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陕西省安康市2015届高考数学四模试卷(理科)


陕西省安康市 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},则 A∩(?RB)等于( ) A. (1,2] B.[2,4) C. (2,4) D. (1,4)

2.已知 i 是虚数单位,则 A.﹣i

=(

) C.﹣1 D. ﹣i

B. + i

3.五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图,则这五位同学这次考试的数学平均分为 ( ) A.88 B.89 C.90 ) D.﹣ D.91

4.已知角 α 的终边在第二象限,且 sinα= ,则 tanα 等于( A. B.﹣ C.

5.在等差数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=4,则公差 d 等于( A.1 B.﹣1 C .2
2 2

) D.﹣2

6.“m=2”是“直线 x﹣y+m=0 与圆 x +y =2 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.执行如图程序框图,输出的结果为( )

A.20

B.30

C.42

D.56 )

8.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其侧面积为(

A.

B.2

C .2

D.6 )

9.下列三个数:a=ln ﹣ ,b=lnπ﹣π,c=ln3﹣3,大小顺序正确的是( A.a>c>b B.a>b>c C.a<c<b

D.b>a>c ,一个 )

10.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中 ω>0|φ|< 对称中心为(﹣ A.向右平移 C.向左平移

)图象相邻对称轴的距离为

,0) ,为了得到 g(x)=cosωx 的图象,则只要将 f(x)的图象( 个单位 B.向右平移 D.向左平移 个单位 个单位

个单位

11.双曲线

与抛物线 y =2px(p>0)相交于 A,B 两点, ) D.

2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为( A. B. C.

12.对于函数 f(x) ,若?a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角形的三边长,则称 f (x)为“可构造三角形函数”,已知函数 f(x)= 取值范围是( A.[0,+∞) ) B.[0,1] C.[1,2] D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.二项式(x﹣ ) 的展开式中 x 的系数是__________.
6 4

14.已知向量 , 满足| |=1,| + |=

,且 , 的夹角为

,则| |=__________.

15.实数 x,y 满足

则不等式组所围成的图形的面积为__________.

16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 an+3SnSn﹣1=0(n≥2,n∈N+) ,a1= ,则 nan 的最小值 为__________.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D,|AD|= ,求△ ABC 的面积. asinB=5c,cosB= .

18.某公司对员工进行身体素质综合测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级,测试 结果如表: (单位:人) 优秀 良好 合格 男 180 70 20 女 120 a 30 按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. (1)求 a 的值; (2)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望. 19. 已知在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=1, AB=2, E,F 分别是 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求平面 PEC 与平面 ECD 夹角的余弦值.

20.已知椭圆 C:

+

=1, (a>b>0)的离心率等于

,点 P(2,

)在椭圆上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M, N 两点,是否存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一 个满足条件的 t 值;若不存在,说明理由.

21.设函数 f(x)=

﹣ax.

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; 2 (2)若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围.

选修 4—1:几何证明选讲 22.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; 2 (2)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.

选修 4—4:坐标系与参数方程 23.平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 , (α 为参数) ,以坐标原点为

极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ρ=2sinθ. (1)求 C1 和 C2 的普通方程; (2)其 C1 和 C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.

选修 4—5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|3x﹣1|+ax+3 (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)若函数 f(x)有最小值,求 a 的取值范围.

陕西省安康市 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},则 A∩(?RB)等于( ) A. (1,2] B.[2,4) C. (2,4) D. (1,4)

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:由全集 R 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵A=(1,4) ,B=(﹣∞,2], ∴?RB=(2,+∞) , 则 A∩(?RB)=(2,4) , 故选:C. 点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.已知 i 是虚数单位,则 A.﹣i B. + i

=(

) C.﹣1 D. ﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数除法公式直接计算. 解答: 解: =

=

=﹣i.

故选:A. 点评:本题考查复数的代数形式的乘除计算,是基础题,解题时要注意复数运算法则的合理 运用. 3.五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图,则这五位同学这次考试的数学平均分为 ( ) A.88 B.89 C.90 D.91

考点:众数、中位数、平均数. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据茎叶图中的数据,计算数据的平均数即可. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,得; 这 5 位同学考试的数学平均数为: (84+86+88+95+97)=90. 故答案为:C. 点评:本题考查了计算一组数据的平均数的问题,是基础题目.

4.已知角 α 的终边在第二象限,且 sinα= ,则 tanα 等于(

)

A.

B.﹣

C.

D.﹣

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析: 由 α 终边为第二象限角, 根据 sinα 的值, 求出 cosα 的值, 即可确定出 tanα 的值即可. 解答: 解:∵角 α 的终边在第二象限,且 sinα= , ∴cosα=﹣ 则 tanα=﹣ . 故选:D. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 5.在等差数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=4,则公差 d 等于( ) A.1 B.﹣1 C .2 D.﹣2 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:在等差数列{an}中,由条件利用等差数列的性质求得 a2=5,且 a5=2,设公差为 d, 则由 a5﹣a2=3d,求得 d 的值. 解答: 解:∵在等差数列{an}中,a1+a3=10=2a2,a4+a6=4=2a5, ∴a2=5,且 a5=2,设公差为 d,则由 a5﹣a2=3d=2﹣5=﹣3,求得 d=﹣1, 故选:B. 点评:本题主要考查等差数列的性质应用,属于中档题. 6.“m=2”是“直线 x﹣y+m=0 与圆 x +y =2 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

=﹣ ,

)

考点:直线与圆的位置关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由圆的方程找出圆心坐标和半径 r,根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离等于 圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于 m 的方程,求出方程的解可得到 m 的值,即 可得出结论. 2 2 解答: 解:由圆 x +y =2,得到圆心(0,0) ,半径 r= , 2 2 ∵直线 x﹣y+m=0 与圆 x +y =2 相切, ∴圆心到直线的距离 d=r,即 = ,

整理得:|m|=2,即 m=±2, 2 2 ∴“m=2”是“直线 x﹣y+m=0 与圆 x +y =2 相切”的充分不必要条件, 故选:A.

点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,以及点到直线的距 离公式,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的 关键. 7.执行如图程序框图,输出的结果为( )

A.20

B.30

C.42

D.56

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n,T 的值,当 S=25,T=30 时,满 足条件 T>S,退出循环,输出 T=30. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,n=0,T=0 不满足条件 T>S,S=5,n=2,T=2 不满足条件 T>S,S=10,n=4,T=6 不满足条件 T>S,S=15,n=6,T=12 不满足条件 T>S,S=20,n=8,T=20 不满足条件 T>S,S=25,n=10,T=30 满足条件 T>S,退出循环,输出 T=30, 故选:B. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n,T 的值是解 题的关键,属于基本知识的考查. 8.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其侧面积为( )

A.

B.2

C .2

D.6

考点:简单空间图形的三视图.

专题:空间位置关系与距离. 分析:根据题意可知三棱柱是底面边长为 2,高为 1 的三棱柱,侧棱与底面垂直,利用矩形 的面积公式求解即可. 解答: 解:根据题意可知三棱柱是底面边长为 2,高为 1 的三棱柱,侧棱与底面垂直, 故其侧面积为 3×2×1=6, 故选:D. 点评:本题考查了简单的空间几何体的三视图的运用,关键是恢复原图形,判断几何体的特 殊性质,难度不大,属于基础题目.

9.下列三个数:a=ln ﹣ ,b=lnπ﹣π,c=ln3﹣3,大小顺序正确的是( A.a>c>b B.a>b>c C.a<c<b D.b>a>c

)

考点:对数值大小的比较. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:由题意设 f(x)=lnx﹣x(x>0) ,求导判断函数的单调性,从而比较大小. 解答: 解:设 f(x)=lnx﹣x, (x>0) , 则 f′(x)= ﹣1= ;

故 f(x)在(1,+∞)上是减函数, 且 <3<π, 故 ln ﹣ >ln3﹣3>lnπ﹣π, 即 a>c>b; 故选 A. 点评:本题考查了导数的综合应用及利用单调性比较函数值域的大小,属于基础题.

10.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中 ω>0|φ|< 对称中心为(﹣ A.向右平移 C.向左平移

)图象相邻对称轴的距离为

,一个 )

,0) ,为了得到 g(x)=cosωx 的图象,则只要将 f(x)的图象( 个单位 B.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 个单位

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由周期求得 ω,根据图象的对称中心求得 φ 的值,可得函数的解析式,再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得出结论. 解答: 解:由题意可得函数的最小正周期为 =2× ,∴ω=2.

再根据﹣

×2+φ=kπ,|φ|<

,k∈z,可得 φ=

,f(x)=sin(2x+ )+

) , )=cos2x

故将 f(x)的图象向左平移

个单位,可得 y=sin[2(x+

]=sin(2x+

的图象, 故选:D. 点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

11.双曲线

与抛物线 y =2px(p>0)相交于 A,B 两点, )

2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为( A. B. C. D. 考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用条件可得 A( )在双曲线

上,

=c,从而可得(c,2c)在双曲线 简,即可得到结论. 解答: 解:∵双曲线 A,B 两点,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F, ∴A( )在双曲线 上, =c

上,代入化

与抛物线 y =2px(p>0)相交于

2

∴(c,2c)在双曲线

上,

∴ ∴c ﹣6a c +a =0 4 2 ∴e ﹣6e +1=0 ∴ ∵e>1 ∴e= 故选 B.
4 2 2 4

点评: 本题考查双曲线的几何性质, 考查双曲线与抛物线的位置关系, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 12.对于函数 f(x) ,若?a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角形的三边长,则称 f (x)为“可构造三角形函数”,已知函数 f(x)= 取值范围是( A.[0,+∞) ) B.[0,1] C.[1,2] D. 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的

考点:指数函数的图像与性质. 分析:因对任意实数 a、b、c,都存在以 f(a) 、f(b) 、f(c)为三边长的三角形,则 f(a) +f(b)>f(c)恒成立,将 f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取 值范围,整个式子的取值范围由 t﹣1 的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求 出函数的值域,然后讨论 k 转化为 f(a)+f(b)的最小值与 f(c)的最大值的不等式,进 而求出实数 k 的取值范围. 解答: 解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= =1+ ,

①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a) ,f(b) ,f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边 长, 满足条件. ②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,2<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c) ,可得 2t≥1,解得 1>t≥ . 综上可得, ≤t≤2, 故实数 t 的取值范围是[ ,2], 故选 D. 点评: 本题主要考查了求参数的取值范围, 以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函 数的值域,同时考查了分类讨论的思想,属于难题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.二项式(x﹣ ) 的展开式中 x 的系数是 6.
6 4

考点:二项式定理.

专题:二项式定理. 分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项;令 x 的指数为 4,求出展开式中 x 的系数 解答: 解:展开式的通项为 Tr+1= 令 6﹣r﹣r=4,解得 r=1, 此时 T2=C6 x =6x , 4 则展开式中 x 的系数是 6, 故答案为:6 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题, 求出展开式的通 项公式是解决本题的关键.
1 4 4 4



14.已知向量 , 满足| |=1,| + |=

,且 , 的夹角为

,则| |=2.

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:由 解答: 解:∵ 化为 ,可得 ,∴ ,解得 . ,代入解出即可. ,∴ ,

故答案为 2. 点评:熟练掌握向量的运算公式及其数量积运算是解题的关键.

15.实数 x,y 满足

则不等式组所围成的图形的面积为 1.

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用三角形的面积公式进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则不等式组围成的图形为三角形, 其中 A(0,1) ,B(1,0) ,C(2,1) , 则三角形 ABC 的面积 S= 故答案为:1. ,

点评:本题主要考查三角形面积的计算,以及二元一次不等式组表示平面区域,比较基础. 16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 an+3SnSn﹣1=0(n≥2,n∈N+) ,a1= ,则 nan 的最小值 为 .

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意可得数列{ }是以 3 为首项,以 3 为公差的等差数列,求出其前 n 项和后代

入 nan,然后由数列的函数特性求得 nan 的最小值. 解答: 解:∵an+3SnSn﹣1=0(n≥2,n∈N+) , ∴Sn﹣Sn﹣1+3SnSn﹣1=0, ∵a1= ,∴Sn?Sn﹣1≠0, 化简得: ∴数列{ 则 从而 , (n≥2,n∈N+) , }是以 3 为首项,以 3 为公差的等差数列, , , = (n≥2) ,

要使 nan 最小,则需 此时 当 n=1 时,

最小,即 n=2 时最小, . ,

故对任意 n∈N ,nan 的最小值为

*



点评: 本题考查了数列递推式, 考查了等差关系的确定, 考查了数列的函数特性, 是中档题. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D,|AD|= ,求△ ABC 的面积.

asinB=5c,cosB=



考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)利用同角三角函数关系求得 sinB 的值,利用 2 asinB=5c 求得 a 和 c 的关系, 进而利用正弦定理求得转化成角的正弦, 利用两角和公式化简整理求得 sinA 和 cosA 的关系, 求得 tanA 的值,进而求得 A. (Ⅱ)利用余弦定理求得 c,进而求得 b,最后根据三角形面积公式求得答案. 解答: 解: ( I)在△ ABC 中,∵ ∴ ∵ ∴2 ?a? , , =5c ,

∴3a=7c, ∵ ,

∴3sinA=7sinC, ∴3sinA=7sin(A+B) , ∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB,即 3sinA=7?sinA? ∴﹣sinA= ∴ (Ⅱ)∵ 又 3a=7c,∴BD= ∴ ∴c=3,则 a=7, ∴ . = , , cosA, ,即 . , +7cosA

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用. 解题的关键就是利用正弦定理和余弦定 理完成边角问题的转化. 18.某公司对员工进行身体素质综合测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级,测试 结果如表: (单位:人) 优秀 良好 合格

男 180 70 20 女 120 a 30 按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. (1)求 a 的值; (2)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)利用分层抽样的计算公式即可得出,进而求出 a 的值; (2)由题意,X 所有取值 0,1,2.在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,则 抽取的男生数=2,抽取的女生数=5﹣2=3.根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率, 即可得到分布列及数学期望. 解答: 解: (1)设该公司共 n 人, 由题意得, ,

解得,n=500; 则 a=500﹣(180+120+70+20+30)=80; (2)X 的所有取值为 0,1,2,则 在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,则抽取的男生数=2,抽取的女生数=5﹣ 2=3. P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,

∴X 的分布列为: X 0 P EX=0× +1× +2× = .

1

2

点评: 本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求法, 熟练掌握分层抽样的意义及其计 算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键. 19. 已知在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD=1, AB=2, E,F 分别是 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求平面 PEC 与平面 ECD 夹角的余弦值.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角.

分析: (1)取 PC 的中点 M,连结 MF、ME,通过中位线定理及线面平行的判定定理即得 结论; (2)以 A 为原点建立空间直角坐标系,则所求值即为平面 PEC 的法向量与平面 ABCD 的 法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可. 解答: (1)证明:取 PC 的中点 M,连结 MF、ME, 又∵F 是 PD 的中点,∴MF∥DC,且 BF= DC, 又 DC∥AE,∴MF∥AE, 又 E 是 AB 的中点,且 AB=CD, ∴MF=AE, ∴四边形 AEMF 是平行四边形,∴AF∥EM, 又 EM?平面 PEC,AF?平面 PEC, ∴AF∥平面 PEC; (2)解:以 A 为原点建立空间直角坐标系如图, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) , D(0,1,0) ,E(1,0,0) ,F(0, , ) ,P(0,0,1) , ∴ =(1,0,﹣1) , =(1,1,0) ,

设平面 PEC 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,

令 z=﹣1,得 =(﹣1,1,﹣1) , 而平面 ABCD 的法向量为 ∴ = =(0,0,﹣1) , = = ,

∴所求平面 PEC 与平面 ECD 夹角的余弦值为



点评:本题考查直线与平面平行的判定,二面角的计算,考查空间想象能力、计算能力,注 意解题方法的积累,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

+

=1, (a>b>0)的离心率等于

,点 P(2,

)在椭圆上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M, N 两点,是否存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一 个满足条件的 t 值;若不存在,说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意可得:

,解得即可.

(2)当 l⊥x 轴时,M ,N ,联立直线 AN、BM 的方程可得 G .猜测常数 t=8. 即存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上.当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y=k(x﹣2) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,G(8,t) .把直线方程与椭圆方程联 立可得根与系数的关系,由于 =(12,t) , =(x2+4,y2) ,利用三点共线可得 t(x2+4)

﹣12y2=0,只要证明三点 B,M,G 共线即可.利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即 可证明. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: 椭圆上. + =1, (a>b>0)的离心率等于 ,点 P(2, )在



,解得 a =16,b =4,c=

2

2

.∴椭圆 C 的方程为



(2)当 l⊥x 轴时,M ,

,N .

,直线 AN、BM 的方程分别为

分别化为: =0, =0.联立解得 G t=8. 即存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上.

.猜测常数

证明:当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y=k(x﹣2) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,G (8,t) . 联立 ,化为(1+4k )x ﹣16k x+16k ﹣16=0.
2 2 2 2









=(12,t) ,

=(x2+4,y2) ,三点 A,N,G 共线. =

∴t(x2+4)﹣12y2=0,∴

由于

=(4,t) ,

=(x1﹣4,y1) ,要证明三点 B,M,G 共线. ﹣4k(x1﹣2)=0,

即证明 t(x1﹣4)﹣4y1=0.即证明 而 3(x2﹣2) (x1﹣4)﹣(x1﹣2) (x2+4)=2x1x2﹣10(x1+x2) +32= =0,



﹣4k(x1﹣2)=0 成立.

∴存在定直线 l′:x=8,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上. 综上可知:存在定直线 l′:x=8,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与 系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21.设函数 f(x)=

﹣ax.

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; 2 (2)若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.

分析: (1)由已知得 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) ,f′(x)=﹣a+



(1,+∞)上恒成立,由此利用导数性质能求出 a 的最大值; 2 2 (2)命题“若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立”,等价于“当 x∈[e,e ]时, 有 f(x)min≤f′(x)max+a”,由此利用导数性质结合分类讨论思想,能求出实数 a 的取值范 围. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) , ∵f(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴f′(x)=﹣a+ ≤0 在(1,+∞)上恒成立,

﹣a≤



=(
2

﹣ )﹣ ,

2

令 g(x)=( 故当

﹣ )﹣ ,
2

= ,即 x=e 时,

g(x)的最小值为﹣ ,∴﹣a≤﹣ ,即 a≥ ∴a 的最小值为 . (Ⅱ)命题“若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立”, 2 等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤f′(x)max+a”, 由(Ⅰ)知,当 x∈[e,e ]时,lnx∈[1,2], f′(x)=﹣a+ =﹣(
2 2 2

∈[ ,1],

﹣ ) + ﹣a,

f′(x)max+a= , 问题等价于:“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤ ”, ①当﹣a≤﹣ ,即 a
2 2

时,由(Ⅰ) ,f(x)在[e,e ]上为减函数,
2

2

则 f(x)min=f(e )=﹣ae + ∴﹣a≤ ∴a≥ ﹣ ﹣ , .

≤ ,

②当﹣ <﹣a<0,即 0<a< 时,∵x∈[e,e ],∴lnx∈[ ,1],

2

∵f′(x)=﹣a+
2

,由复合函数的单调性知 f′(x)在[e,e ]上为增函数,

2

∴存在唯一 x0∈(e,e ) ,使 f′(x0)=0 且满足: f(x)min=f(x0)=﹣ax0+ 要使 f(x)min≤ ,∴﹣a≤ 与﹣ <﹣a<0 矛盾, ∴﹣ <﹣a<0 不合题意. 综上,实数 a 的取值范围为[ ﹣ ,+∞) . ,



< ﹣ =﹣ ,

点评: 本题主要考查函数、 导数等基本知识. 考查运算求解能力及化归思想、 函数方程思想、 分类讨论思想的合理运用,注意导数性质的合理运用. 选修 4—1:几何证明选讲 22.如图,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; (2)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.
2

考点:与圆有关的比例线段. 专题:证明题;直线与圆. 分析: (1) 连接 BE、 OE, 由直径所对的圆周角为直角, 得到 BE⊥EC, 从而得出 DE=BD= ,

由此证出△ ODE≌△ ODB, 得∠OED=∠OBD=90°, 利用圆内接四边形形的判定定理得到 O、 B、D、E 四点共圆; 2 (2) 延长 DO 交圆 O 于点 H, 由 (1) 的结论证出 DE 为圆 O 的切线, 从而得出 DE =DM?DH, 再将 DH 分解为 DO+OH,并利用 OH= 和 DO= ,化简即可得到等式 2DE =DM?AC+DM?AB 成立.
2

解答: 解: (1)连接 BE、OE,则 ∵AB 为圆 0 的直径,∴∠AEB=90°,得 BE⊥EC, 又∵D 是 BC 的中点,

∴ED 是 Rt△ BEC 的中线,可得 DE=BD. 又∵OE=OB,OD=OD,∴△ODE≌△ODB. 可得∠OED=∠OBD=90°, 因此,O、B、D、E 四点共圆; (2)延长 DO 交圆 O 于点 H, ∵DE⊥OE,OE 是半径,∴DE 为圆 O 的切线. 可得 DE =DM?DH=DM?(DO+OH)=DM?DO+DM?OH. ∵OH= ∴ ,OD 为△ ABC 的中位线,得 DO= ,
2 2

,化简得 2DE =DM?AC+DM?AB.

点评:本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定 与性质等知识,属于中档题. 选修 4—4:坐标系与参数方程 23.平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 , (α 为参数) ,以坐标原点为

极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ρ=2sinθ. (1)求 C1 和 C2 的普通方程; (2)其 C1 和 C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 2 2 分析: (1)利用三角函数的运算公式化简 cos α+sin α=1,即可得出普通方程. 2 2 2 2 (2)C1 的普通方程: (x﹣1) +y =1,曲线 C2 的方程为 x +y =2y.相减得出 y=x,AB 的 垂直平分线的方程:x+y=1,利用极坐标方程求解. 解答: 解: (1)∵ , (α 为参数) ,


2 2



cos α+sin α=1, 2 2 ∴C1 的普通方程: (x﹣1) +y =1, ∵ ,sin .

曲线 C2 的方程为 ρ=2sinθ. ∴ =
2 2

即曲线 C2 的方程为 x +y =2y. 2 2 (2)∵C1 的普通方程: (x﹣1) +y =1, 2 2 曲线 C2 的方程为 x +y =2y. ∴相减得出 y=x, 交点为 A(0,0) ,B( (1,1) , ∴中点为( , ) ,y=﹣x+1, ∴AB 的垂直平分线的方程:x+y=1, ( )=1,

∴C1 和 C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程:ρcos(

)=

点评:本题考查了圆直线的参数方程,极坐标方程的相互转化,属于中档题,关键是确定方 程的形式. 选修 4—5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|3x﹣1|+ax+3 (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)若函数 f(x)有最小值,求 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式. 分析: (Ⅰ)需要去掉绝对值,得到不等式解得即可, (Ⅱ)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数 f(x)有最小值的充要条件, 即可求得. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=|3x﹣1|+x+3, 当x 当x 时,f(x)≤4 可化为 3x﹣1+x+3≤4,解得 时,f(x)≤4 可化为﹣3x+1+x+3≤4,解得 }, ; .

综上可得,原不等式的解集为{x|

(Ⅱ)f(x)=|3x﹣1|+ax+3=

函数 f(x)有最小值的充要条件为 即﹣3≤a≤3.



点评:本题主要考查含有绝对值不等式的解法,关键是去绝对值,需要分类讨论,属于基础 题.


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