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金川县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

金川县第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下列命题中正确的是( B.任何复数都不能比较大小 C.若 = ,则 z1=z2 ) D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2 或 z1= 2. 命题“设 a、b、c∈R,若 ac2>bc2 则 a>b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 有如下的问题: 问积几何?”意 底 面 宽 AD = 3 ABCD 的距离为 ) A.复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d

座号_____

姓名__________

分数__________

3. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功” “今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。 思为:“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下 丈,长 AB=4 丈,上棱 EF=2 丈,EF∥平面 ABCD.EF 与平面 1 丈,问它的体积是( A.4 立方丈 C.6 立方丈 ) B.5 立方丈 D.8 立方丈 )

4. 阅读右图所示的程序框图,若 m ? 8, n ? 10 ,则输出的 S 的值等于( A.28 A.M∪N B.36 C.45 D.120

5. 已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6},则集合{2,7,8}是( B.M∩NC.? IM∪? IN D.? IM∩? IN )



6. 已知集合 A ? {x| lgx ? 0} , B ={x | A. (0,3] B. (1, 2]

1 ? x ? 3} ,则 A B ? ( 2 1 C. (1,3] D. [ ,1] 2

【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识,意在考查基本运算能力. 7. 已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5
2



D.9 ) C. 1: 2 5 ) D. 5 : (1 ? 5)

8. 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F ,定点 A(0, 2) ,若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M ,与抛 物线 C 的准线交于点 N ,则 | MN |:| FN | 的值是( A. ( 5 ? 2) : 5
2 2

B. 2 : 5

9. 已知圆 C 方程为 x ? y ? 2 ,过点 P(?1,1) 与圆 C 相切的直线方程为(

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A. x ? y ? 2 ? 0 10.函数 f(x)=lnx﹣ A.

B. x ? y ? 1 ? 0 +1 的图象大致为( B. C. )

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

D. ) D.3 )

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S4=﹣2,S5=0,则 S6=( A.0 B.1 C.2

12.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,则 CD1 与 EF 所成角为(

A.0°

B.45°

C.60°

D.90° .

二、填空题
13.抛物线 y2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 14.给出下列命题: ①存在实数 α,使 ②函数 ③ 是函数 是偶函数 的一条对称轴方程

④若 α、β 是第一象限的角,且 α<β,则 sinα<sinβ 其中正确命题的序号是 .

15.椭圆

的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△ PQF2 的周长为 =9,则 b= . .



16.已知线性回归方程

17.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为 18.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2
2 )an+sin

,则该数列的前 16 项和为



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三、解答题
19.(本小题满分 12 分)已知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 ,直线
2 2

L : ? 2m ?1? x ? ? m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0 ? m ? R ? .
(1)证明: 无论 m 取什么实数, L 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 L 的方程.

20.已知 p:

2 2 2 ,q:x ﹣(a +1)x+a <0,若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

21.在直角坐标系 xOy 中,已知一动圆经过点 (2, 0) 且在 y 轴上截得的弦长为 4,设动圆圆心的轨 迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程;111] (2)过点 (1, 0) 作互相垂直的两条直线,,与曲线 C 交于 A , B 两点与曲线 C 交于 E , F 两点, 线段 AB , EF 的中点分别为 M , N ,求证:直线 MN 过定点 P ,并求出定点 P 的坐标.

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22.已知 f(x)=x2﹣3ax+2a2. (1)若实数 a=1 时,求不等式 f(x)≤0 的解集; (2)求不等式 f(x)<0 的解集.

23.设{an}是公比小于 4 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 a1=1,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数 列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=lna3n+1,n=12…求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a (a ? R) . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2x ?1 ?1 ; (2)当 x ? (?2,1) 时, x ?1 ? 2x ? a ?1 ? f ( x) ,求的取值范围.

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金川县第一中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:A.未注明 a,b,c,d∈R. B.实数是复数,实数能比较大小. C.∵ 故选:C. 2. 【答案】C 【解析】解:命题“设 a、b、c∈R,若 ac2>bc2,则 c2>0,则 a>b”为真命题; 故其逆否命题也为真命题; 其逆命题为“设 a、b、c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”在 c=0 时不成立,故为假命题 故其否命题也为假命题 故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 2 个 故选 C 【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断,不等式的基本性质,其中熟练掌握互为逆否的两个命题真 假性相同,是解答的关键. 3. 【答案】 【解析】解析: = ,则 z1=z2,正确; D.z1 与 z2 的模相等,符合条件的 z1,z2 有无数多个,如单位圆上的点对应的复数的模都是 1,因此不正确.

选 B.如图,设 E、F 在平面 ABCD 上的射影分别为 P,Q,过 P,Q 分别作 GH∥MN∥AD 交 AB 于 G,M,交 DC 于 H,N,连接 EH、GH、FN、MN,则平面 EGH 与平面 FMN 将原多面体分成四棱锥 EAGHD 与四棱锥 FMBCN 与直三棱柱 EGHFMN. 由题意得 GH=MN=AD=3,GM=EF=2, EP=FQ=1,AG+MB=AB-GM=2, 1 1 1 所求的体积为 V= (S 矩形 AGHD+S 矩形 MBCN)· EP+S△EGH·EF= ×(2×3)×1+ ×3×1×2=5 立方丈,故选 B. 3 3 2 4. 【答案】C

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【解析】 解析: 本题考查程序框图中的循环结构.S ?
m 8 2 Cn ? C10 ? C10 ? 45 ,选 C.

n n ?1 n ? 2 ? ? ? 1 2 3

?

n ? m ?1 m ? Cn , 当m ?8 , n? 1 0 时, m

5. 【答案】D 【解析】解:∵全集 I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M={3,4,5},集合 N={1,3,6}, ∴M∪N={1,2,3,6,7,8}, M∩N={3}; ?IM∪?IN={1,2,4,5,6,7,8}; ?IM∩?IN={2,7,8}, 故选:D. 6. 【答案】D 【解析】由已知得 A= {x 0 < x ? 1} ,故 A 7. 【答案】C 【解析】解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A}, ∴当 x=0,y 分别取 0,1,2 时,x﹣y 的值分别为 0,﹣1,﹣2; 当 x=1,y 分别取 0,1,2 时,x﹣y 的值分别为 1,0,﹣1; 当 x=2,y 分别取 0,1,2 时,x﹣y 的值分别为 2,1,0; ∴B={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 5 个. 故选 C. 8. 【答案】D 【解析】

1 B ? [ ,1] ,故选 D. 2

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考点:1、抛物线的定义; 2、抛物线的简单性质. 【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质,属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况 下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线 上的点到准线距转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题 得到解决.本题就是将 M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 9. 【答案】A 【解析】 试题分析:圆心 C(0,0), r ? 2 ,设切线斜率为,则切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1),? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ,由

d ? r,?

k ?1 k 2 ?1

? 2 ,?k ?1,所以切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,故选 A.

考点:直线与圆的位置关系. 10.【答案】A 【解析】解:∵f(x)=lnx﹣ ∴f′(x)= ﹣ = , +1,

∴f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减; 且 f(4)=ln4﹣2+1=ln4﹣1>0; 故选 A. 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用. 11.【答案】D 【解析】解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 S4=4a1+ 联立解得 d=﹣2,S5=5a1+ , d=0,

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∴S6=6a1+ 故选:D

d=3

【点评】本题考查等差数列的求和公式,得出数列的首项和公差是解决问题的关键,属基础题.

12.【答案】C 【解析】解:连结 A1D、BD、A1B, ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,∴EF∥A1D, ∵A1B∥D1C,∴∠DA1B 是 CD1 与 EF 所成角, ∵A1D=A1B=BD, ∴∠DA1B=60°. ∴CD1 与 EF 所成角为 60°. 故选:C.

【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

二、填空题
13.【答案】 ( 1,±2 ) .

2 【解析】解:设点 P 坐标为( a ,a)

依题意可知抛物线的准线方程为 x=﹣2 a2+2= ,求得 a=±2 )

∴点 P 的坐标为( 1,±2 故答案为:( 1,±2 ).

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质,属基础题. 14.【答案】 ②③ .

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【解析】解:①∵sinαcosα= sin2α∈[ 错误, ②函数 ③当 时,

, ],∵

> ,∴存在实数 α,使

错误,故①

=cosx 是偶函数,故②正确, =cos(2× + )=cosπ=﹣1 是函数的最小值,则 是函数

的一条对称轴方程,故③正确, ④ 当 α= ,β= ,满足 α、β 是第一象限的角,且 α<β,但 sinα=sinβ,即 sinα<sinβ 不成立,故④错误,

故答案为:②③. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力.

15.【答案】 20 .

【解析】解:∵a=5,由椭圆第一定义可知△PQF2 的周长=4a. ∴△PQF2 的周长=20., 故答案为 20. 【点评】作出草图,结合图形求解事半功倍. 16.【答案】 4 . 【解析】解:将 故答案为:4 【点评】本题考查线性回归方程,考查计算能力,属于基础题. 17.【答案】 2 3 【解析】 试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得 代入线性回归方程可得 9=1+2b,∴b=4

BC ? AB ,即 A ? C ,所以 C ? 30? ,∴ B ? 90? , AB ? BC , S?ABC
考点:正弦定理,三角形的面积.

1 2 3 2 , sin A ? ,又 ? 2 3 sin A 2 1 ? ? AB ? BC ? 2 3 . 2

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定

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理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b 、 a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正 弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形 时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式 18.【答案】 546 .
* 【解析】解:当 n=2k﹣1(k∈N )时,a2k+1=a2k﹣1+1,数列{a2k﹣1}为等差数列,a2k﹣1=a1+k﹣1=k;

2

2

1 1 1 abc ab sin C , ah , (a ? b ? c)r , 等等. 2 2 2 4R

当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=2a2k,数列{a2k}为等比数列, ∴该数列的前 16 项和 S16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16) =(1+2+…+8)+(2+22+…+28) = =36+29﹣2 =546. 故答案为:546. +

*



【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“分类讨论方法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】(1)证明见解析;(2) 2 x ? y ? 5 ? 0 . 【解析】 试题分析:(1) L 的方程整理为 ? x ? y ? 4? ? m ? 2x ? y ? 7? ? 0 ,列出方程组,得出直线过圆内一点,即可 证明;(2)由圆心 M ?1, 2? ,当截得弦长最小时, 则 L ? AM ,利用直线的点斜式方程,即可求解直线的方程.

(2)圆心 M ?1, 2? ,当截得弦长最小时, 则 L ? AM ,

1111]

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由 k AM ? ?

1 得 L 的方程 y ?1 ? 2 ? x ? 3? 即 2 x ? y ? 5 ? 0 . 2

考点:直线方程;直线与圆的位置关系. 20.【答案】 【解析】解:由 p: ?﹣1≤x<2,

2 2 2 2 方程 x ﹣(a +1)x+a =0 的两个根为 x=1 或 x=a , 2 2 若|a|>1,则 q:1<x<a ,此时应满足 a ≤2,解得 1<|a|≤



当|a|=1,q:x∈?,满足条件,
2 当|a|<1,则 q:a <x<1,此时应满足|a|<1,

综上﹣ 本题的关键.



【点评】本题主要考查复合命题的应用,以及充分条件和必要条件的应用,结合一元二次不等式的解法是解决

21.【答案】(1) y 2 ? 4 x ;(2)证明见解析; (3, 0) . 【解析】

(2)易知直线,的斜率存在且不为 0,设直线的斜率为, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则直线: y ? k ( x ? 1) , M (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

? y 2 ? 4 x, 2 2 2 2 由? 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 , ? y ? k ( x ? 1), ? ? (2k 2 ? 4)2 ? 4k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,

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考点:曲线的轨迹方程;直线与抛物线的位置关系. 【易错点睛】 导数法解决函数的单调性问题: (1) 当 f ( x) 不含参数时,可通过解不等式 f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0) 直接得到单调递增(或递减)区间.(2)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件

f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0), x ? (a, b) 恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意
参数的取值是 f ' ( x) 不恒等于的参数的范围. 22.【答案】
2 【解析】解:(1)当 a=1 时,依题意得 x ﹣3x+2≤0

因式分解为:(x﹣2)(x﹣1)≤0, 解得:x≥1 或 x≤2. ∴1≤x≤2. 不等式的解集为{x|1≤x≤2}.
2 2 (2)依题意得 x ﹣3ax+2a <0

∴(x﹣a)(x﹣2a)<0… 对应方程(x﹣a)(x﹣2a)=0 得 x1=a,x2=2a 当 a=0 时,x∈?. 当 a>0 时,a<2a,∴a<x<2a; 当 a<0 时,a>2a,∴2a<x<a;

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综上所述,当 a=0 时,原不等式的解集为?; 当 a>0 时,原不等式的解集为{x|a<x<2a}; 当 a<0 时,原不等式的解集为{x|2a<x<a}; 23.【答案】 【解析】解:(1)设等比数列{an}的公比为 q<4,∵a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列.
2 ∴2×3a2=a1+3+a3+4,∴6q=1+7+q ,解得 q=2. n 1 (2)由(1)可得:an=2 ﹣ .

bn=lna3n+1=ln23n=3nln2. ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=3ln2×(1+2+…+n) = ln2.

24.【答案】(1) x x ? 1或x ? ?1 ;(2) (??, ?2] . 【解析】

?

?

试 题解析:(1)因为 f ( x) ? 2x ?1 ?1 ,所以 x ?1 ? 2x ?1 ?1 , 即 x ?1 ? 2x ?1 ? ?1, 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ?1 ,∴ ? x ? ?1 ,∴ x ? 1 ,从而 x ? 1 ;

1 ? x ? 1 时, 1 ? x ? 2 x ? 1 ? ?1 ,∴ ?3 x ? ?3 ,∴ x ? 1 ,从而不等式无解; 2 1 当 x ? 时, 1 ? x ? 2 x ? 1 ? ?1 ,∴ x ? ?1 ,从而 x ? ?1 ; 2 综上,不等式的解集为 ? x x ? 1或x ? ?1? .
当 (2)由 x ?1 ? 2x ? a ?1 ? f ( x) ,得 x ?1 ? x ? a ? 2x ? a ?1 , 因为 x ?1 ? x ? a ? x ? a ? x ?1 ? 2x ? a ?1 , 所以当 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 时, x ?1 ? x ? a ? 2x ? a ?1 ; 当 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 时, x ?1 ? x ? a ? 2x ? a ?1 记不等式 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 的解集为 A ,则 (?2,1) ? A ,故 a ? ?2 , 所以的取值范围是 (??, ?2] .

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考点:1.含绝对值的不等式;2.分类讨论.

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