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三角函数——高中数学基础知识与典型例题


数学基础知识与典型例题 三角函数

1.三角函数定义:利用直角坐标系,可以把直角三角 例 3.已知角?的终边经 形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 ? 终边上 过 P(4,?3), 求 任 取 一 点 P( x, y) ( 与 原 点 不 重 合 ), 记 2sin?+cos?的值.
r ?| OP |? x 2 ? y 2 ,

三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表

三 角 函 数 的 定 义
1.①与 ? (0° ? <360° ≤ )终边相同的角的集合 (角 ? 与角 ? 的终边重合): ? | ? ? k ? 360? ? ? , k ? Z ;

则 sin ? ? y , cos ? ? x , tan ? ? y , cot ? ? x 。
r
r
x
y

角 的 概 念

例 1.已知 2 弧度的圆心 角所对的弦长为 2,那么 ? 这个圆心角所对的弧长 ③终边在 y 轴上的角的集合: 为( ) ( A)2 ?? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ?; ( B)sin 2 ④终边在坐标轴上的角的集合: ?? | ? ? k ? 90? , k ? Z ?. 2 2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? =2 = (C ) 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ sin1 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角 ( D)2sin1 的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 1 3.弧度制下,扇形弧长公式 ? ? ? r ,扇形面积公 2 例 2. 已知 ? 为第三象 1 1 2 式 S ? ?R ? R | ? | ,其中 ? 为弧所对圆心角的弧 限角,则 ? 所在的象限 2 2 2 度数。 是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限

? ? ②终边在 x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180 , k ? Z ? ;

注: ⑴三角函数值只与角 ? 的终边的位置有关,由 角 ? 的大小唯一确定,? 三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: k? k? ? 90 ?? ? ? 或 ?? ?? ①诱导公式:即 2 2 之间函数值关系 (k ? Z ) ,其规律是“奇变偶不变, 符号看象限” ;如 sin(270? ? ? ) ? ? cos? ②同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商 数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各 种三角函数值的一种图示方法.如单位圆 正弦线:MP ; 余弦线:OM ; 正切线:AT

例 4.若 ? 是第三象限 角,且 cos 则

?

? ? cos , 2 2

?

? 是( ) 2 ( A) 第一象限角 ( B ) 第二象限角 (C ) 第三象限角 ( D) 第四象限角

2. 各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦,三切四余弦

例 5. 若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限 是( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

sin ? ?

y r

cos ? ?

x r

x y tan ? ? , cot ? ? x y

30 、 、 、 45 60 90

?

?

?

?

的三角函数值
6? 4 2

(纵坐标 y 的符号) (横坐标 x 的符号) 三角函数的公式: (一)基本关系

sin15? ? cos 75? ?

, sin 75? ? cos15? ?

6? 4

2



6.







tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3

1 ? sin 2 440?

三 角 函 数 公 式

公式组二 ( k ? Z )

sin(2k? ? x) ? sin x, cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x, cot(2k? ? x) ? cot x
tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x
公式组五

公式组三

sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x
公式组四

例 7.已知 tanα,tanβ 是 方程 x2 ? 3 3x ? 4 ? 0 两 根,且 α,β ? (? , 则 α+β 等于(
2 (A) ? ? 3 2 ? (B) ? ? 或 3 3 ? 2 (C) ? 或 ? 3 3 ? (D) 3
? ? ), 2 2

sin( ? x) ? ? sin x ? tan( ? x) ? tan x ? cot( ? x) ? cot x ?

sin( ? ? x ) ? ? sin x 2 cos(2? ? x ) ? cos x tan(2? ? x ) ? ? tan x cot(2? ? x ) ? ? cot x

)

cos( ? x) ? ? cos x ?

三 角 函 数 公 式

公式组六

sin(? ? x) ? sin x tan(? ? x) ? ? tan x cos(? ? x) ? ? cos x cot(? ? x) ? ? cot x
cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?

(二)两角和与差公式 公式组一

tan(? ? ? ) ?
公式组二:

tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2 2 2 2

例 8. tan 15? ? cot 15? 的 值是( ) (A)2 (B)2+ 3 (C)4 (D)
4 3 3

注: ⑴以上公式务必要知道其变化形式,从而清晰 地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式. 如 tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? tan ? ? tan ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? cos 2 ? ,sin 2 ? 等. 2 2 2 2 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研 究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ①常值代换: 特别是用 “1” 的代换, 1=cos2θ +sin2 如 θ =tanx·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。 如分拆项: sin2 x ? 2cos2 x ? (sin2 x ? cos2 x) ? cos2 x ? 1? cos2 x ; 配凑角(常用角变换): 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? 、? ? 、 2 2 2 2 ? ? (? ? ? ) ? ? 等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函 数基本关系化成弦(切) 。

? 例 9. 设 ? ? (0, ) , 若 2 3 ? sin ? ? , 则 2 cos(? ? ) = 5 4 ( ) 7 1 (A) (B) 5 5 7 (C) (D)4 2 例 10. sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? ( ) 1 1 3 3 ( A) ? ( B ) (C) ? ( D) 2 2 2 2 例 11. 求 下 列 各 式 的
值:⑴
1 ? tan 75? 1 ? tan 75?

;

⑵tan17?+tan28?+tan17?tan28?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?

例 12.已知 ? 为锐角, 且 1 tan ? ? , 求 2 ⑤引入辅助角。 asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ), sin 2? cos ? ? sin ? 的值. sin 2? cos 2? 这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的 b 值由 tan ? = 确定。 a

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?

sin

?
2

??

1 ? cos? 2

? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos? tan 2 ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? sin ? cos ? ? , 2 2

?

sin(? ? ) 15 4 例 13. 已知 α 为第二象限角,且 sinα= 的值. ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

?

公式组三

1 1 1 cos( ? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? sin ? sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 2 2 , , 1 1 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? tan( ? ? ? ) ? cot ? tan( ? ? ? ) ? ? cot ? 2 2 2 , ,
常用数据:

三 sin 2a ? cos2 ? ? 1 例 14. 已知 tan( ? ? ) ? , (1)求 tan ? 的值; (2)求 的值 角 4 2 1 ? cos 2? 函 数 公

新疆

王新敞
奎屯



例 15. 已知 sin ? ? 2 cos ? , ⑴求

sin ? ? 4cos ? 的值; ⑵求sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 的值. 5sin ? ? 2cos ?



? 3? [ ? 2 k? , ? 2 k? ] 2 2 上为减函数.
(k?Z )

上为增函数; 上为减函数. (k?Z )

5 例 16. 已知 sin ? ? cos ? ? ? ,求 sin ? cos ?的值. 4

? 3 ? ? ? 2k? ? 2 ? ? 2k? ? 2 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? 上为减函数( k ? Z )
y ? cot x

y ? tan x

例 17. 已知锐角 ?,? 满足 cos?= 3 ,cos(?+?)= ? 5 ,求 cos?. 13 5 三 ? 1 1 角 例 18. 已知 2 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? = ? 3 ,tan? = ? 7 ,求 2? + ?. 函 数 公 式 3 5 例 19. 在△ABC 中,已知 cosA = ,sinB = ,则 cosC 的值为( ) 5 13 16 56 16 56 16 (A) (B) (C) 或 (D) ? 65 65 65 65 65 2 例 20. 若关于 x 的方程 2cos (? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范 围。 三 角 函 数

定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R

R

?

?

奇函数
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

奇函数 上为增函

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函数( k ? Z )

数( k ? Z ) 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象. .......... 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质以函数 y ? sin x 为基础,通过图像变 换来把握.如① y ? sin x ①的单调增区间 ? ?
?
图例变化为 ???? ② y ? A sin(? x ? ? ) (A>0, ? >0)相应地, ?
变为 ??? ?

?
2

? ? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?
?
2

? 2 k? ≤ ? x ? ? ≤

? 2k? 的解集是②的增区间.
2?

? 注:⑴ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?

?

;

三角函数的性质:

y ? sin x 定义 R 域 值域 [?1,1]

y ? cos x

? y ? A sin??x ? ?(A、 >0) ?
R

⑵ y ? sin(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

R
[?1,1]

(k?Z ) ,对称中心 (k? , 0) ; 2 y ? cos(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) ,对称中心 (k? ? 1 ? , 0) ;
2

?

三 角 函 数

周期 2 性 奇 偶 奇函数 性
2 2 上为增函数; [?

?

2?
偶函数

?? A, A?
2?

k? y ? tan( x ? ? ) 的对称中心( ,0 ). ? 2
? 2

?
当 ? ? 0, 非 奇 非 偶 , 当 ? ? 0, 奇函数

例 21.下列函数中, (0, ) 既是 上的增函数, 又是以π 为周期的偶函数是( (A)y=lgx2 例 22.函数 y ? sin (B)y=|sinx|
x 的最小正周期是( 2

)

(C)y=cosx )

(D)y= 2 sin 2 x

?

? 2 k? ,

?

? 2 k? ]

[? 2k ?1? ? , 2k? ]
上为增函数;

单调

[2k? , ? 2k ?1? ? ]

? 1 ? ? ? 2k? ? 2 ? ? 2k? ? 2 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ?

? 三 (A) (B) ? (C) 2? (D) 4? 2 角 ? 函 例 23. 函数 y ? 2 sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是( ) 6 数

(A) [0,

?
3

]

(B) [

?
12

,

? ? 2 例 24.函数 y ? 2 cos( x ? )( ≤ x ≤ ? ) 的最小值是( 3 6 3 ( A) ? 2 (C ) ? 1 ( B) ? 3

7? ] 12

? 5? ] (C) [ , 3 6

(D) [ )

5? , ?] 6

⑶判断它的奇偶性;

⑷判断它的周期性.

( D)1

? 例 25. 为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象, 可以将函数 y ? cos 2 x 的图象 ( ) 6 ? ? (A)向右平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 6 3 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度 6 3 例 26. 若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是 三 ( ) 角 (A) ? ? 1, ? ? ? (B) ? ? 1, ? ? ? ? (C) ? ? 1 , ? ? ? (D) ? ? 1 , ? ? ? ? 3 3 2 6 2 6 函 数

例 33. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

5 3 (x∈R) 2

⑴求 f(x)的最小正周期;⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。

三 角 函 数

例 27. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____. 例 28.将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,纵坐标不 ? 变,再把所得图象上所有点向左平移 个单位,所得图象的解析式是 3 __________________. ? 例 29. 函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[ 0, ]的最小值为______. 2 1 例 30.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 . 2 例 31.
? ? 5? 已知 x ? ?0, ? ,求函数 y ? cos( ? x) ? cos( ? x) 的值域 ? 2? 12 12 ? ?

1 ? 例 34. 求函数 f (x)= log 1 cos( x ? ) 的单调递增区间 3 4 2

例 32.已知函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x)
2

⑴求它的定义域和值域;

⑵求它的单调区间;

? ? ?? 反 三 角 函 数 符 号 的 运 用 : arcsin a ? ? ? , ? 、 arccos a ??0, ? ? 、 反 ? 2 2? 三 ? ? arc tan a ? ( ? , ) 角 2 2 函 注意:反三角数符号只表示这个范围的角,其他范围的角需要用诱导公式变 ... 数 到这个范围. 1 ? 3 ? 例 35.适合 sin x ? ? , x ? ?? , ? ? 的角 x 是( ) 3 ? 2 ? 1 1 1 1 ( A) arc sin( ? ) ( B ) ? arc sin (C )2? ? arc sin(? ) ( D)? ? arc sin( ? ) 3 3 3 3

例 16.解:∵ (sin ? ? cos ?) 2 ? 25 ∴ 1 ? 2 sin ? cos ? ? 25 ,? sin ? cos ? ? ? 9 16 32 16
4 5 12 ,又∵cos(?+?)= ? <0 ,∴?+? 为钝角, ∴sin(?+?)= , 5 13 13 5 3 12 4 33 ∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?= ? ? ? ? ? (角变换技巧) 13 5 13 5 65

例 17. 解:∵cos?= ,∴sin?=

3 5

例 36.求 arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 的值.

数学基础知识与典型例题(第四章三角函数)答案

3 4 2 ,cos?= ,∴2sin?+cos?=? 5 5 5 ? ? ? ? 3? 例 4.B 解:∵ (2k ? 1)? ? ? ? (2k ? 1)? ? (k ? Z ) ,∴ k? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ,则 是第二或 2 2 2 2 4 ? ? ? ? ? 第四象限角,又∵ cos ? ? cos ,∴ cos ? 0 ,则 是第二或第三象限角,∴ 必为第二象限角 2 2 2 2 2
例 1.C 例 2.D 例 3. 由定义 : r ? 5 ,sin?=?
2 ? ? 2 ? 例 5.D 例 6. 解:原式 ? 1 ? sin (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 80 ?

tan2? ? tan? 2 tan ? 3 ? ? ,∴ tan(2? ? ?) ? ? ?1 ,又∵tan2? < 0,tan? < 0 , 2 4 1 ? tan ? 1 ? tan2? tan? ? 7? ∴ 3? ? 2? ? 2? , ? ? ? ? 0 , ∴ ? ? 2? ? ? ? 2? ,∴2? + ? = 2 4 2 3 12 例 19. 解:∵C = ? ? (A + B) ,∴cosC = ? cos(A + B) 又∵A?(0, ?),∴sinA = 而 sinB = , 5 13 4 显然 sinA > sinB ∴A > B,即 B 必为锐角 , ∴ cosB = ,∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? 5
例 18. 解: tan 2? ? cosAcosB = 12 ? 3 ? 5 ? 4 ? 16
13 5 13 5 65

例 20. 解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0

即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0,∴

cos 2 80 ? ? cos 80 ?

17 1 17 ,∵? 1≤sinx≤1 ,∴ 当sin x ? ? 1 时, a min ? ? ; a ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? ) 2 ? 4 8 4 8

例 7. A 例 8.C 例 9.B 例 10.B 例 11. 解:⑴原式= ⑵ ∵
tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 ; 1 ? tan 45? tan 75? tan17? ? tan 28? , ∴ tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan(17? ? 28? ) ? 1 ? tan17? tan 28?

当sin x ? 1时,max ? 1, ∴a 的取值范围是[ ? a

17 , 1] 8

例 21.B 例 22.C 例 23.C 例 24.D 例 25.B 例 26.C 例 27. ? 例 28. y ? sin( ?

tan17?tan28?∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 例 12.解:∵ tan ? ? , ? 为锐角,∴ cos ? ?
sin(? ?

? 5? ? 例 31.解: y ? cos( ? x) ? cos( ? x) ? 2 cos( ? x) ,∵ x ? ?0, ? ? ,∴ ? ? ≤ ? ? x ≤ ? ,∴ ? 2? 12 12 3 6 3 3 ? ?
? 2 ? ? ?1 ? cos( ? x) ? ? ,1? ,∴函数 y 的值域是 ? , 2? 3 ?2 ? ? 2 ?

3 x ? ) 例 29.1 例 30. 4 2 6

1 2

2 sin 2? cos ? ? sin ? sin ? (2cos2 ? ?1) 1 5 ∴ ? ? ? sin 2? cos2? 2sin ? cos ? cos2? 2cos ? 4 5

2 (sin? ? cos? ) 4 2 例 13.解: ? sin 2? ? cos2? ? 1 2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? )

?

2 (sin? ? cos? ) ? . 当 ? 为第二象限角, 4 cos? (sin? ? cos? )
?

例 32. 解(1)x 必须满足 sinx-cosx>0,利用单位圆中的三角函数线及 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5 ? ,
4 4

sin(? ? ) 1 2 4 且 sin ? ? 15 时, sin ? ? cos ? ? 0, cos ? ? ? ,所以 = ? ? 2. 4 4 sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos?

? 5 k ∈ Z ∴ 函 数 定 义 域 为 (2k? ? , 2k? ? ?) , k ∈ Z ∵ sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) ∴ 当 x ∈ 4 4 4
(2k? ?

?
4

? tan ? tan? 1 ? tan? 1 ,解得 tan ? ? ? 1 例 14. 解(1) :由 tan(? ? ? ) ? 4 ? ? 3 ? 4 1 ? tan? 2 1 ? tan tan? 4 1 1 1 5 sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos ? (2) ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 3 2 6 1 ? cos2? 1 ? 2 cos ? ? 1
例 15. 解: ? sin ? ? 2cos ? ,? tan ? ? 2 ∴⑴
sin ? ? cos ?

? 5 , 2k? ? ? ) 时, 0 ? sin( x ? ) ≤ 1 ∴ 0 ? sin x ? cos x ≤ 2 ∴ y ≥ log 1 4 4 2

1 2 ? ? ∴ 函数值域 2

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6
4 ?1 5

2 2 ⑵ sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? sin ? ? 2 sin ? cos? ? tan ? ? 2 tan? ? 4 ? 2 ? 6 2 2 2

tan ? ? 1

1 (3)∵ f ( x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴ f ( x) 不具备奇偶性 , ?? ) 2 (4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符 号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分 sinx+cosx 的符号 ? 5 5 11 例 33. (1)T=π (2)增区间[kπ - ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12 k? ? k 5 (3)对称中心( ,对称轴 x ? ? ? ? ,k∈Z ? ,0) 2 12 2 6
为[ ?

例 34. 解: (x)= log 1 cos( x ? ∵f
2

1 3

?
4

) 令 t ? 1 x ? ? ,∴y= log
3 4

1 2

cos t ,t 是 x 的增函数,又∵0<

1 <1, 2

? (k?Z),∴2k?≤ 2 2 1 ? ? 3? 3? 1 ? (k?Z) ,6k?≤x<6k?+ (k?Z),∴f (x)= log1 cos( x ? ) 的单调递减区间 x ? <2k?+ 2 4 4 3 4 3 4 2 3? 3? 是[6k?,6k?+ ) (k?Z) 4 4
∴当 y= log 1 cos t 为单调递增时,cost 为单调递减 且 cost>0,∴2k?≤t<2k?+

? ? ? ? ? , ? ??? ?, 4 2 4 2 3? ? tan? ? tan? 2?3 ? ∴ tan(? ? ?) ? ,又 arctan1 = , ? ? ?1,而 ? ? ? ? ? ? ,∴? + ? = 4 4 2 1 ? tan? tan? 1 ? 2 ? 3 ∴ arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 = ?
例 35.D 例 36. 解: arctan2 = ?, arctan3 = ? ,则 tan? = 2, tan? = 3,且


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