知四棱锥 P—ABCD 中,底面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角形,且平面 PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 中点。 (1)求证:PA∥平面 EDB。 (2)求证:平面 EDB⊥平面 PBC。 (3)求二面角 B ? DE ? C 的正切值。
A D B C P E

17.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底 面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯

形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 PCD 的距离.


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