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数学物理方法课件《第一章 复变函数》


第一章 复变函数

第一节 复数

§1.1.1复数及其代数运算
?

1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数

?

?

1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 2 为复数。 其中 i ? ? 1 , i 称为虚单位。 ?复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) ? 复数的模 | z |? ? 判断复数相等
z1 ? z 2 ? x1 ? x 2 , y1 ? y2 , 其中z1 ? x1 ? iy1 , z 2 ? x 2 ? iy2 z ? 0 ? Re(z ) ? Im( z ) ? 0
x ? y
2 2

? 0

? 一般, 任意两个复数不能比较大小。

2. 代数运算
?四则运算

定义

z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为:
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z ? z1 z2 ? x1 x 2 ? y1 y 2 | z2 |
2

?i

x 2 y1 ? x1 y 2 | z2 |
2

(z2 ? 0)

?运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 (与实数相同)即, z1+z2=z2+z1;

z1z2=z2z1;
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);

z1(z2z3)=(z1z2)z3;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称?z=x-iy 为z 的共轭复数. ?共轭复数的性质
(1 ) ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2
( z1 z 2 ) ? z1 z 2

(conjugate)
(2) z ? z

( 4 ) z ? z ? 2 Re( z ) z ? z ? 2 i Im( z )
2 2 2

(

z1 z2

)?
2

z1 z2

( 3) z z ? Re(z ) ? Im( z ) ? x ? y

?

1 z

?

z |z|
2

例 : 设 z1 ? 5 ? 5 i , z 2 ? ? 3 ? 4 i , 求
z

z1 z2

,(

z1 z2

)及 它 们 的 实 部 , 虚 部 .

1 ? 5 ? 5 i ? ( 5 ? 5 i )( ? 3 ? 4 i ) 解: z ?3 ? 4i ( ? 3 ? 4 i )( ? 3 ? 4 i ) 2 ? ?35 ? 5i 25 ? ?7 ? i 5
4

例 :求

?1? i? ? ? ?1? i ?

?

1? i 1? i

?

(1 ? i )(1 ? i ) (1 ? i )(1 ? i )

? i

§1.1.2 复数的表示方法
?
? ? ?

1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法

4. 指数表示法

1. 点的表示
易见, z ? x ? iy ? 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系,则 ( x, y)

( x , y ),

任意点 P ( x , y ) ? 一对有序实数 ? z ? x ? iy ? 平面上的点

P( x, y)

? 复数 z ? x ? iy 可用平面上坐标为 此时,轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴

( x , y )的点 P 表示 .

平面 — 复平面或 z 平面

点的表示:z ? x ? iy ? 复平面上的点 ( x,y ) P

?

数z与点z同义.

2. 向量表示法
? z ? x ? iy ? 点P ( x,y ) ? OP ? { x , y } ? 可用向量 OP表示z ? x ? iy .

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值; 以正实轴 为始边, 以 向量OP为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y (z)
模:| z | ? | OP | ? r ?
记作

x

2

? y

2

,

y
z ?r

P(x,y)
?

辐角 : ? ?

Arg z

? ? z ? 0 ? OP ? 0

o

x

x

z ? 0 时, tan( Arg z ) ? y / x

辐角无穷多:Arg z=θ=θ0+2kπ, k∈Z,

把其中满足 ? ? 记作θ0=argz。

? ? 0 ? ? 的θ0称为辐角Argz的主值,

?

z=0时,辐角不确定。
x ? 0, y ? R x ? 0, y x ? 0, y ? ? ? 0 0

计算 argz(z≠0) 的公式

y ? ? arctan x ? ? ? ? ? arg z ? ? 2 ? y ?? ? arctan x ? ? ? ?

? x ? 0, y ? 0

?

当z落于一,四象限时,不变。

?
?

当z落于第二象限时,加
当z落于第三象限时,减
?

?。 ?。

?
2

? arctan

y x

?

?
2

由向量表示法知
z 2 ? z 1 — 点 z 1 与 z 2 之间的距离
由此得 : z 2 ? z1 ? z 2 ? z1 z 2 ? z1 ? z 2 ? z1

y

(z)

z1
( 三角不等式 )

z2

o

x

3. 三角表示法
? x ? r cos ? 由? 得 ? y ? r sin ?

4. 指数表示法
再由 Euler 公式 : e
i?

? cos ? ? i sin ? 得

z ? r (cos ? ? i sin? )

z ? re

i?

注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.
例 1. 求 (1) 1 ? i , ( 2 ) i , (3) 1, ( 4 ) ? 2 的 三 角 形 式 和 指 数 形 式 ,模 , 辐 角 及 辐 角 主 值 .
1? i ? i ? co s(

2 [co s(

?
4

? 2 k ? ) ? i sin (

?
4

? 2 k ? )] ?
i(

i(

?
4

? 2 k? )

2e

?
2

? 2 k ? ) ? i sin (

?
2

?
2

? 2k? ) ? e

? 2 k? )

1 ? co s( 0 ? 2 k ? ) ? i sin ( 0 ? 2 k ? ) ? e

i ( 0 ? 2 k? ) i (? ? 2 k? )

? 2 ? 2[co s( ? ? 2 k ? ) ? i sin ( ? ? 2 k ? )] ? 2 e

主辐角(辐角中的任一个)可唯一地标识一个复数,及要 指明一个复数只需要主辐角即可,引入全辐角只是为 了方便地表示某些运算的结果。固上例中的2Kπ均

可去掉。
例 4 . 求 (1) e
2i

, ( 2 ) 3e

?i

, (3) e

??

2

的 模 , 辐 角.

例 5 . 将 z ? sin

?
5

? i cos

?
5

化为三角形式与指数形

式.

两个复数乘积的模等于它们的模相乘, 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但 一 般 地 arg ( z1 z 2 ) ? arg z 1 ? arg z 2

几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2,再将其伸缩到|z2|倍。 y

(z)
z1 z 2
?2
?1

z2

z1

o

?2

x

?

定理1可推广到n 个复数的乘积。

例 .设 z 1 ? ? 1, z 2 ? i , 则 z 1 z 2 ? ? i
Argz
1

? ? ? 2m ?

m ? 0 , ? 1, ? 2 , ?

Argz

2

?

?
2

? 2n? ? 2

n ? 0 , ? 1, ? 2 , ? k ? 0 , ? 1, ? 2 ,?

Arg ( z 1 z 2 ) ? ? 代入上式

? 2k?

3? 2

? 2 ? m ? n ?? ? ?

?
2

? 2k?

要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.

两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的 商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。
证明
设 z 1 ? r1 e
i? 1

, z 2 ? r2 e

i? 2

由复数除法的定义 z=z2 /z1,即 z1z = z2

∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2( z1≠0)
? Argz=Argz2-Argz1
z ? z2 z1 ? r2 r1 e
i (?
2

即:
?? 1 )

一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) ? a rg z 1 ? a rg z 2

§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根

1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积,称为z 的n次幂, 记作z n,即z n=z?z???z(共n个)。

设z=re iθ,由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 特别:当|z|=1时,即:zn=cosnθ+isin nθ,则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。 定义
z
?n

?

1 z
n

.

由定义得

z

?n

? r

?n

e

? in ?

2.复数的方根(开方)——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ?,求所有的满足ωn=z 的 复数ω。 当z≠0时,有n个不同的ω值与 n z 相对应,每一
n

个这样的ω值都称为z 的n次方根,记 ? ?
设 ? ? ?e
? ?
n

z
i?

i?

,由 ?

? r,
n

? z , 有 ? n e in ? ? re n? ? ? ? ? 0 ? 2 k ? (k ? Z )
n

? ? ?
?

z ?

n

i

? 0 ? 2 k?
n

re
n

( k ? 0 ,1 , 2 , ? , n ? 1 )

n

r (co s

? 0 ? 2 k?

? i sin

? 0 ? 2 k?
n

)

例 2 : 用 sin ? 及 co s ? 表 出 co s 3? 和 sin 3?

解 由棣摩弗公式得 co s 3? ? i sin 3? ? (co s ? ? i sin ? )
3 2 3

? co s ? ? 3 i co s ? sin ? ? 3 co s ? sin ? ? i sin ?
2 3

co s 3? ? co s ? ? 3 co s ? sin ? ? 4 co s ? ? 3 co s ?
3 2 3

sin 3? ? 3 co s ? ? sin ? ? 3 sin ? ? 4 sin ?
2 3 3

例 :求

3

1

解 : ? 1 ? ?cos 0 ? i sin 0 ?
3

1 ? cos

0 ? 2k? 3

? i sin

0 ? 2k? 3

, ( k ? 0 ,1 , 2 ).

即 ? 0 ? 1, ? 1 ? ?

1 2

?

3 2

i, ? 2 ? ?

1 2

?

3 2

i.

?

当k=0,1,…,n-1时,可得n个不同的根, 而k取其它整数时,这些根又会重复出现。 y 几何上,n z 的n个值是 ?1 1? i 以原点为中心,n r 为半 径的圆周上n个等分点, 2 ?0 2 即它们是内接于该圆周 x o 的正n边形的n个顶点。 ?
8

2

例3

?k ? ?
2 (co s 4

4

1? i ? 2 k? 4

?
? i sin 4

?3
? 2 k? ) 4 ( k ? 0 ,1, 2 , 3( 见 图 ) )

?

8

第二节 复变函数

§1.2.1区域与约当曲线
? ? ?

1. 区域的概念 2. 简单曲线(或Jordan曲线) 3. 单连通域与复连通域

1. 区域的概念
?邻域 复平面上以 z 0为中心,任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点

的集合称为点 z 0 的δ(去心)邻域 。
记为 U ( z 0 , ? ) 或 (U ? ( z0 , ? )) 即,
U ( z0 ,? ) ? { z z ? z0 ? ? }

?

?

z0

(U ( z0 , ? ) ? { z 0 ? z ? z0 ? ? })
?

设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G,若存在U(z 0 ,δ), 使该邻 域内的所有点都属于G,则称z 0是G的内点。

开集 若G内的每一点都是 外点 内点,则称G是开集。 z

z2
1

?区域

设 D是一个开集, 且D是连通的,称 D是一个区域。

?

z0

内点

P

D-区域
属于 D 的折线连接 .

连通是指 D 中任意两点均可用完全

边界与边界点 已知点P不属于D,若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点,则称P是 D的边界点; D的所有边界点组成D的边界。

?闭区域

区域D与它的边界一起构成闭区域,

记为 D .

有界区域与无界区域

若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有
z∈G={z | |z|<R},则D是有界区域;否则无界。
z ? z0 ? r 表示以 z 0 为圆点 , 以 r 为半径的圆内所有的点 .

Re z ? ? , Im z ? ? 表示分别平行于

y 轴和 x 轴的直线 .

Re z ? 0 表示右半复平面 Im z ? 0 表示下半复平面

, .

r1 ? z ? z 0 ? r2

表示一个圆环

, 而且是有界的

.

它的边界由两个圆周 如果在其中去掉一个或 只是边界增加了一个或

z ? z 0 ? r2 , z ? z 0 ? r1 组成 , 几个点 , 它仍然是区域 几个点 . ,

2. 简单曲线(或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可 ? x ? x(t ) ? ? ? y ? y(t ) ? 表示为:

( a ? t ? b ), 实变函数 x ( t )、 y ( t ) ? C [ a , b ]

令z(t)=x(t)+iy(t)

a≤t≤b ;
2 2

则曲线方程可记为:z=z(t), a≤t≤b
若 x ' ( t )、 y ' ( t ) ? C [ a , b ]且 [ x ' ( t )] ? [ y ' ( t )] ? 0 则称该曲线为光滑的 .

有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。

重点 设连续曲线C:z=z(t),a≤t≤b, 对于t1∈(a,b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时,若z(t1)=z(t2), 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时,则称 此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。
z(a)=z(b)

z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线

简单闭曲线

简单闭曲线的性质
任一条简单闭曲线 C:z=z(t), t∈[a,b],把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分:一个是有 界区域,称为C的内部;一个是无界区域,称为 C的外部;还有一个是它们的公共边界。

3. 单连通域与多连通域
定义 复平面上的一个区域 B , 内部 如果B内的任何简单闭曲线的 C 内部总在B内,就称 B为单连通 z(a)=z(b) 域;非单连通域称为多连通域。

外部 边界

单连通域

多连通域

例4 |z|<R(R>0)是单连通的区域; 0≤r<|z|≤R是多连通的,但不是区域。
例 5 .上 半 平 面 Im z > 0 是 一 单 连 通 区 域 例 6 .同 心 园 环 R 1 ? z ? z 0 ? R 2是 一 复 连 通 区

单连通域

多连通域

不是区域

§1.2.2 复变函数的概念
? ? ?

1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射

1. 复变函数的定义 —与实变函数定义相类似
定义 设 G 是一个复数
则称复变数 z ? x ? iy 的非空集合 , 存在法则

f , 使得 ? z ? G , 就有一个或几个

w ? u ? iv 与之对应 , )

w 是复变数 z 的函数(简称复变函数

记作 w ? f ( z ).

?若z ? 一个w值,称f ( z )是单值函数;
z ? 多个w值,称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明,所讨 论的函数均为单值函数 。

G — f ( z )的定义集合,常常是平

面区域(定义域)

G

*

? { w w ? f ( z ) , z ? G } — 函数值集合

? z ? x ? iy ? ( x , y ); w ? u ? iv ? ( u , v ) ? w ? f ( z ) ? f ( x ? iy ) ? u ( x , y ) ? iv ( x , y )

故 u ? u( x , y )

v ? v( x, y)

w ? f ( z ) ? u ? iv ? u ? u( x , y )

v ? v( x, y )

例书8单值函数,例9多值函数,例10,11等

又例

w ? z

2

令 z ? x ? iy
2

w ? u ? iv
2 2

则 w ? ( u ? iv ) ? ( x ? iy ) ? x ? y ? 2 xyi

?w ? z ? u? x ? y
2 2

2

v ? 2 xy

例2 若已知

? ? ? ? 1 1 ? ? iy ? 1 ? ? f (z) ? x?1 ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? x ? y ? x ? y ? ? ?

将 f ( z ) 表示成 z 的函数 .

设 z ? x ? iy , 则 x ?

1 2

( z ? z ), y ?

1 2i

(z ? z)

f (z) ? z ?

1 z

2. 映射的概念

——复变函数的几何意义
*

在几何上, w=f(z)可以看作:
z ? G ( z 平面 ) ? ? ? ? w ? G ( w 平面)的映射
w? f (z)

( 变换 ).

定义域 y

函数值集合

称 w 为 z 的象点 (映象 ),而 z 称为 w 的原象。

(z)
w=f(z)

v

(w)
G*

z
o

G

w=f(z)
w

x

o

u

?复变函数的几何意义是一个映射(变换)

?

在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y

之间的对应关系,以便在研究和理解复变
函数问题时,可借助于几何直观.

? 以下不再区分函数与映射(变换)。

3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w
?w ? z ? ze

?
2

z 为z=w

2的反函数或逆映射

? ? 2 k?

( k ? 0 ,1 )

∴为多值函数,2支.

定义

设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
(z z ? G ? w ? f?) ? w ? G * ?

一个(或几个)z ? G ???)? w ? G * z ?? ( w

则称z=? ?w)为w=f(z)的反函数(逆映射).
显然有 w ? f [? ( w )] ?w ? G
*

当反函数单值时

z ? ? [ f ( z )]

? z ? G ( 一般 z ? ? [ f ( z )])

当函数 ( 映射 ) w ? f ( z ) 和其反函数 z ? ? ( w ) 都是单值的,则称函数 是一一的。也称集合

( 逆映射 )

( 映射 ) w ? f ( z )
?

G 与集合 G 是一一对应的。

例 已知映射w=

z3
1 z

,求区域 0<argz<

?
3

在平面w上的象。
x ? y ? 1被
2 2

例 已知映射
映射成

w ?

, 判断 : z 平面上的曲线 ?

w 平面上怎样的曲线

§1.2.3 复变函数的极限与连续性
? ? ?

1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性

1. 函数的极限
定义1.6 设 w ? f ( z ), z ? U ( z 0 , ? ), 若存在数 A , ? ? ? 0 ,
? ? ( ? ), 当 0 ? z ? z 0 ? ? 时 , 有 f ( z ) ? A ? ? ,
(0 ? ? ? ? ) ?

则称 A 为 f ( z )当 z ? z 0 时的极限,记作 或当 z ? z 0 时, f ( z ) ? A

z ? z0

lim f ( z ) ? A

y

(z)
w ? f (z)

v

(w)
?

?

z0

A

o

x

o

u

几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中

?

(1) 意义中 z ? z0

的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. (3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.

2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系:
定理
设f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )


z ? x ? iy z0 ? x0 ? iy0
( x , y )? ( x0 , y0 ) ( x , y )? ( x0 , y0 )

lim

lim f ( z ) ? A ? u0 ? iv0 ?
z ? z0

u( x , y ) ? u0 v( x , y ) ? v0

lim

定理
若 lim f ( z ) ? A
z ? z0

lim g ( z ) ? B , 则
z ? z0 z ? z0 z ? z0

lim

z ? z0

? f (z) ?

g ( z ) ? ? lim f ( z ) ? lim g ( z ) ? A ? B
z ? z0 z ? z0

lim f ( z ) g ( z ) ? lim f ( z ) lim g ( z ) ? AB
z ? z0

lim

f (z) g(z)

lim f ( z ) ?
z ? z0

z ? z0

( lim g ( z ) ? 0 ) ?
z ? z0

A B

lim g ( z )
z ? z0

?

以上定理用极限定义证!

例 证明 w ? x 2 ? y ? i ( x ? y 2 ) 在平面上处处有极限
? x ? y , x ? y 在平面上处处有极限
2 2

.



求 f (z) ? z
? f (z) ?

z
2

? z
2

z

在 z ? 0时的极限 .

2( x ? y ) x ? y
2 2

在 ( 0 , 0 ) 处极限不存在

.



证明 f ( z ) ? Re z

z

在 z ? 0时的极限不存在

.

3.函数的连续性
定义1.7 若 lim f ( z ) ? f ( z 0 ), 则 称 f ( z ) 在 z 0 处 连 续 ;
z ? z0

若 在 区 域 D内 处 处 连 续 , 则 称 f ( z ) 在 D内 连 续 ; 若 z、 z 0 ? C , 且 lim f ( z ) ? f ( z 0 ), 则 称 f ( z )
?z? 0

在 曲 线 C 上 点 z 0处 连 续 .

定理1.1 设f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )
在 z 0 ? x 0 ? iy0 处连续 ?
( x , y )? ( x 0 , y0 ) ( x , y )? ( x 0 , y0 )

lim

u( x , y ) ? u( x 0 , y 0 ) v( x, y ) ? v( x 0 , y0 ) .

lim

及u( x , y ), v ( x , y )在点( x 0 , y 0 )连续



证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。
故不连续。

证明 ( 1 ) ? f ( z ) ? arg z 在原点没有定义,
( 2 ) 在负实轴上 ? P ( x , 0 )( x ? 0 ) ? lim? arg z ? ?
y? 0 y? 0

y z o

(z)

lim? arg z ? ? ?

? P ( x ,0 )

x

? arg z 在负实轴 上不连续。

z

例12 : 试 证 f ( z ) ? 连续.

1

(

z

?

z z

)在 原 点 无 极 限 , 从 而 在 原 点 不

2i z

定理1.2 (1)连续函数的和、差、积、商 (分母不为 0) ,仍为 连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。
(2)有界性:
设 f ( z )在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 , 则 (? ) f ( z ) 在 D 上 有 界 ,即 存 在 M>0,使 得 f ( z ) ? M . (? ) f ( z ) 在 D 上 有 最 大 值 和 最 小 值 .

由以上讨论

?
n

P ( z ) ? a 0 ? a 1 z ? ? ? a n z 在整个复平面内是连续 R(z) ? P(z) Q(z) 在复平面内除分母为 0点外处处连续

的; .



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