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2013届高考文科数学第一轮复习测试题35


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命题要点:?1?数量积的定义?′11 年 6 考,′10 年 4 考?;?2?平面向量的夹角、 模问题?′11 年 5 考, ′10 年 4 考?; ?3?利用平面向量的数量积解决垂直问题?′11 年 1 考,′10 年 2 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 辽宁)已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a· (2a-b)=0,则 k=( A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析 2a-b=(5,2-k),由 a· (2a-b)=0, 得:10+2-k=0,∴k=12. 答案 D ?1 1? 2.(★)设向量 a=(1,0),b=?2,2?,则下列结论中正确的是( ? ? A.|a|=|b| C.a∥b 解析 (筛选法)A 项,∵|a|=1, |b|= 2 ?1?2 ?1?2 ?2? +?2? = ,∴|a|≠|b|; 2 ? ? ? ? 2 B.a· 2 b= D.a-b 与 b 垂直 ). ). 满分:60 分)

1 1 1 B 项,a· b=1×2+0×2=2; 1 1 C 项,∵1×2-0×2≠0,∴a 不平行于 b; 1? 1? ?1 ?1 D 项,∵a-b=?2,-2?,(a-b)· ?2,-2?· b= ? ? ? ? ?1 1? ?2,2?=0,∴(a-b)⊥b. ? ? 答案 D 【点评】 本题采用了筛选法.数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合 题目要求的选项, 找到符合题意的正确结论.筛选法?又叫排除法?就是通过观察分
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析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项,逐一剔除,从而获 得正确的结论. 3.(2011· 湖北)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于 ( π π π 3π A.-4 B.6 C.4 D. 4 解析 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3).在平面直 π 角坐标系中,根据图形得 2a+b 与 a-b 的夹角为4. 答案 C 1 4.(2011· 全国)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a· b=-2,则|a+2b|=( A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 ). ).

解析 由于|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=3,所以|a+2b|= 3. 答案 B 5.(2011· 东北三校联考(二))已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( ).

A.-4 B.4 C.-2 D.2 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,∵a· 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投 b a· b 2 影的乘积,而 cos θ=|a||b|=-3, ? 2? ∴|a|cos θ=6×?-3?=-4. ? ? 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 南京调研(一))在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端 → → 点分别为 O(0,0),B(1,1),则AB· =________. AC → → π 解析 由题意得AB· =1× 2cos4=1. AC 答案 1 7.(2011· 安徽)已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a
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与 b 的夹角为________. 解析 由(a+2b)· (a-b)=-6,得 a2-2b2+a· b=-6,又|a|=1,|b|=2,所以 a· b =1, a· b 1 1 π 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a||b|= =2,而 0≤θ≤π,所以 θ=3. 1×2 π 答案 3 8.(2011· 新课标全国)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a +b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. 解析 设 a 与 b 夹角为 θ,由题意知|a|=1,|b|=1,θ≠0 且 θ≠π.由 a+b 与向量 ka-b 垂直,得 (a+b)· (ka-b)=0,即 k|a|2+(k-1)|a||b|cos θ-|b|2=0,(k-1)(1+cos θ)=0. 又 1+cos θ≠0,∴k-1=0,k=1. 答案 1 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7. (1)求 a,b 夹角的大小; (2)求|3a+b|的值. 解 (1)设 a 与 b 夹角为 θ,(3a-2b)2=7,9|a|2+4|b|2-12a· b=7,而|a|=|b|=1, 1 1 1 ∴a· 2,∴|a||b|cos θ=2,即 cos θ=2, b= π 又 θ∈[0,π],∴a,b 所成的角为3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a· b+|b|2=9+3+1=13, ∴|3a+b|= 13. → → → 10.(12 分)如图所示,AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3).

→ → (1)若BC∥DA,求 x 与 y 之间的关系式;
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→ → (2)在(1)条件下,若AC⊥BD,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. → → → → → → 解 (1)∵AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),DA=-AD=(-x-4,2-y). → → → 又BC∥DA且BC=(x,y),∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.①

→ → → → → → → → (2)由于AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3),又AC⊥BD, → → ∴AC· =0. BD 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0, ∴y=3 或 y=-1. → → 故当 y=3 时,x=-6,此时AC=(0,4),BD=(-8,0), → → 1 ∴SABCD=2|AC|· |=16; |BD → → 当 y=-1 时,x=2,此时AC=(8,0),BD=(0,-4), → → 1 ∴SABCD=2|AC|· |=16. |BD B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) → → 1.(2011· 武汉模拟)在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· = AC ( 3 A.-2 2 B.-3 2 C.3 3 D.2 ). 满分:40 分)

→ → → → → → → 1 1 2 2 解析 由于AB· =|AB||AC|cos∠BAC=2(|AB| +|AC| -|BC|2)=2×(9+4-10)= AC
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3 2. 答案 D 2.(2011· 北京东城 4 月抽检)如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数 量积中最大的是( ).

→ → A.P1P2· 1P3 P → → B.P1P2· 1P4 P → → C.P1P2· 1P5 P → → D.P1P2· 1P6 P → → → → 2π 解析 由于P1P2⊥P1P5,故其数量积是 0,可排除 C;P1P2与P1P6的夹角是 3 , → → → → 故其数量积小于零,可排除 D;设正六边形的边长是 a,则P1P2· 1P3=|P1P2||P1P3 P → → → → 3 2 |cos 30° 2a ,P1P2· 1P4=|P1P2||P1P4|cos 60° 2. = P =a 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.已知平面向量 α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________. 1 解析: 据已知得 α· (α-2β)=|α|2-2α· β=1-2α· β=0,解得 α· 2,故|2α+β|2 β= 1 =4|α|2+4α· β+|β|2=4+4×2+4=10,因此|2α+β|= 10. 答案 10

4.(2011· 浙江)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻边的平 1 行四边形的面积为2,则 a 和 b 的夹角 θ 的取值范围是________.
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1 1 1 解析 依题意有|a||b|sin θ=2,即 sin θ=2|b|,由|b|≤1,得 sin θ≥2,又 0≤θ≤π, π 5π 故有6≤θ≤ 6 . ?π 5π? 答案 ?6, 6 ? ? ? 三、解答题(共 22 分) → → → → → 5.(10 分)已知平面上三点 A,B,C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,求AB· + BC → → → → BC· +CA· 的值. CA AB → → 解 由题意知△ABC 为直角三角形,AB⊥BC, → → 3 ∴AB· =0,cos∠BAC=5, BC 4 cos∠BCA=5, → → 4 ∴BC和CA夹角的余弦值为-5, → → 3 CA和AB夹角的余弦值为-5, → → → → → → ∴AB· +BC· +CA· BC CA AB ? 4? ? 3? =20×?-5?+15×?-5?=-25. ? ? ? ? 6.(★)(12 分)设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2t e1+7e2 与向量 e1+t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

思路分析 转化为(2te1+7e2)· 1+te2)<0 且 2te1+7e2≠λ(e1+te2)(λ<0). (e
2 解 由已知得 e1=4,e2=1,e1·2=2×1×cos 60° e =1. 2 2 ∴(2te1+7e2)· 1+te2)=2te2+(2t2+7)e1·2+7te2=2t2+15t+7. (e e 1

欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0. 1 得-7<t<-2. 设 2t e1+7e2=λ(e1+t e2)(λ<0).
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?2t=λ, ∴? ∴2t2=7. ?7=tλ. 14 ∴t=- 2 ,此时 λ=- 14. 14 即 t=- 2 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. ∴夹角为钝角时,t 的取值范围是 ? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪?- ,-2?. 2 ? ? 2 ? ? 【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分 重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转 化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转 化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

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