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数列.04数列的通项与求和(A级).学生版


数列的通项与求和

高考要求
内容 数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念 等差数列 等差数列的通项公式与 前 n 项和公式 等比数列的概念 等比数列 等比数列的通项公式与 前 n 项和公式 C C B 要求层次 A B 重难点 根据一些数列的前几项抽象、 归纳数列的通项公式 根据数列的递推公式写出数列的前几项 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题

等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题

知识内容
一.求数列通项的方法
1. 由等差,等比定义,写出通项公式 2. 利用迭加 an ? an ?1 ? f ? n ? ,迭乘
an ? f ? n ? 迭代; an ?1

n ?1 ?S 3. 对含 an 与 S n 的题, 进行熟练转化为同一种解题, n ? ? 1 (注意: 不能忘记讨论 n ? 1 ) a ? Sn ? Sn ?1 n ≥ 2

4. 已知数列 {an } 前 n 项之积 Tn ,一般可求 Tn ?1 ,则 an ?

Tn (注意:不能忘记讨论 n ? 1 ) . Tn ?1

5. 一阶递推 an?1 ? pan ? q ,我们通常将其化为 ? an?1 ? A? ? p ? an ? A? 看成 ?bn ? 的等比数列 6. 利用换元思想 7. 先猜后证:根据递推式求前几项,猜出通项,用归纳法证明 8. 用观察法(不完全归纳法)求数列的通项. 9. 已知数列 {an } 的递推关系,研究与 an ?1 的关系式的特点,可以通过变形构造,得出新数列 { f (an )}
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为等差或等比数列.

二.特殊数列的求和方法
1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和. (1)等差数列的求和公式: Sn ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? (2)等比数列的求和公式 Sn ? ? a1 (1 ? q n ) (切记:公比含字母时一定要讨论) ? 1 ? q (q ? 1) ?

2.错位相减法:比如 ?an ? 等差,?bn ? 等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn的和. 3.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项公式:
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

n ? n! ? (n ? 1)!? n!

4.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和. 5.合并求和法:如求 1002 ? 992 ? 982 ? 972 ? ? ? 22 ? 12 的和. 6.倒序相加法: 7. 公式法:
n

?k
k ?1

n

2

2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ? ? n ?2

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

? n(n ? 1) ? ? k 3 ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? ? 2 ? ? ? k ?1

8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等

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例题精讲
一、 求数列的通项公式

【例1】 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,… 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,… 2 4 8 16 32 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,… 2 4 8 16 32 64

【例2】 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n 2 ? n ,则 a3 ?



【例3】 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn ? n2 ? 9 n ?1, 则 其 通 项 an ?
5 ? ak ? 8 , k ?

;若它的第 k 项满足



【例4】 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? 3n ? 2 ,试求 ?an ? 的通项公式.

【例5】 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? 1 ,试求 ?an ? 的通项公式.

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【例6】 设数列 ?an ? 中 a1 ? 1 ,且 Sn ? n2 an ,求 an

【例7】 已知两个数列{an}和{bn},满足 bn=3nan,且数列{bn}的前 n 项和为 Sn=3n-2,求数列{an}的通 项公式.

【例8】 (2009 陕西)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列. (2)求{an}的通项公式.

an+an+1 ,n∈N*. 2

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【例9】 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+1 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bn·n+2<bn+12. b

1 【例10】 (1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则 an 等于( n A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n

) D.1+n+ln n

n-1 (2)数列{an}的首项 a1=1,an= a (n≥2,n∈N*),则 an=________. n n-1

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二、

数列的求和

1. 公式法求和 【例11】 设{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an}的前 8 项和为( A.128 B.80 C.64 D.56 )

【例12】 (2010 全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7 等于( A.14 B.21 C.28 D.35

)

【例13】 (2010 广东)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差 a 5 中项为 ,则 S5 等于( 4 A.35 B.33 ) C.31 D.29

【例14】 (2010 陕西 16 )已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项; ⑵ 求数列 ?2 an ? 的前 n 项和 S n .

2.

倒序相加

【例15】 设 f ? x ? ?

4x ? 1 ? ,求和 S ? f ? ?? x 4 ?2 ? 2002 ?

? 2 ? f? ? ?? ? ? 2002 ?

? 2001 ? f? ? ? 2002 ?

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3. 分组求和 【例16】 求下列数列的和 S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ???1? ?
n

? 2n ? 1?

4.

列项相消 .

【例17】 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n ? 1 ? n ,若它的前 n 项和为 10 ,则项数 n 为

【例18】 已知 an ?

1 n ? n?2

,求它的前 n 项和 S n .

【例19】 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? A.12

1 ? n ? N* ? ,若前 n 项的和为 10 ,则项数为( n ? n ? 1? 11



B.11

C.10

D.9

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【例20】 (2010 山东)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . ⑴ 求 an 及 S n ; ⑵ 令 bn ?
1 ( n ? N? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

5.

错位相减
1 . an

【例21】 (2010 全国卷Ⅰ理 22)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?
5 1 ⑴设 c ? , bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 an ? 2

⑵求使不等式 an ? an ?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

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课堂检测
【习题1】 已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则该数列{an}的通项公式 an=________.

【习题2】 已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9 等于( A.24 B.27 C.15 D.54

)

【习题3】 (2009 陕西)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=S3=12,则{an}的通项 an=________.

【习题4】 (2010 辽宁卷)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( 15 A. 2 ) 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2

【习题5】 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 1 ,求通项 an .

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【习题6】 (2010 北京文 16)已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . ⑴ 求 | an | 的通项公式; ⑵ 若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式

【习题7】 已知 {an } 是等差数列,且 a2 ? 3, a5 ? 9 , bn ?
Sn .

1 ,求数列 ?an ? 的通项公式及 {bn } 的前 n 项和 an an ?1

【习题8】 已知 an ?

1 ,求它的前 n 项和 S n . (n ? 1)2 ? 1

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