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天津市红桥区2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


红桥区 2014-2015 学年度第二学期高二期末数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页. 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
1.请将试卷答案写在答题纸上 .... 2.本卷共 8 题,每题 4 分,共 32 分.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数 y ? 则 M ? ?U N ? (A) ?x | ?1≤ x ? 0或x ≥ 2? (C) ?x | ?1≤ x ≤ 0或x ? 2? (B) {x | ?1 ≤ x ≤ 0或x ≥ 2} (D) ?x | 0 ≤ x ? 2?

x ? 1 的定义域为 M ,已知全集 U ? R ,集合 N ? ?x | 0 ? x ≤ 2? ,

2. 对命题 " 存在x0 ? R,x02 ? 2x0 ? 4 ≤ 0" 。的否定正确的是 (A) " 存在x0 ? R,x02 ? 2 x0 ? 4 ? 0" (C) " 存在x0 ? R,x02 ? 2x0 ? 4 ≤ 0" (B) " 任意x ? R,x2 ? 2 x ? 4 ? 0" (D) " 任意x ? R,x2 ? 2 x ? 4 ≤ 0"

(0, +? ) 3. 下列函数中,既是偶函数,又是在区间 上单调递减的函数是

(A) y ? x (C) y ? ?( x ? 1)2

(B) y ? ? x3 (D) y ? ? x 2

4. 如图,圆 O 内的两条弦 AB 、 CD 相交于 P , PA ? PB ? 4 ,

PD ? 4 PC .若 O 到 AB 的距离为 4 ,则 O 到 CD 的距离为
(A) 7 (C) 7 (B) 39 (D) 8

5. 若 x ? 0 、 y ? 0 ,则 x ? y ? 1 是 x 2 ? y 2 ? 1 的 (A)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (B)充要条件 (D)非充分非必要条件

6. 执行程序框图,如果输入 a ? 2 ,那么输出 n ? (A) 3 (C) 5 (B) 4 (D) 6

b (0, +? ) 7. 若函数 y ? ax 与 y ? ? 在 都是增函数, x
(0, +? ) 则函数 y ? ax2 ? bx 在 上是

第 6 题图 (B) 减函数 (D)先减后增

(A)增函数 (C)先增后减

8. 设集合 A ?

?? x, y ? ? x ? 4? ? y ? 1? , B ? ?? x, y ? ? x ? t ? ? ? y ? at ? 2? ? 1?
2 2 2 2

,如

果命题“ ?t ? R, A ? B ? ? ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 (A) ?1, 4?
? 4? (B)?0, ? ? 3?
? 1? (C)? 0, ? ? 2? ?4 ? (D)? ??, 0? ? ? , ? ? ? ?3 ?

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分。 9. 命题“若 a ? M ,则 b ? M ”的逆否命题是 .

? x ? 2 x ≤0 10.若 f ( x) ? ? ,则 f ( f (4)) ? ?? x ? 2 x ? 0


A

11.如图所示, AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED ? AF ,
B

O

交 AF 的延长线于点 D ,交 AB 的延长线于点 C .若 CB ? 2 ,
CE ? 4 ,则 AD 的长为

C



第 11 题图

E 图(3)

F D

12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ,若 f (?3) ? 6 ,则 f (2015) ? 13. 若执行右图中的框图,输入 N ? 15, , 则输出的数等于 . .

三、解答题:本大题共 4 个小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 13 题图 (14) (本小题满分 10 分) 已知 P ? x | x2 ? 8x ? 20 ≤ 0 , S ? ?x |1 ? m ≤ x ≤1 ? m? , (Ⅰ)是否存在实数 m ,使集合 P ? S ,若存在,求出 m 的值,否则说明理由; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使 x ? P 是 x ? S 的必要不充分条件,若存在,求出 m 的取 值范围,否则说明理由. (15) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

?

?

ax2 ? 1 是奇函数( a , b, c 均为整数)且 f (1) ? 2 ; f (2) ? 3 bx ? c

(Ⅰ)求 a , b, c 的值;

(Ⅱ) x ? 0 时,用单调性定义判断 f ( x) 的单调性. (16) (本小题满分 12 分) 如图 AB 是 ? O 的直径, 弦 BD, CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F . 求证: (Ⅰ) A, D, E , F 四点共圆; (Ⅱ) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC
F A C E D

O

B

(17) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c . ( a , b, c ? R ) (Ⅰ)若 f (?1) ? 0 ,试判断函数 f ( x) 零点的个数; (Ⅱ)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x) 同时满足以下条件: ①对任意 x ? R , f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,且 f ( x) ≥ 0 ;

1 ②对任意 x ? R 都有 0 ≤ f ( x) ? x ≤ ( x ? 1)2 . 2
若存在,求出 a , b, c 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试证明:存在 x0 ? ? x1 , x2 ? , 使 f ( x0 ) ?

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? 成立. 2

红桥区高二期末数学(文)参考答案(2015、07)
一、选择题:本卷共 8 题,每题 4 分,共 32 分 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分。 题号 答案 9 若 b ? M ,则 a ? M 10
0

11

12
?6

13

24 5

14 15

三、解答题:本大题共 4 个小题,共 48 分. (14) (本小题满分 10 分) 已知 P ? x | x2 ? 8x ? 20 ≤ 0 , S ? ?x |1 ? m ≤ x ≤1 ? m? , (Ⅰ)是否存在实数 m ,使集合 P ? S ,若存在,求出 m 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使 x ? P 是 x ? S 的必要条件,若存在,求出 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)P={x|-2≤x≤10},--------------------2 分 ∵P=S,∴1-m=-2 1+m=10 ----------------------3 分 ∴m=3 且 m=9, ∴这样的 m 不存在----------------5 分 (Ⅱ)∵x∈P 是 x∈S 的必要不充分条件, ∴?

?

?

?1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? ?2 -------------------------9 分(解对一组 2 分) 或? ?1 ? m ? 10 ?1 ? m ? 10
解得:m≤3-----------------------------10 分

(15) (本小题满分 12 分)

ax2 ? 1 是奇函数( a , b, c 均为整数)且 f (1) ? 2 ; f (2) ? 3 bx ? c (Ⅰ)求 a , b, c 的值; (Ⅱ) x ? 0 时,用单调性定义判断 f ( x) 在的单调性.
设函数 f ( x) ? 解: (Ⅰ)由 f ( x) ?

ax 2 ? 1 是奇函数,由定义域关于原点对称得 c ? 0 .----------2 分 bx ? c



? a ?1 ?2 ① ? ? f (1) ? 2 ? b ?? ? ? f (2) ? 3 ? 4a ? 1 ? 3 ② ? ? 2b







a ? 2b ? 1 代 入 ② 得

2b ? 3 3 ? 0 ? 0 ? b ? ,------------------------------------------------------4 分 2b 2
又 a, b, c 是整数,得 b ? a ? 1 -----------------------------5 分

x2 ? 1 1 ? x? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x x
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? 1 1 x ?x 1 ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? 2 1 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 x1 x2

------------------8 分(作差—1 分,整理—2 分) 设 x1 ? x2 ? ?1 ,

x1 ? x2 ? 0 , 1 ?

1 ?0 x1 x2 --------------10 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ?1] 上单调递增;
同理,可证 f ( x ) 在 [?1, 0) 上单调递减. 故 当 x ? 0 , f ( x ) 在 (??, ?1] 上 单 调 递 增 , 在 [? 1 , 0 上) 单 调 递 减. (16) (本小题满分 12 分) 如图, AB 是⊙O 的直径,弦 BD 、 CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长 线于点 F .求证: (Ⅰ) A, D, E , F 四点共圆; (Ⅱ) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC 证明: (Ⅰ)连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,-----3 分F 又 EF⊥AB,∠EFA=90°,则 A、D、E、F 四点共圆,------------6 分 (Ⅱ)由(1)知,BD ? BE=BA ? BF.-----------------------8 分
A C
D

---------------------12 分

E D

O

B

E

F

A

O

B

又△ABC∽△AEF,∴

AB AC ,即 AB ? AF=AE ? AC. --------10 分 ? AE AF

∴ BE ? BD-AE ? AC =BA ? BF-AB ? AF =AB(BF-AF) =AB2. ---------12 分

(17) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c . (Ⅰ)若 f (?1) ? 0 ,试判断函数 f ( x) 零点的个数; (Ⅱ)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x) 同时满足以下条件: ①对任意 x ? R , f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,且 f ( x) ≥ 0 ;

1 ②对任意 x ? R 都有 0 ≤ f ( x) ? x ≤ ( x ? 1)2 .若存在,求出 a , b, c 的值;若不存 2 在,请说明理由.
(Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试证明:存在 x0 ? ? x1 , x2 ? ,

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? 成立. 2 解: (Ⅰ)∵f(-1)=0,∴a-b+c=0,则 b=a+c,--------------------------------------1 分 ∵⊿=b2-4ac=(a-c)2,∴当 a=c 时,⊿=0, 此函数 f(x)有一个零点; 当 a≠c 时,⊿>0.函数 f(x)有两个零点.------------------------------------4 分
使 f ( x0 ) ? (Ⅱ)假设 a,b,c 存在,由(Ⅰ)可知抛物线的对称轴为 x ? ?1 ,∴-

b =-1,即 b=2a, 2a

①- ------------------------------5 分

1 由②可知对任意的 x∈R,都有对任意 x ? R 都有 0 ≤ f ( x) ? x ≤ ( x ? 1)2 .,令 x=1, 2 得 0≤f(1)-1≤0,---------------------------------------------6 分 所以,f(1)=1,即 a+b+c=1 ②--------------------------------------7 分
又因为 f(x)-x≥0 恒成立, 2 2 ∴a>0(b-1) -4ac≤0 即(a-c) ≤0,∴a=c,③ -----------------8 分

1 1 ,b= 4 2 1 2 1 1 所以 f(x)= x + x + ,经检验 a,b,c 的值符合条件.----------------9 分 4 2 4 1 (Ⅲ)令 g(x)=f(x)- ,则 2
由①②③得 a=c=

1 1 = --------------11 分 2 2 1 g(x2)=f(x2)2 1 = {f(x2)-f(x1)},因为 f(x1)≠f(x2) 2
g(x1)=f(x1)所以,g(x1)g(x2)<0, 所以 g(x)=0 在(x1,x2)内必有一个实根, ------------------------13 分 即存在 x0∈(x1,x2)使 f(x0)=

1 成立.------------------14 分 2

哈老师: 第 1、6、12、14、17 题答案有误,已分别在题目旁用文 本框标注,其它题没有问题。


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