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向量的应用 学案 高中数学 必修四 苏教版 Word版


2.5 向量的应用 学习目标 1.会用向量方法解决简单的物理问题. 2.会用向量方法解决简单的平面几何问题. 3.会用向量方法解决涉及直线与圆的问题. 重点难点 重点:用向量方法解决物理及平面几何问题. 难点:用向量方法解决物理问题及其他实际 问题. 1.向量在物理中的应用:向量在研究物理问题时经常用到以下结论. (1)力、速度、加速度、位移等都是向量;(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就 是向量的加减法;(3)功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积. 预习交流 1 向量可以解决哪些物理问题? 提示:可以解决求力、速度、方向、位移等问题. 2.向量在平面几何中的应用:平面几何中的共点、共线、平行、垂直等问题都可以用 向量解决.(1)对线共点问题,常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点,然后 再借助于向量知识说明其他直线也过这点.(2)对平行问题,往往转化为与其相关的向量共 线问题.(3)对于垂直问题常转化为相关向量的数量积问题解决. 预习交流 2 用向量方法解决平面几何问题的一般步骤是什么? 提示:用向量方法解决几何问题,一般分如下三步:①建立平面几何与向量的联系,用 向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算,研究 几何元素之间的关系;③把运算结果还原为几何关系. π? 3.向量在解析几何中的应用:(1)若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 θ? ?θ≠2?.向量 a=(m, n n)平行于 l,则 k=tan α= .(2)直线 l:y=kx+b 的方向向量是(1,k).(3)过点 P(x0,y0)且与 m a=(m,n)平行的直线方程为 n(x-x0)-m(y-y0)=0.(4)过点 P(x0,y0)且与向量 a=(m,n)垂 直的直线方程为 m(x-x0)+n(y-y0)=0. 预习交流 3 (1)设 A, B, C, D 四点坐标依次为(-1,0), (0,2), (4,3), (3,1), 则四边形 ABCD 为__________. → → (2)直角坐标系中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足OP· OA=4,则点 P 的轨迹方程是 __________. → → → → → → 提示:(1)因为AB=(1,2),BC=(4,1),CD=(-1,-2),DA=(-4,-1),所以|AB|=|CD → → |,|BC|=|DA|.所以四边形 ABCD 为平行四边形. (2)x+2y-4=0 一、向量在物理中的应用 在重为 300 N 的物体上系上两根绳子, 这两根绳子在铅垂线的两侧, 与铅垂线的夹角分 别为 30° 和 60° ,如图所示,求物体平衡时,两根绳上拉力的大小. 思路分析:由题目知两根绳子的夹角为 90° ,因此可以把问题转化为解直角三角形.解 此类力的平衡问题, 主要是运用向量之和为零向量去求解, 通过运用化归思想和数形结合思 想及数学建模将物理问题转化为向量问题. 解:如图所示: → → → → → 两根绳子的拉力之和OA+OB=OC, 且|OC|=|OG|=300 N, ∠AOC=30° , ∠BOC=60° . 在△OAC 中,∠ACO=∠BOC=60° ,∠AOC=30° , 则∠OAC=90° . → → → → → → 从而|OA|=|OC|cos 30° =150 3 N,|AC|=|OC|sin 30° =150 N,|OB|=|AC|=150 N. 答:与铅垂线成 30° 角的绳子的拉力是 150 3N,与铅垂线成 60° 角的绳

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