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4-简单的逻辑联结词

1.3 简单的逻辑联结词

教材分析
本节内容是数学选修 2-1 第一章 常用逻辑用语 的第三节,是在学习了前两节 命题及其关系、充分条 件与必要条件 的知识后,对常用逻辑用语的再学习,可以看作是对前面学习过的两节内容的延续,要求特别 注重学生思维的严密性品质的培养.本课题的重点是通过数学实例,了解逻辑联结词“且、或、非”的含义, 使学生能正确地表述相关数学内容,难点是正确理解命题“ p ? q ”“ p ? q ”“ ? p ”真假的规定和判定, 简洁、准确地表述命题“ p ? q ”“ p ? q ”“ ? p ”.通过数学实例,可以很好地培养学生分析问题、解决 问题的能力,能给学生提供更多的机会从实际问题中学习“且、或、非”的用法,体会运用逻辑用语表述数 学内容的准确性和简洁性,避免学生对这三个常用逻辑联结词的含义和用法的机械记忆和抽象解释.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解命题“ p ? q ”,“ p ? q ”,“ ? p ”真假的规定和判定以及 如何准确表述.

教学目标
重点: 通过数学实例,了解逻辑联结词“且、或、非”的含义,使学生能正确地表述相关数学内容. 难点: 正确理解命题 “ p ? q” , “ p? q” , “ ?p ” 真假的规定和判定, 简洁、 准确地表述命题 “ p ?q” , “ p ? q ”,“ ? p ”. 知识点:命题“ p ? q ”,“ p ? q ”,“ ? p ”. 能力点:正确理解逻辑联结词“且、或、非”的含义. 教育点:通过大量的数学实例,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:如何理解“且、或、非”联结两个命题可以得到一个新命题. 考试点:命题“ p ? q ”“ p ? q ”“ ? p ”真假的规定和判定. 易错易混点:“或”命题容易和日常生活中的“或”相混淆. 拓展点:利用命题真假求参数范围.

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多媒体课件 学案导学

一、 引入新课
当今社会中,人们从事任何工作、学习,都离不开逻辑.具有一定的逻辑知识是构成一个公民的文化素 质的重要方面.数学的特点是逻辑性强,特别是进入高中以后,所学的数学比初中更强调逻辑性.如果不学习 一定的逻辑知识,将会在我们学习的过程中不知不觉地犯逻辑性的错误.其实,同学们在初中已经开始接触一 些简易逻辑的知识. 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且、或、非”,在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达 的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同.下面介绍数学中使用联结词“且、或、非”联结命题时的含义 和用法. 为叙述简便,今后常用小写字母 p , q , r , s 表示命题.

二、探究新知
问题 1:下列各组命题中,几个命题间有什么关系?
1

(1)①12 能被 3 整除;②12 能被 4 整除;③12 能被 3 整除且能被 4 整除. (2)①27 是 7 的倍数 ;②27 是 9 的倍数 ;③27 是 7 的倍数或是 9 的倍数 . (3)①方程 x ? x ? 1 ? 0 有实数根;②方程 x ? x ? 1 ? 0 无实数根.
2 2

问题 2:以前我们有没有学习过像这样用联结词连接的命题?试举一些例子? 【教师分析】学生容易看到,在第(1)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新 命题;在第(2)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题;在第(3)组命题 中,命题②是命题①的否定. 【设计意图】 通过具体数学实例引入逻辑联结词,易引发学生的学习兴趣.引导学生思考、讨论,目的是 引出逻辑联结词“且、或、非”,让学生较轻松地感受到用逻辑联结词联结两个命题可以得到一个新命题的认 识. 【设计说明】在分析(1) (2) (3)的基本组成及关系以后,便板书其概念,步步为营! (1)一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作

p?q
读作“ p且q ” . (2)一般地,用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作

p?q
读作“ p或q ” . 【师生活动】 由上面的第(1) (2)问,教师提出问题:命题“ p且q ”与命题“ p或q ”中的“且”字与“或”字和下 面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗? 生:不相同. 师:定义中的“且”字与“或”字和两个命题中的“且”字与“或”字的含义是类似.但这里的逻辑联结 词“且”与日常生活中的“和” , “并且” , “以及” , “既…又…”等相当,表明前后两者同时兼有,同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中的“或”的含义不同,例如: “你去或我去” ,理解上是排斥你我都去这种可能. 师:符号“ ? ”和“ ? ”与以前学的那些知识类似? 生:符号“ ? ”与“ ”开口都是向下,符号“ ? ”与“ ”开口都是向上. 师:注意: “ p且q ” , “ p或q ” ,命题中的“ p ” , “ q ”是两个命题,而原命题、逆命题、逆否命题中 的“ p ” , “ q ”是一个命题的条件和结论两个部分. 【设计意图】先讲解联结词“且” “或” ,注意与生活中的联结词相区分,有意识与所学过的知识对比, 便于掌握. (3)一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作

?p
读作“ 非p ”或“ p的否定 ” 师:命题的否定与原命题的否命题有什么区别? 生:命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定. 师:在写命题的否定与否命题时应分清命题的条件和结论. 【教师分析】 “等于”的否定语是“不等于” ; “大于”的否定语是“小于或等于” ; “是”的否定语是“不 是” ; “都是”的否定语是“不都是” ; “至多有一个”的否定语是“至少有两个” ; “至少有一个”的否定语 是“一个都没有” .
2

【设计意图】针对学生易混淆的概念,要重点强调,简单归纳常见词语的否定.培养学生的归纳能力. 命题“ p ? q ”,“ p ? q ”,“ ? p ”真假的规定:

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假
表1

p?q
真 假 假 假

p
真 真 假 假
表2

q
真 假 真 假

p?q
真 真 真 假

p
真 假
表3

?p
假 真

三、理解新知
本节课是学生第一次系统地学逻辑联结词的含义和用法,通过数学实例,正确理解“且” , “或” , “非”的 含义,会简洁、准确地表述命题“ p ? q ” , “ p? q” , “ ?p ” ;理解命题“ p ? q ” , “ p? q” , “ ? p ”真假的 规定,口诀: “全真才真,一假则假” , “全假才假,一真则真” , “真假相反” . [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假: (1) p :平行四边形的对角线互相平分, q :平行四边形的对角线相等; (2) p :菱形的对角线互相垂直, q :菱形的对角线互相平分; (3) p :35 是 15 的倍数, q :35 是 7 的倍数. 解: (1) p ? q :平行四边形的对角线互相且相等. 由于 p 是真命题, q 是假命题,所以 p ? q 是假命题. (2) p ? q :菱形的对角线互相垂直且平分. 由于 p 是真命题, q 是真命题,所以 p ? q 是真命题. (3) p ? q :35 是 15 的倍数且是 7 的倍数. 由于 p 是假命题, q 是真命题,所以 p ? q 是假命题. [设计意图] 通过本例题可以让学生认识到三个方面:一是简洁表示命题;二是体会常用逻辑用语表述数 学内容的准确性;三是根据“且”的含义,确定 p ? q 的真假. 例2 用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假: (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 和 3 都是素数. 解: (1)命题: “1 既是奇数,又是素数”可以改写为: “1 是奇数且 1 是素数” ,假命题. (2)命题: “2 和 3 都是素数”可以改写为: “2 是素数且 3 是素数” ,真命题 . [设计意图] 如何用“且”改写一些数学命题,并确定其真假.学生认识到,数学中有些命题可以改写成命 题 p ? q 的形式,从而原命题的真假可以通过命题 p 与 q 的真假来确定,便于学生全面的认识概念, 提高理 解、运用知识的能力. 例3 判断下列命题的真假: (1) 2 ? 2 ; (2)集合 A 是 A B 的子集或是 A

B 的子集;

(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.

[设计意图] 本例介绍如何判定用“或”联结两个命题后得到的新命题 p ? q 的真假.目的是使学生会根据 “或”的含义,确定新命题 p ? q 的真假.
3

例4

写出下列命题的否定,并判断它们的真假:

(1) p : y ? sin x 是周期函数; (2) p : 3 ? 2 ; (3) p :空集是集合 A 的子集.

[设计意图]使学生会写出一个已知命题的否定,掌握一些基本规律;会根据表 3 确定一个命题的否定的真 假性.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:命题“ p ? q ”,“ p ? q ”,“ ? p ”的含义;命题“ p ? q ”,“ p ? q ”,“ ? p ”的真假 判断. 2.思想:归纳概括思想. 教师总结: 概念的推导过程用到了前面所学过的知识,提醒学生: 在学习新知时,也要经常复习前面学过 的内容,“温故而知新” .在应用中增强对知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加 强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. [设计意图] 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业
1.阅读教材 P14—17; 2.书面作业 必做题:P18 习题 1. 3 A 组 1,2,3. 选做题:已知 p :函数 y ? x2 ? mx ? 1 在 (?1, ??) 上单调递增, q :函数 y ? 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1大于零 恒成立.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围. 思考: [设计意图]设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是为 了让学生能够正确理解逻辑联结词的含义,会用所学的知识处理简单的数学问题;选做题的安排,是让学生理 解知识之间的联系,从而让学生深刻地体会到《常用逻辑用语》一章的主线,培养学生用整体的观点看问题, 起到承上启下的作用.

七、教后反思
1.本教案的亮点是概念的推导.在例 1 的教学中,让学生回答命题各种不同说法,从而归纳出简洁,合理的 命题形式.例 3、例 4 既注重了与原问题的联系,又在不知不觉中提高了难度,提高了学生的解题能力. 2.由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须在概念含义的理解上下足功夫. 3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性地诊 断与分析.

4

八、板书设计
1、3 简单的逻辑联结词 例1 引例: 例2 定义: 例3 真值表格 例4

5



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