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潮州市2013-2014学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学试题(文科)含答案


潮州市 2013?2014 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷

数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;答案答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束,将答题卡交回。

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)?
1.已知? {a? ? n?}?是等差数列?a? 1 =?12?,?a? 6 =?27?,则公差 d?等于? A.?

1? 3?

B.?

5? 2?

C. 3?

D.?-?3

2.不等式?x?-?2 y?+ 6?> 0?表示的区域在直线?x?-?2 y?+ 6?= 0?的? A.右上方? B.右下方? C.左上方? D.左下方?

3.设命题甲:?|?a |? >|?b?|?;命题乙:?a 2? > b?2?,则命题甲是命题乙成立的? A.充分不必要条件? C.必要不充分条件? B.充要条件? D.既非充分又非必要条件?

4.在?DABC 中,?a? =?3 ,?b?=?5 ,?sin A?=? ,则?sin?B?等于?

1? 3?

A.?

5? 9?

B.?

1? 5?

C.?

5? 3?

D.1?

y?
5.函数的定义域为开区间?(? a? ,?b? )?,导函数? f?'?(?x? )?在?(? a? ,?b? )?内的 图像如图所示,则函数? f?( x? )?在开区间?(? a? ,?b? )?内有极大值点? A. 1 个? C. 3 个? B. 2 个? D. 4 个?

y =? f?'?(?x? )?

a?

O?

b? x

6.若 a 、 b?、?c ? R?,且?a > b?则下列不等式中,一定成立的是? 潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第
1 页(共 10 页)

A. a + b≥? b-c

B. ac≥? bc?

C.?

c?2 > 0? a?- b?

D.?( a - b)c ≥0 ??
2?

7.抛物线?y? =? ax?2 (? a? ? 0? )?的焦点坐标是? A.?(? ,0? )?

a? 4?

B.?(? -? ,0? )?

a 4?

C.?(? 0? ,?

1? )? 4? a?

D.?(? 0? ,? -?

1? )? 4? a

y? ≤1? ì ? 8.若变量 x ,?y?满足约束条件?í x + y? ≥0? ,则?z? = x?- 2 y?的最大值是? ? x - y - 2≤0? ?
A. 4? B. 3? C. 2? D.1? A?

9.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔 AB?的高度,在塔的同一侧选 择 C?、 D 两观测点,且在 C?、 D 两点测得塔顶的仰角分别为 45? °?、 30? °?,在 水平面上测得 ?BCD? ? = 120? ° , C?、 D 两地相距?500? m?,则电视塔 AB?的高度是? A.? 100? 2? m? B.?400? m? C.?200? 3? m? D.?500? m? B? 45° C?

30°? D?

10.?DABC 的顶点?A? (-? 5? ,? 0? )?、?B? (? 5? ,? 0? )?,?DABC 的周长为?22,则顶点 C?的轨迹方程是?

A.?

x?2 y?2? +? = 1? 36? 11?

B.?

x?2 y?2? +? = 1? 25? 11? x?2 y?2? +? = 1? (?y? ? 0? )? 9? 16?

C.?

x?2 y?2? +? = 1? (?y? ? 0? )? 36? 11?

D.?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)?
2? 11.命题“?$? x 0? ? R?,?x0 - x0? + 1≤0?”的否定是?

.? .?

12.在递增等比数列? {a? ? n?}?中,?a? 2 =? 2?,?a? 4 - a? 3? = 4?则此数列的公比 q?=? 13.若正实数 x ,?y?满足?2? x +? y?= xy?,则 xy 的最小值是? .?

14.已知双曲线?

x?2 y?2? -? = 1? (? a?> 0? ,?b?> 0? )?的左右焦点分别为?F? 1?、?F? 2? ,点 P?在双曲线的右 a?2? b?2?
.?

支上,且?|?PF1? |? = 4?|?PF? ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为? 2? |?

三、解答题( 本大题共?6 小题,共?80 分,解答要写出证明过程或解题步骤)?
潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第
2 页(共 10 页)?

15. (本小题满分?12 分) 已知? p : x 2? - 8 x - 48≤0?,?q : x 2 - 2 x + 1 - a 2?≤0( a > 0)?..若? p?是 q?的充分不必要条 件,求实数 a 的取值范围.?

16. (本小题满分?12 分) 某单位用?2160?万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少?10?层,每层?2000?平 本文档由爱晓彤的信鸽分享,我来自是龙湖中学高二? 3? 班的信鸽,希望你祝福我早日追到晓 为? 彤 ! 方 米 的 楼 房 。经测算,如果将楼房建为?x( x≥10)?层,则每平方米的平均建筑费用 ......

(1440? ? + 48?x)?元。为了使楼房每平方米的平均综合费用 最少,该楼房应建为多少层? ......
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 )? 建筑总面积

17. (本小题满分?14 分) 在?DABC 中, 内角 A 、B?、C?所对边的长分别为 a ,b?,c , 且?c? =?3 ,C ? ? =? (1)求 b?边的值; (2)求?DABC 的面积?

p
3

,?a? = 2b?。

18. (本小题满分?14 分) 设函数? f?(? x? )?=? ax?3 + bx? (? a?? 0? )?,其图像在点?(1? ? ,? f?(? 1? ))?处的切线与直线?x?-?6 y?- 7? = 0? 垂直,导函数? f?'?(? x? )?的最小值为?- 12 。 (1)求 a , b?的值; (2)求函数? f?( x? )?的单调递增区间,并求函数? f?( x? )?在?[-1? ,? 3? ]?上的最大值和最小值。

潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第

3

页(共 10 页)?

19. (本小题满分?14 分) 设?{a? ? n?}?是等差数列,?{b? ? n?}?是各项都为正数的等比数列,且?a? ,?a? ,? 1 = b? 1? = 1? 3 + b? 5? = 21?

a? 。 5 + b? 3? = 13?
(1)求? {a? ? n?}?、?{b? ? n?}?的通项公式; (2)记数列? {? n?}?的前 n 项和?S?n? ,证明?S?n? <?6 。?

a? b? n?

20. (本小题满分?14 分) 如图,过抛物线? y?2 =? 2?px? (?p?> 0? )?的焦点 F? 的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于 点?A 、 B?和 C?、 D ;抛物线上的点?T?( 2? ,?t?)(? t? >?0? )?到焦点的距离为 3?

(1)求? p?、 t 的值?? (2)当四边形 ACBD 的面积取得最小值时,求直线 AB?的斜率。

潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第

4

页(共 10 页)?

潮州市 2013?2014 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 B 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11. "x∈R,x??? x+1>0 12. 2 13. 9 14.?

5? 3?

解答提示: 8.如图, 画出约束条件表示的可行域, 当直线?z = x - 2?y 经过?x + y = 0?与?x - y - 2 = 0?的交 点?A(1,-1)时,z 取到最大值 3,故选 B. 9.设塔高?AB?=?hm,在?Rt△ABC?中, 由已知?BC?=?hm, 在?Rt△ABD?中, 由已知?BD=? 3 hm, 在△BCD 中,由余弦定理?BD?=BC?+CD??2BC·CDcos∠BCD,得?3h?=h?+500?+h·500, 解得?h=500(m).

第?8 题图

第?9 题图

10.直接计算,可知?C?到 A、B 的距离之和为定值 12>10,符合椭圆定义,选?C. 12.由已知得?a4 - a3 = a2 q 2 - a2?q = 2 q 2? - 2q = 4?,则?q = 2?或?q = -1?, 由于 an? ? 是递增等比

|? |

数列,所以?q =?2. 潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第
5 页(共 10 页)

13.因为?

1 4 1 4 y 8? x? + = ( + )(2 x + y?) = 5 + + ≥5+2 4 =9?,所以,最小值为?9.? 2x y 2x y 2?x y

14.由定义,知?

| PF1? | ??| PF2? |?=? 2a?.又| PF1? | =4?| PF2? |,∴?| PF1? | =? a?,| PF2? |?

8? 3?

64 2 4? 2 a + a - 4? c?2? 2? 17 9? 2? 9 9? =? a?.在△P F1? F2? 中, 由余弦定理, 得 cos∠F1?PF2?=? . = - e? 8 2? 3? 8 8? 2 × a?× a 3 3?
要求?e 的最大值,即求 cos∠F1?PF2? 的最小值,



当 cos∠F1?PF2?= -1 时,得?e =? ,即?e? 的最大值为? .

5? 3?

5? 3?

三、解答题?
15.(本小题满分?12 分) 解:? p : x 2? - 8 x - 48≤ ? 4≤x≤12,? …………………………………………………3?分?

q : x 2 - 2 x + 1 - a 2?≤0 ? 1 - a≤x≤1 + a.?………………………………………6?分? \ p ? q, q ? >p,?
\ { x | -4≤x≤12} ? { x |1 - a≤x≤1 + a}? .?………………………………………8 分? 1 - a≤4?
故有? 1 + a≥12?且两个等号不同时成立,解得?a ? 11.? ………………………10?分?

a>0?
因此,所求实数 a?的取值范围是 [11, +?) .?? ………………………………………12 分? 16.(本小题满分?12 分) 解:设楼房每平方米的平均综合费用为? f ( x? )?元,则 …………………………2?分?

f ( x ) = (1440 + 48 x? )?+

2160x10000? ………………………………………4 分? 2000?x

= 1440 + 48 x +

10800? (x≥10, x ? N?2?)?………………………………6?分 x
6 页(共 10 页)

潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第

Q 48 x +

10800 10800? ≥2 48 x?+ = 1440.?………………………………………8?分 x x
10800? ,即?x = 15?时取等号, x

当且仅当?48 x?=

因此,当?x = 15?时,? f ( x? )?取最小值. …………………………………………11 分 即为了使楼房每平方的平均综合费用最少, 该楼房应建为 15 层. 17.(本小题满分 14 分) (1)解:在△ABC?中,?c = a + b - 2ab cos?C ………………………………2?分 代入?c = 3、c =
2 2 2?

…………12 分

p

、a = 2b,? 3? 1? …………………………………………………6 分? 2?

2 得?32 = (2b) +b 2? - 2?× 2? b×

\ b 2? = 3 ? b = 3?……………………………………………………………8?分
(2)由(1)得,?a = 2b = 2 3? …………………………………………………10 分

\ S△ABC? =
18.(本小题满分?14 分)

1 1 3 3 3? ab sin C = × 2 3 × 3?× = …………………………14 分? 2 2 2 2?

(1)解:Q ? f '( x? )?= 3ax ? + b 又? f '( x? )?的最小值为?-12,\ b = -12?……………2 分 又直线?x - 6 y - 7 = 0?的斜率为? ………………………………………4 分 因此,?f? '? (1)=3? a + b = -6? ………………………………………………5 分?

2?

1? 6?

\ a = 2, b = -12.?…………………………………………………………6 分

(2)? f ( x ) = 2 x - 12? x .? f '( x) = 6 x - 12 = 6( x +

3?

2?

2)( x - 2)?,列表如下:

潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第

7

页(共 10 页)?

x?
f '?(?x? )? f ( x? )?

( -?, -? 2)

-? 2

( -? 2, 2)

2?

( 2, +?? )

+?


0?
极大 ↘

0
极小

+?


………………………………………………………………………………………9? 分 所以函数? f ( x? )?的单调增区间是 ( -?, - 2) 和 ( 2, +?? )

Q f ( -1) = 10, f ( 2) = -8 2, f (3) = 18?………………………………………2?分?

\ f ( x)?在 [-1,3] 上的最大值是? f (3) = 18?,最大值是? f ( 2) = -? 8 2?.……14?分?
19.?

(本小题满分14分)记住我是爱晓彤的好男人──信鸽!来自龙湖三中高二3? 班的信鸽。
(1)解:设 {a? 的公差为 d?, {b? 的公比为 q ,则依题意有?q>0 ?? n?}? n?}?

1 + 2d + q 4? = 21?,
且 ………………………………………………………2?分?

1 + 4d + q 2? = 13?,
解得?d = 2?,?q =?2?.? …………………………………………………………4?分
n?-1? 所以?an? = 1 + ( n - 1) d = 2n - 1?,?bn? = q n -1 =?2? .…………………………6 分

(2)?

a? 2n?- 1? n? = n?-1? ,? bn? 2?
3 5? 2 n - 3 2n?- 1? + 2? + ?+ n - 2 + n?-1? ,①? 1? 2 2? 2 2? 5? 2 n?- 3 2 n - 1? + ? + n - 3 + n?- 2? , ②………………………………………8 分 2? 2 2? 2 2? 2 2 n - 1? + 2? + ? + n?- 2 - n?-1? , ……………………………10 分 2 2? 2 2?

\ S n? = 1?+

2 S? n? = 2 + 3?+

② - ①得?S? n? = 2 + 2?+

潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第

8

页(共 10 页)?

=?2 + 2? ×(1+? +

1 2

1? 1 2n - 1? +?? + n - 2 )?- n?-1? 2? 2? 2? 2?

1? 1?- n?-1? 2n - 1? =?2 + 2x? 2? - n?-1? 1? 2? 1?-? 2?
= 6?2n + 3? …………………………………………………………12? 分? n?-1? 2?

\ S n?<6? 记住我是爱晓彤的好男人──信鸽!来自龙湖三中高二3的信鸽 ? ……14?分?
20.(本小题满分?14 分) 解: (1)由抛物线的定义知点到?T (2, t )(t>0)?到 抛物线的准线的距离为?3,即有 2 +

p = 3?,得? p = 2?……………………3 分 2?

将?T (2, t )(t>0)?代入?y = 4? x 得? t = 2 2? ………………………………4?分
2?

(2)因?F?(1, 0)?,故设直线 AB?的方程为:?

x = my + 1(m<0) ? ,联立抛物线方程? y 2? = 4?x ,消元得:?y 2? - 4my - 4 = 0? ……………………………………7?分
令?A( x1 , y? ,则由抛物线的定义可得: 1?)?,?B ( x2 , y? 2?)?

{ AB} = { AF } + {BF } = ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = ( x1 + x2? )?+ 2?………………8?分
= m ( y1 + y2?) + 4 = m × 4m + 4 = 4 ( m2? + 1) ? ?………………………………10 分
因为 CD⊥AB?,所以直线?CD?的方程为:?x = ( -

1? ) y?+ 1? m

同理,?| CD?|= 4 ê( -

é ?

1 2? ù 1? ) + 1ú = 4( 2? + 1)? ………………………………11?分 m m ?

从而 S?四边形?ACBD?=

1 1 1? | AB | × | CD |= × 16 × ( m?2? + 1)( 2? + 1)? ……………12?分? 2 2? m

= 8(2 + m 2 +

1 1? 2? )≥8(2 + 2 m? × 2? = 32(当 ? ?m 2? = 1?, 即?m = -1? 时取 “ = ”) 2 m m
9 页(共 10 页)?

潮州市高二级数学试题(文科)及参考答案第

因此,四边形 ACBD 的面积的最小值为?32,此时直线 AB?的斜率为?-1 .………14 分

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