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13 反证法 课件1 (北师大选修2-2)_图文

一、问题情境 小华睡觉前,地上是干的,早晨起来,看见地上全湿 了。小华对婷婷说:“昨天晚上下雨了。”

你能对小华的判断说出理由吗?
假设昨天晚上没有下雨,那么地上应是干的,这与 早晨地上全湿了相矛盾,所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。

小华的理由:

例:甲命题“在△ABC中,如果AB=c, BC=a, CA=b,且∠C=90°,那么a2+b2 =c2”是真命题.(勾股定理) 乙命题“在△ABC中,如果AB=c, BC= a,CA=b,且∠C≠90°,那么a2+b2≠c2”是 真命题吗? 假设a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定 理,一定有∠C=90°,这与已知条∠C≠90°矛 盾,因此,假设a2+b2=c2是错误的,于是可 知a2+b2≠c2.这就说明:命题“在△ABC中, 如果AB=c, BC=a, CA=b,且∠C≠90°, 那么a2+b2≠c2”是真命题.

先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑 推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知 条件相矛盾,说明假设不成立,从而得到原结 论正确.

这种证明方法叫做“反证 法”.

二、反证法的步骤
(1) 从命题的结论的否定面出发; (2) 根据正确的逻辑推理,推出矛盾(与已知矛 盾;与已知定义、公理、定理等矛盾;出现与临 时假设矛盾;在证明过程中出现自相矛盾等等) 则否定假设; (3)肯定原命题的结论是正确的。简记:否定结 论――推出矛盾――肯定结论,其中推出矛盾是 关键。

万事开头难,让我们走好第一步!
写出下列各结论的反面: (1)a//b; (2)a≥0;
(3)b是正数; (4)a⊥b

a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b

感受反证法:

尝试解决问题

1.求证: 在一个三角形中,如果两条边不等,那 么它们所对的角也不等. 已知:在△ABC中,AB≠AC。 求证:∠B ≠ ∠C 证明:假设∠B = ∠C。 所以AB=AC(等角对等边)

这与已知条件AB≠AC相矛盾,假设错误。 所以∠B ≠ ∠C。

谁来试一试!
2.在一个梯形中,如果同一条底 边上的两个内角不相等,那么这 个梯形是等腰梯形吗?请证明你 的猜想.

做一做

学习是件很愉快的事
A D E B C

3.已知:如图△ABC中,D、E两 点分别在AB和AC上 求证:CD、BE不能互相平分 证明:假设CD、BE互相平分 连结DE,故四边形BCED是 平行四边形 这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误, ∴CD、BE不能互相平分

∴BD∥CE (平行四边形对边平行)

例2: 求证: 在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
已知: △ABC. 求证: △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

证明: 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°, 即∠A>60°, ∠B>60°, ∠C>60°. 于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°, 与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.


例3、用反证法证明:等腰三角形的底 角必定是锐角.
分析:解题的关键是反证法的第一步否定结 论,需要分类讨论. 已知:在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B、∠C为锐角. 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,那 么只有两种情况: (1)两个底角都是直角; (2)两个底角都是钝角;

1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°, 这与三角形内角和定理矛盾, ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
(2)由90°<∠B<180°, 90°<∠C<180°, 则 ∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理矛盾 .∴两个底角都是钝角这个假设也不成立. 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角.

说明:本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况, 这时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.

大家议一议!
通过本节内容的学习,你 们觉得哪些题型宜用反证法 ?

我来告诉你(经验之谈)
(1)以否定性判断作为结论的命题; (2)以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题; (3)关于“唯一性”结论的命题; (4)一些不等量命题的证明; (5)有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 等等.(如平行线的传递性的证明)

注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
(1)周密考察原命题结论的否定事项,防止 否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题 的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件, 否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。



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