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北京市西城区2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


2016-2017 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A={x|0<x<2},B={x|x2﹣1≤0},那么 A∪B=( )

A.{x|0<x≤1} B.{x|﹣1≤x<2} C.{x|﹣1≤x<0} D.{x|1≤x<2} 2.下列函数中,定义域为 R 的奇函数是( A.y=x2+1 B.y=tanx C.y=2x D.y=x+sinx 3.已知双曲线 x2﹣ ( ) y=0 B. x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=0 ),则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是 =1(b>0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为 )

A.x±

4.在极坐标系中,已知点 P(2, ( )

A.ρsinθ=1 B.ρsinθ=

C.ρcosθ=1 D.ρcosθ= )

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(

A.3

B.

C.6

D. )⊥( )”的( )

6.设 , 是非零向量,且 ≠± .则“| |=| |”是“( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.实数 x,y 满足 的取值范围是( A.[﹣1,0] )

若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a﹣3,则 a

B.[0,1] C.[﹣1,1]

D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)

8.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中.正四面体 P﹣ABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上移动.若该正四面体的棱长是 2,则|OP|的取值范围是( A.[ ﹣1, +1] B.[1,3] C.[ ﹣1,2] D.[1, ) +1]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 等于 . S 6= ; .

10. a3=4, 设等比数列{an}的各项均为正数, 其前 Sn 项和为 a1=1, 则 an= 11.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 .

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=3,C= 则 a= . ,其中 a>0 ; .

,sinB=2sinA,

13.设函数 f(x)= ①若 a=3,则 f[f(9)]=

②若函数 y=f(x)﹣2 有两个零点,则 a 的取值范围是

14.10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场).规定两人对局胜者 得 2 分,平局各得 1 分,负者得 0 分,并按总得分由高到低进行排序.比赛结束 10 名选手的得分各不相同, 后, 且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 . 则 第二名选手的得分是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.(13 分)已知函数 f(x)=sin(2ωx﹣ 期为 π (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. )+2cos2ωx﹣1(ω>0)的最小正周

16.(14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=PD,AB⊥ PA,AD=2,AB=BC=1 (Ⅰ)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求证:CE∥平面 PAB (Ⅲ)若 DC 与平面 PAB 所成的角为 30°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

17.(13 分)手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自身消耗一直 到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解 A,B 两个不 同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽取 A,B 两个型号的手机各 7 台,在相同条件下进行测试,统计结果如下: 手机编号 A 型待机时间(h) B 型待机时间(h) 1 120 118 2 125 123 3 122 127 4 124 120 5 124 124 6 123 a 7 123 b

其中,a,b 是正整数,且 a<b (Ⅰ)该卖场有 56 台 A 型手机,试估计其中待机时间不少于 123 小时的台数; (Ⅱ)从 A 型号被测试的 7 台手机中随机抽取 4 台,记待机时间大于 123 小时的 台数为 X,求 X 的分布列; (Ⅲ)设 A,B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等,当 B 型号被测试手机 待机时间的方差最小时,写出 a,b 的值(结论不要求证明).

18.(13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a?sin(x﹣1),其中 a∈R. (Ⅰ)如果曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的斜率是﹣1,求 a 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间(0,1)上为增函数,求 a 的取值范围. 19.(14 分)已知直线 l:x=t 与椭圆 C: C 上一点 (Ⅰ)当 t=1 时,求△MAB 面积的最大值; (Ⅱ)设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E,F,O 为原点.证明:|OE|?|OF| 为定值. 20. (13 分)数字 1,2,3,…,n(n≥2)的任意一个排列记作(a1,a2,…,an), 设 Sn 为所有这样的排列构成的集合.集合 An={(a1,a2,…,an)∈Sn|任意整数 i, j,1≤i<j≤n,都有 ai+i≤aj﹣j};集合 Bn={(a1,a2,…,an}∈Sn|任意整数 i,j, 1≤i<n,都有 ai+i≤aj+j}. (Ⅰ)用列举法表示集合 A3,B3 (Ⅱ)求集合 An∩Bn 的元素个数; (Ⅲ)记集合 Bn 的元素个数为 bn.证明:数列{bn}是等比数列. =1 相交于 A,B 两点,M 是椭圆

2016-2017 学年北京市西城区高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A={x|0<x<2},B={x|x2﹣1≤0},那么 A∪B=( )

A.{x|0<x≤1} B.{x|﹣1≤x<2} C.{x|﹣1≤x<0} D.{x|1≤x<2} 【考点】并集及其运算. 【分析】先分别求出集合 A 和 B,由此能求出 A∪B. 【解答】解:∵集合 A={x|0<x<2}, B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}, ∴A∪B={﹣1≤x<2}. 故选:B. 【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的 合理运用.

2.下列函数中,定义域为 R 的奇函数是( A.y=x2+1 B.y=tanx C.y=2x D.y=x+sinx 【考点】函数奇偶性的性质.



【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可. 【解答】解:A.y=x2+1 是偶函数,不满足条件. B.y=tanx 是奇函数,但函数的定义域不是 R,不满足条件. C.y=2x 为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件. D.y=x+sinx 是奇函数,满足条件. 故选:D 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,利用函数奇偶性的定义是解决本题的 关键.要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质,比较基础.

3.已知双曲线 x2﹣ ( ) y=0 B.

=1(b>0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为

A.x±

x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=0

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意可得 c=2,即 1+b2=4,解得 b,进而得到双曲线的方程,即可得到 渐近线方程. 【解答】解:由题意可得 c=2,即 1+b2=4, 解得 b= , x.

可得渐近线方程为 y=± 故选 B.

【点评】本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法,注意运用双曲线的基本量 的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系,考查运算能力,属于基础题.

4.在极坐标系中,已知点 P(2, ( )

),则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是

A.ρsinθ=1 B.ρsinθ=

C.ρcosθ=1 D.ρcosθ=

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;简单曲线的极坐标方程. 【分析】求出点 P(2, 所求直线的极坐标方程. 【解答】解:∵点 P(2, )的直角坐标为( ,1),此点到 x 轴的距离为 1, )的直角坐标,可得此点到极轴的距离为 1,从而求得

故经过此点到 x 轴的距离为 1 的直线的方程是 y=1, 故过点 P 且平行于极轴的直线的方程是 ρsinθ=1, 故选 A. 【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,求简单曲线的极坐标 方程,属于基础题.

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(



A.3

B.

C.6

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图得几何体是四棱锥并画出直观图,由三视图判断出线面的位置 关系,并求出几何体的高和侧面的高,分别求出各个侧面的面积,即可得到答案. 【解答】解:由三视图得几何体是四棱锥 P﹣ABCD,如图所示: 且 PE⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,AB=4、AD=2, 面 PDC 是等腰三角形,PD=PC=3, 则△PDC 的高为 = , =2 ,

所以△PDC 的面积为: ×4×

因为 PE⊥平面 ABCD,所以 PE⊥BC, 又 CB⊥CD,PE∩CD=E,所以 BC⊥面 PDC, 即 BC⊥PC,同理可证 AD⊥PD, 则两个侧面△PAD、△PBC 的面积都为: ×2×3=3, 侧面△PAB 的面积为: ×4× =6,

所以四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中面积最大是:6, 故选 C.

【点评】本题考查由三视图求几何体侧面的面积,由三视图正确复原几何体、判 断出几何体的结构特征是解题的关键,考查空间想象能力.

6.设 , 是非零向量,且 ≠± .则“| |=| |”是“( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)⊥(

)”的(



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若“( 即| |=| |, 反之当| |=| |,则( 故“| |=| |”是“( 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量垂直与向量数量积 的关系是解决本题的关键. )?( )⊥( )=| |2﹣| |2=0,即( )”的充要条件, )⊥( ), )⊥( )”,则“( )?( )=0,即“| |2=| |2”,

7.实数 x,y 满足 的取值范围是( A.[﹣1,0] )

若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a﹣3,则 a

B.[0,1] C.[﹣1,1]

D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,确定过 B 点取得最 大值,故 A 点取得最小值,利用数形结合确定目标函数斜率的范围,即可得到结 论 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=ax+y 得 y=﹣ax+z, ∵z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a﹣3,

∴当直线 y=﹣ax+z 经过点 B(3,9)时直线截距最大, 当经过点 A(3,﹣3)时,直线截距最小. 则直线 y=﹣ax+z 的斜率﹣a 满足, ﹣1≤﹣a≤1, 即﹣1≤a≤1, 故选:C

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

8.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中.正四面体 P﹣ABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上移动.若该正四面体的棱长是 2,则|OP|的取值范围是( A.[ ﹣1, +1] B.[1,3] C.[ ﹣1,2] D.[1, ) +1]

【考点】空间中的点的坐标. 【分析】根据题意画出图形,结合图形,固定正四面体 P﹣ABC 的位置,则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动, 原点 O 到点 P 的最近距离等于 PM 减去球的半径,最大距离是 PM 加上球的半径.

【解答】解:

如图所示,若固定正四面体 P﹣ABC 的位置,则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运 动, 设 AB 的中点为 M,则 PM= = ;

所以原点 O 到点 P 的最近距离等于 PM 减去球 M 的半径, 最大距离是 PM 加上球 M 的半径; 所以 ﹣1≤|OP|≤ +1, ﹣1, +1].

即|OP|的取值范围是[ 故选:A.

【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题,也考查了转 化法与数形结合思想的应用问题,是综合性题目.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 等于 i .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简复数为 a+bi 的形式即可. 【解答】解:复数 故答案为:i. 【点评】本题考查复数的乘除运算,复数的化简,考查计算能力. = = =i.

10.设等比数列{an}的各项均为正数,其前 Sn 项和为 a1=1,a3=4,则 an= S 6= 63 .

2n﹣1



【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出. 【解答】解:设正数等比数列{an}的公比为 q>0,∵a1=1,a3=4,∴q2=4,q>0, 解得 q=2. 则 an=2n﹣1. S 6= =63.

故答案为:2n﹣1;63. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

11.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

﹣3



【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,可得当 k=4 时不 满足条件 k≤3,退出循环,输出 S 的值为﹣3. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 k=1,S=1 满足条件 k≤3,执行循环体,S=1,k=2 满足条件 k≤3,执行循环体,S=0,k=3 满足条件 k≤3,执行循环体,S=﹣3,k=4 不满足条件 k≤3,退出循环,输出 S 的值为﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,当循环的次数不多或有规

律时,常采用模拟执行程序的方法解决,属于基础题.

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=3,C= 则 a= .

,sinB=2sinA,

【考点】正弦定理. 【分析】利用由正弦定理可得 b=2a,再由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab?cosC,由此 求得 a 的值. 【解答】解:△ABC 中,∵c=3,C= ,sinB=2sinA,∴由正弦定理可得 b=2a. ,

再由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab?cosC,即 9=a2+4a2﹣2a?2a?cos 求得 a= , .

故答案为:

【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用三角形的面 积公式化简求值,是一道基础题.

13.设函数 f(x)= ①若 a=3,则 f[f(9)]= ;

,其中 a>0

②若函数 y=f(x)﹣2 有两个零点,则 a 的取值范围是 【考点】分段函数的应用. 【分析】①代值计算即可,

[4,9) .

②分别画出 y=f(x)与 y=﹣2 的图象,如图所示,函数 y=f(x)﹣2 有两个零点, 结合图象可得 4≤a<9. 【解答】解:①当 a=3 时,f(9)=log39=2, ∴f(2)= , ,

∴f[f(9)]=

②分别画出 y=f(x)与 y=﹣2 的图象,如图所示, 函数 y=f(x)﹣2 有两个零点,结合图象可得 4≤a<9, 故 a 的取值范围是[4,9)

故答案为:

,[4,9)

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据函数与方程之间的关系转化为 两个函数的交点个数问题是解决本题的关键.注意要利用数形结合.

14.10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场).规定两人对局胜者 得 2 分,平局各得 1 分,负者得 0 分,并按总得分由高到低进行排序.比赛结束 10 名选手的得分各不相同, 后, 且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 . 则 第二名选手的得分是 【考点】概率的意义. 【分析】有 10 个足球队进行循环赛,胜队得 2 分,负队得 0 分,平局的两队各得 1 分.即每场产生 2 分,每个队需要进行 10﹣1=9 场比赛,则全胜的队得 18 分, 而最后五队之间赛 5×(5﹣1)÷2=10 场至少共得 20 分,所以第二名的队得分至 少为 20× =16 分. 【解答】解:每个队需要进行 9 场比赛,则全胜的队得:9×2=18(分), 而最后五队之间赛 10 场,至少共得:10×2=20(分), 所以第二名的队得分至少为 20× =16(分). 故答案是:16 【点评】完成本题主要求出最后五队之间赛的场次以及至少共得的分数,然后抓 住了“第二名的得分是最后五名所得总分和的 ”这个关健点进行分析的. 16 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤. 15.(13 分)(2016 秋?西城区期末)已知函数 f(x)=sin(2ωx﹣ ﹣1(ω>0)的最小正周期为 π (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. )+2cos2ωx

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】(Ⅰ)根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可. (Ⅱ)求出角的取值范围,结合三角函数的最值性质进行判断求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)因为 f(x)=sin(2ωx﹣ =sin2ωxcos ﹣cos2ωxsin +cos2ωx= , )+2cos2ωx﹣1 ),

sin2ωx+ cos2ωx=sin(2ωx+

所以 f(x)的最小正周期 T= 解得 ω=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sin(2x+ 因为 0≤x≤ 所以,当 2x+ 当 2x+ = ,所以 = ≤2x+

), ,



,即 x=

时,f(x)取得最大值为 1; .

,即 x=

时,f(x)取得最小值为﹣

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式将函数进行化简 是解决本题的关键.

16.(14 分)(2016 秋?西城区期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD∥BC,∠ BAD=90°,PA=PD,AB⊥PA,AD=2,AB=BC=1 (Ⅰ)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求证:CE∥平面 PAB (Ⅲ)若 DC 与平面 PAB 所成的角为 30°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)推导出 AB⊥AD,AB⊥PA,由此能证明平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅱ)取 PA 的中点 F,连接 BF,EF.推导出四边形 BCEG 是平行四边形,从而 EC ∥BF,由此能证明 CE∥平面 PAB. (Ⅲ)过 P 作 PO⊥AD 于 O,连接 OC.建立空间直角坐标系 O﹣xyz 利用向量法能 求出四棱锥 P﹣ABCD 的体积. 【解答】(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)因为∠BAD=90°,所以 AB⊥AD,(1 分) 又因为 AB⊥PA, 所以 AB⊥平面 PAD. 所以平面 PAD⊥平面 ABCD. 解:(Ⅱ)取 PA 的中点 F,连接 BF,EF. 因为 E 为 PD 的中点,所以 EF∥AD, 又因为 BC∥AD, 所以 BC∥EF,BC=EF. 所以四边形 BCEG 是平行四边形,EC∥BF.(7 分) 又 BF? 平面 PAB,CE?平面 PAB, 所以 CE∥平面 PAB.(8 分) (Ⅲ)过 P 作 PO⊥AD 于 O,连接 OC. 因为 PA=PD,所以 O 为 AD 中点,又因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 如图建立空间直角坐标系 O﹣xyz.(9 分) 设 PO=a.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,﹣1, 0),P(0,0,a). 所以 =(1,0,0), =(0,1,﹣a), =(1,1,0). , ,

设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,

令 z=1,则 y=a.所以 =(0,a,1).(11 分) 因为 DC 与平面 PAB 所成角为 30°, 所以|cos< >|= = =sin30°= ,

解得 a=1.(13 分) 所以四棱锥 P﹣ABCD 的体积 分) .(14

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面平行的证明,考查四棱锥的体积的 求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

17.(13 分)(2016 秋?西城区期末)手机完全充满电量,在开机不使用的状态 下,电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机 时间.为了解 A,B 两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽 取 A,B 两个型号的手机各 7 台,在相同条件下进行测试,统计结果如下: 手机编号 A 型待机时间(h) B 型待机时间(h) 1 120 118 2 125 123 3 122 127 4 124 120 5 124 124 6 123 a 7 123 b

其中,a,b 是正整数,且 a<b (Ⅰ)该卖场有 56 台 A 型手机,试估计其中待机时间不少于 123 小时的台数; (Ⅱ)从 A 型号被测试的 7 台手机中随机抽取 4 台,记待机时间大于 123 小时的 台数为 X,求 X 的分布列;

(Ⅲ)设 A,B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等,当 B 型号被测试手机 待机时间的方差最小时,写出 a,b 的值(结论不要求证明). 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(Ⅰ)被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时? 估计 56 台 A 型手机中有 台手机的待机时间不少于 123 小时.

(II)由表格可知,A 型号被测试的 7 台手机中待机时间大于 123 小时的台数为有 3 台,利用超几何分布概率计算法则,求解概率. (Ⅲ)由 A,B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等,列方程,求出 a,b. 【解答】解:(Ⅰ)被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时,因 此,估计 56 台 A 型手机中有 (Ⅱ)X 可能的取值为 0,1,2,3, ; 所以,X 的分布列为: X P (Ⅲ)若 A,B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等,当 B 型号被测试手 机的待机时间的方差最小时,a=124,b=125. 【点评】本题考查了抽样方法的基本性质,及古典概型的分布列、期望,属于基 础题. 0 1 2 3 ; ; . 台手机的待机时间不少于 123 小时.

18.(13 分)(2016 秋?西城区期末)已知函数 f(x)=lnx﹣a?sin(x﹣1),其中 a∈R. (Ⅰ)如果曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的斜率是﹣1,求 a 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间(0,1)上为增函数,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据切线的斜率求出 f′(1)=﹣1,求出 a 的值 即可;

(Ⅱ)求出 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,得到 g(x)<g(1)=1,求 出 a 的范围即可. 【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),[(1 分)] 导函数为 .[(2 分)]

因为曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的斜率是﹣1, 所以 f'(1)=﹣1,即 1﹣a=﹣1,[] 所以 a=2.[] (Ⅱ)因为 f(x)在区间(0,1)上为增函数, 所以对任意 x∈(0,1),都有 因为 x∈(0,1)时,cos(x﹣1)>0, 所以 .[(8 分)] .[]

令 g(x)=x?cos(x﹣1),所以 g'(x)=cos(x﹣1)﹣x?sin(x﹣1).[(10 分)] 因为 x∈(0,1)时,sin(x﹣1)<0, 所以 x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)在区间(0,1)上单调递增, 所以 g(x)<g(1)=1.[(12 分)] 所以 a≤1. 即 a 的取值范围是(﹣∞,1].[(13 分)] 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

19.(14 分)(2016 秋?西城区期末)已知直线 l:x=t 与椭圆 C: 于 A,B 两点,M 是椭圆 C 上一点 (Ⅰ)当 t=1 时,求△MAB 面积的最大值;

=1 相交

(Ⅱ)设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E,F,O 为原点.证明:|OE|?|OF| 为定值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)将 x=1 代入 ,求得 ,当 M 为椭圆 C 的顶点(﹣

2,0)时,M 到直线 x=1 的距离取得最大值 3,即可求得△MAB 面积的最大值; (Ⅱ)由题意可知:设 M(x0,y0),则有 ,令 y=0,得 ,从而 ,则直线 MA 的方程为 ,同理即











=

=

=4.

【解答】解:(Ⅰ)当 t=1 时,将 x=1 代入 解得: ∴ , .[(2 分)]



当 M 为椭圆 C 的顶点(﹣2,0)时,M 到直线 x=1 的距离取得最大值 3,[] ∴△MAB 面积的最大值是 .[]

(Ⅱ)设 A,B 两点坐标分别为 A(t,n),B(t,﹣n),从而 t2+2n2=4.[] 设 M(x0,y0),则有 直线 MA 的方程为 ,x0≠t,y0≠±n.[(7 分)] ,[(8 分)]

令 y=0,得

,从而

.[(9 分)]

直线 MB 的方程为

,[(10 分)]

令 y=0,得

,从而

.[(11 分)]

所以

=



=

,[(13 分)]

=

=4.

∴|OE|?|OF|为定值.[(14 分)] 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查三角形的面积公式,直线 的点斜式方程,考查计算能力,属于中档题.

20.(13 分)(2016 秋?西城区期末)数字 1,2,3,…,n(n≥2)的任意一个 排列记作(a1,a2,…,an),设 Sn 为所有这样的排列构成的集合.集合 An={(a1, a 2, …, an) j, 1≤i<j≤n, a 2, …, ∈Sn|任意整数 i, 都有 ai+i≤aj﹣j}; 集合 Bn={ (a1, an}∈Sn|任意整数 i,j,1≤i<n,都有 ai+i≤aj+j}. (Ⅰ)用列举法表示集合 A3,B3 (Ⅱ)求集合 An∩Bn 的元素个数; (Ⅲ)记集合 Bn 的元素个数为 bn.证明:数列{bn}是等比数列. 【考点】等比关系的确定;集合的表示法. 【分析】(Ⅰ)集合 A3 属于单调递增排列,集合 B3 属于实数对,利用列举法表示 集合 A3,B3 即可; (Ⅱ)根据题意知 An={(1,2,3,…,n)}、(1,2,3,…,n)∈Bn,所以 An ? Bn.所以集合 An∩Bn 的元素个数为 1. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn≠0.因为 B2={(1,2),(2,1)},所以 b2=2.当 n≥3 时,考虑 Bn 中的元素(a1,a2,a3,…,an). 分类讨论:(1)假设 ak=n(1≤k<n).由已知,ak+k≤ak+1+(k+1), 依此类推,若 ak=n,则 ak+1=n﹣1,ak+2=n﹣2,…,an=k. ①若 k=1,则满足条件的 1,2,3,…,n 的排列(a1,a2,a3,…,an)有 1 个. ②若 k=2,则 a2=n,a3=n﹣1,a4=n﹣2,…,an=2. ③若 2<k<n, (2)假设 an=n,只需(a1,a2,a3,…an﹣1)是 1,2,3,…,n﹣1 的满足条件的 排列,此时满足条件的 1,2,3,…,n 的排列(a1,a2,a3,…,an)有 bn﹣1 个. 结合等比数列的定义进行证明. 【解答】解:(Ⅰ)A3={(1,2,3)},B3={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,

3),(3,2,1)}. (Ⅱ)考虑集合 An 中的元素(a1,a2,a3,…,an). 由已知,对任意整数 i,j,1≤i<j≤n,都有 ai﹣i≤aj﹣j, 所以(ai﹣i)+i<(aj﹣j)+j, 所以 ai<aj. 由 i,j 的任意性可知,(a1,a2,a3,…,an)是 1,2,3,…,n 的单调递增排列, 所以 An={(1,2,3,…,n)}. 又因为当 ak=k(k∈N*,1≤k≤n)时,对任意整数 i,j,1≤i<j≤n, 都有 ai+i≤aj+j. 所以(1,2,3,…,n)∈Bn,所以 An? Bn. 所以集合 An∩Bn 的元素个数为 1. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn≠0. 因为 B2={(1,2),(2,1)},所以 b2=2. 当 n≥3 时,考虑 Bn 中的元素(a1,a2,a3,…,an). (1)假设 ak=n(1≤k<n).由已知,ak+k≤ak+1+(k+1), 所以 ak+1≥ak+k﹣(k+1)=n﹣1, 又因为 ak+1≤n﹣1,所以 ak+1=n﹣1. 依此类推,若 ak=n,则 ak+1=n﹣1,ak+2=n﹣2,…,an=k. ①若 k=1,则满足条件的 1,2,3,…,n 的排列(a1,a2,a3,…,an)有 1 个. ②若 k=2,则 a2=n,a3=n﹣1,a4=n﹣2,…,an=2. 所以 a1=1. 此时满足条件的 1,2,3,…,n 的排列(a1,a2,a3,…,an)有 1 个. ③若 2<k<n, 只要(a1,a2,a3,…ak﹣1)是 1,2,3,…,k﹣1 的满足条件的一个排列,就可以 相应得到 1,2,3,…,n 的一个满足条件的排列. 此时,满足条件的 1,2,3,…,n 的排列(a1,a2,a3,…,an)有 bk﹣1 个. (2)假设 an=n,只需(a1,a2,a3,…an﹣1)是 1,2,3,…,n﹣1 的满足条件的 排列,此时满足条件的 1,2,3,…,n 的排列(a1,a2,a3,…,an)有 bn﹣1 个. 综上 bn=1+1+b2+b3+…+bn﹣1,n≥3.

因为 b3=1+1+b2=4=2b2, 且当 n≥4 时,bn=(1+1+b2+b3+…+bn﹣2)+bn﹣1=2bn﹣1, 所以对任意 n∈N*,n≥3,都有 所以{bn}成等比数列. 【点评】本题考查等比关系的确定与等差数列的性质,考查运算与推理、证明的 能力,难度较大. .


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