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《步步高学案导学设计》20132014学年高中数学人教b版必修4第二章211向量的概念

第二章 平面向量

§2.1 向量的线性运算

2.1.1 向量的概念

一、基础过关

1. 下列条件中能得到 a=b 的是

()

A.|a|=|b|

B.a 与 b 的方向相同

C.a=0,b 为任意向量

D.a=0 且 b=0

2. 下列说法正确的是

()

A.方向相同的向量叫相等向量

B.零向量是没有方向的向量

C.共线向量不一定相等

D.平行向量方向相同

3. 命题“若 a∥b,b∥c,则 a∥c”

()

A.总成立

B.当 a≠0 时成立

C.当 b≠0 时成立

D.当 c≠0 时成立

4. 下列各命题中,正确的命题为

()

A.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同

B.模为 0 的向量与任一向量平行

C.向量就是有向线段

D.|a|=|b|?a=b

5. 下列说法正确的是

()

A.向量A→B∥C→D就是A→B所在的直线平行于C→D所在的直线

B.长度相等的向量叫做相等向量

C.零向量长度等于 0

D.共线向量是在一条直线上的向量

6. 给出以下 5 个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 的方向相反;④|a|=0 或|b|=0;⑤a 与

b 都是单位向量.其中能使 a∥b 成立的是________.(填序号)

7. 在四边形 ABCD 中,A→B=D→C且|A→B|=|A→D|,则四边形的形状为________.

8. 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且O→A=a,O→B=b,O→C= c. (1)与 a 的模相等的向量有多少个? (2)与 a 的长度相等,方向相反的向量有哪些? (3)与 a 共线的向量有哪些? (4)请一一列出与 a,b,c 相等的向量.
二、能力提升 9. 下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形.
①把所有单位向量移到同一起点; ②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点; ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点. ①__________;②____________;③____________. 10.如图所示,在梯形 ABCD 中,若 E、F 分别为腰 AB、DC 的三等分点,且|A→D|=2,|B→C| =5,求|E→F|.
11.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务,先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地,然后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地, 从 C 地又向南偏西 30°方向行驶 2 千米才到达 B 地. (1)在如图所示的坐标系中画出A→D,D→C,C→B,A→B; (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量.
12.如图平面图形中,已知A→A′=B→B′=C→C′.求证: (1)△ABC≌△A′B′C′; (2)A→B=A′→B′,A→C=A′→C′.

三、探究与拓展 13.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC=2,M、N 分别为 AB 和 CD 的中
点,在以 A、B、C、D、M、N 为起点和终点的所有向量中,回答下 列问题: (1)与向量A→D相等的向量有哪些?向量A→D的相反向量有哪些? (2)与向量A→M相等的向量有哪些?向量A→M的相反向量有哪些? (3)在模为 2的向量中,相等的向量有几对? (4)在模为 1 的向量中,相等的向量有几对?

答案 1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.①③④ 7.菱形 8.解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个.
(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有O→D,B→C,A→O,F→E. (3)与 a 共线的向量有E→F,B→C,O→D,F→E,C→B,D→O,A→O,D→A,A→D. (4)与 a 相等的向量有E→F,D→O,C→B;与 b 相等的向量有D→C,E→O,F→A;与 c 相等的向量 有F→O,E→D,A→B. 9.单位圆 相距为 2 的两个点 一条直线 10.解 过 D 作 DH∥AB,分别交 EF、BC 于点 G、H,∵|A→D|=2,
∴|E→G|=|B→H|=2. 又|B→C|=5,∴|H→C|=3. 又 E、F 分别为腰 AB、DC 的三等分点. ∴G 为 DH 的三等分点, ∴G→F∥H→C且|G→F|=13|H→C|, ∴|G→F|=1,∴|E→F|=|E→G|+|G→F| =2+1=3. 11.解 (1)向量A→D,D→C,C→B,A→B如图所示.
(2)由题意知A→D=B→C, ∴AD 綊 BC,则四边形 ABCD 为平行四边形, ∴A→B=D→C,则 B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°,6 千米”.

12.证明 (1)∵A→A′=B→B′, ∴|A→A′|=|B→B′|,且A→A′∥B→B′. 又∵A 不在B→B′上,∴AA′∥BB′. ∴四边形 AA′B′B 是平行四边形. ∴|A→B|=|A′→B′|. 同理|A→C|=|A′→C′|,|B→C|=|B′→C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)∵四边形 AA′B′B 是平行四边形, ∴A→B∥A′→B′,且|A→B|=|A′→B′|. ∴A→B=A′→B′.同理可证A→C=A′→C′.
13.解 (1)与A→D相等的向量有:M→N,B→C; 与向量A→D相反的向量有:D→A,N→M,C→B. (2)与A→M相等的向量有:M→B,D→N,N→C; 与向量A→M相反的向量有:M→A,B→M,N→D,C→N. (3)在模为 2的向量中,相等的向量有:A→N与M→C,D→M与N→B,N→A与C→M,M→D与B→N,共 4
对. (4)在模为 1 的向量中,相等的向量有 18 对.其中与A→D同向的有 3 对,与A→D反向的有 3 对,与A→M同向的有 6 对,与A→M反向的有 6 对,共 18 对.



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