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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 12.3 算法与程序框图


§ 12.3

算法与程序框图

1.算法与程序框图 (1)算法 ①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. ②应用:算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (2)程序框图 定义:程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 2.三种基本逻辑结构 名称 内容 顺序结构 条件结构 算法的流程根据条件是 否成立有不同的流向, 条 件结构就是处理这种过 程的结构 循环结构 从某处开始, 按照一定的 条件反复执行某些步骤 的结构, 反复执行的步骤 称为循环体

由若干个依次执行的步 定义 骤组成, 这是任何一个算 法都离不开的基本结构

程序框图

3.算法语句 (1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 输出语句 一般格式 INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”; 表达式 功能 输入信息 输出常量、变量的值和系统信息

-1-

赋值语句 (2)条件语句

变量=表达式

将表达式所代表的值赋给变量

①程序框图中的条件结构与条件语句相对应. ②条件语句的格式 a.IF—THEN 格式 IF 条件 THEN

语句体 END IF b.IF—THEN—ELSE 格式 IF 条件 THEN

语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF (3)循环语句 ①程序框图中的循环结构与循环语句相对应. ②循环语句的格式 a.UNTIL 语句 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 WEND b.WHILE 语句 WHILE 条件 循环体

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)算法只能解决一个问题,不能重复使用.( × )

(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定.( × ) (3)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框.( × ) (4)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.( √ ) (5)5=x 是赋值语句.( × ) (6)输入语句可以同时给多个变量赋值.( √ )

1.已知一个算法: (1)m=a.

-2-

(2)如果 b<m,则 m=b,输出 m;否则执行第(3)步. (3)如果 c<m,则 m=c,输出 m. 如果 a=3,b=6,c=2,那么执行这个算法的结果是( A.3 B.6 C.2 D.m 答案 C 解析 当 a=3,b=6,c=2 时,依据算法设计, 本算法是求 a、b、c 三个数的最小值, 故输出 m 的值为 2,故选 C. 2.(2014· 课标全国Ⅰ)执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M 等 于( ) )

20 16 A. B. 3 5 答案 D

7 15 C. D. 2 8

1 3 3 解析 当 n=1 时,M=1+ = ,a=2,b= ; 2 2 2 2 8 3 8 当 n=2 时,M=2+ = ,a= ,b= ; 3 3 2 3 3 3 15 8 15 当 n=3 时,M= + = ,a= ,b= ; 2 8 8 3 8 15 当 n=4 时,终止循环.输出 M= . 8 3.如图,是求实数 x 的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填________________.

-3-

答案 x>0?(或 x≥0?) 解析
? ? ?x, x≥0, ?x,x>0, 由 于 |x| = ? 或 |x| = ? 故 根 据所 给 的程 序 框图 , 易 知可 填 ?-x,x<0 ?-x,x≤0, ? ?

“x>0?”或“x≥0?”. 4.(2013· 山东)执行下面的程序框图,若输入的 ε 的值为 0.25,则输出的 n 的值为________.

答案 3 解析 第一次循环:F1=3,F0=2,n=2; 第二次循环:F1=5,F0=3,n=3. 1 1 1 此时 = =0.2 满足 ≤ε=0.25, F1 5 F1 故输出 n=3.

题型一 算法的顺序结构 例 1 f(x)=x2-2x-3.求 f(3)、f(-5)、f(5),并计算 f(3)+f(-5)+f(5)的值.设计出解决该问题

-4-

的一个算法,并画出程序框图. 解 算法如下: 第一步,令 x=3. 第二步,把 x=3 代入 y1=x2-2x-3. 第三步,令 x=-5. 第四步,把 x=-5 代入 y2=x2-2x-3. 第五步,令 x=5. 第六步,把 x=5 代入 y3=x2-2x-3. 第七步,把 y1,y2,y3 的值代入 y=y1+y2+y3. 第八步,输出 y1,y2,y3,y 的值. 该算法对应的程序框图如图所示:

思维升华

(1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的

顺序进行的. (2)解决此类问题,只需分清运算步骤,赋值量及其范围进行逐步运算即可. 如图所示的程序框图,根据该图和下列各小题的条件回答下面 的几个小题. (1)该程序框图解决的是一个什么问题? (2)当输入的 x 的值为 0 和 4 时,输出的值相等,问当输入的 x 的值为 3 时, 输出的值为多大? (3)在(2)的条件下要想使输出的值最大,输入的 x 的值应为多大? 解 (1)该程序框图解决的是求二次函数 f(x)=-x2+mx 的函数值的问题; (2)当输入的 x 的值为 0 和 4 时,输出的值相等, 即 f(0)=f(4).

-5-

因为 f(0)=0,f(4)=-16+4m, 所以-16+4m=0, 所以 m=4,f(x)=-x2+4x. 则 f(3)=-32+4×3=3, 所以当输入的 x 的值为 3 时,输出的 f(x)的值为 3; (3)因为 f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, 当 x=2 时,f(x)最大值=4, 所以要想使输出的值最大,输入的 x 的值应为 2. 题型二 算法的条件结构 例 2 如图中 x1, x2, x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为该题的最终得分. 当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( )

A.11 B.10 C.8 D.7 思维点拨 依据第二个判断框的条件关系,判断是利用“x2=x3”,还是利用“x1=x3”,从

而验证 p 是否为 8.5. 答案 C 解析 x1=6,x2=9,|x1-x2|=3<2 不成立,即为“否”,所以再输入 x3;由绝对值的意义(一 个点到另一个点的距离)和不等式|x3-x1|<|x3-x2|知,点 x3 到点 x1 的距离小于点 x3 到点 x2 的距 x1+x3 6+x3 离, 所以当 x3<7.5 时, |x3-x1|<|x3-x2|成立, 即为“是”, 此时 x2=x3, 所以 p= , 即 2 2 =8.5,解得 x3=11>7.5,不合题意;当 x3>7.5 时,|x3-x1|<|x3-x2|不成立,即为“否”,此时 x3+x2 x3+9 x1=x3,所以 p= ,即 =8.5,解得 x3=8>7.5,符合题意,故选 C. 2 2 思维升华 (1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成

立的条件进行判断; (2)对条件结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执

-6-

行两个分支. (2014· 四川)执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最 大值为( )

A.0 C.2 答案 C

B.1 D.3

解析 当条件 x≥0,y≥0,x+y≤1 不成立时输出 S 的值为 1;当条件 x≥0,y≥0,x+y≤1 成立时 S=2x+y,下面用线性规划的方法求此时 S 的最大值.

x≥0, ? ? 作出不等式组?y≥0, ? ?x+y≤1

表示的平面区域如图中阴影部分,由图可知当直线 S=2x+y 经过点

M(1,0)时 S 最大,其最大值为 2×1+0=2,故输出 S 的最大值为 2. 题型三 算法的循环结构 例 3 (2014· 重庆)执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为( )

A.10 C.19

B.17 D.36

思维点拨 弄清循环顺序,分别计算第一,二,三次?循环所得 s,k 值.

-7-

答案 C 解析 开始 s=0,k=2; 第一次循环 s=2,k=3; 第二次循环 s=5,k=5; 第三次循环 s=10,k=9; 第四次循环 s=19,k=17, 不满足条件,退出循环,输出 s=19,故选 C. 思维升华 利用循环结构表示算法,第一要确定是利用当型还是直到型循环结构;第二准确

表示累计变量;第三要注意从哪一步开始循环.弄清进入或终止的循环条件、循环次数是做 题的关键. (2014· 北京)当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.7 B.42 C.210 D.840 答案 C 解析 程序框图的执行过程如下: m=7,n=3 时,m-n+1=5, k=m=7,S=1,S=1×7=7; k=k-1=6>5,S=6×7=42; k=k-1=5=5,S=5×42=210; k=k-1=4<5,输出 S=210.故选 C. 题型四 基本算法语句 例 4 阅读下面两个算法语句:

-8-

i=1 WHILE i=i+1 WEND PRINT “i=”;i END 图1 i=1 DO i=i+1 LOOP UNTIL i*?i+1?<20 PRINT “i=”;i END 图2 执行图 1 中语句的结果是输出________; 执行图 2 中语句的结果是输出________. 思维点拨 理解算法语句中两种循环语句的结构和作用是解题的关键. 答案 i=4 i=2 i*?i+1?<20

解析 执行语句 1,得到(i,i· (i+1))结果依次为(1,2),(2,6),(3,12),(4,20),故输出 i=4. 执行语句 2 的情况如下: i=1,i=i+1=2,i· (i+1)=6<20(是), 结束循环,输出 i=2. 思维升华 解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟

该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题. 设计一个计算 1×3×5×7×9×11×13 的算法.图中给出了程序的一部分,则在 横线上不能填入的数是( S=1 i=3 WHILE i< )

S=S×i i=i+2 WEND PRINT S END

-9-

A.13 B.13.5 C.14 D.14.5 答案 A 解析 当填 i<13 时,i 值顺次执行的结果是 5,7,9,11,当执行到 i=11 时,下次就是 i=13,这 时要结束循环,因此计算的结果是 1×3×5×7×9×11,故不能填 13,但填的数字只要超过 13 且不超过 15 均可保证最后一次循环时,得到的计算结果是 1×3×5×7×9×11×13.

变量的含义理解不准致误 典例:执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.2 B.4 C.8 D.16 易错分析 (1)读不懂程序框图把执行循环体的次数 n 误认为是变量 k 的值,没有注意到 k 的 初始值为 0. (2)对循环结构:①判断条件把握不准;②循环次数搞不清楚;③初始条件容易代错. 解析 当 k=0 时,满足 k<3,因此 S=1×20=1; 当 k=1 时,满足 k<3,则 S=1×21=2; 当 k=2 时,满足 k<3,则 S=2×22=8; 当 k=3 时,不满足 k<3,输出 S=8. 答案 C 温馨提醒 (1)要分清是当型循环结构还是直到型循环结构;要理解循环结构中各变量的具体

含义以及变化规律; (2)在处理含有循环结构的算法问题时,关键是确定循环的次数,循环中有哪些变量,且每一 次循环之后的变量 S、k 值都要被新的 S、k 值所替换.

方法与技巧 1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征:

- 10 -

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性. 2.在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论,只用顺序 结构就能解决;若所要解决的问题要分若干种情况讨论时,就必须引入选择结构;若所要解 决的问题要进行许多重复的步骤,且这些步骤之间又有相同的规律时,就必须引入变量,应 用循环结构. 失误与防范 1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同. 2.注意条件结构与循环结构的联系:对于循环结构有重复性,条件结构具有选择性没有重复 性,并且循环结构中必定包含一个条件结构,用于确定何时终止循环体. 3.循环语句有“直到型”与“当型”两种,要区别两者的异同,主要解决需要反复执行的任 务,用循环语句来编写程序. 4.关于赋值语句,有以下几点需要注意: (1)赋值号左边只能是变量名字,而不是表达式,例如 3=m 是错误的. (2)赋值号左右不能对换,赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,例 如 Y=x,表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值,不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替 代变量 x 的值. (3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现多个“=”.

A 组 专项基础训练 (时间:25 分钟) 1.(2014· 福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于( )

A.18 C.21 答案 B

B.20 D.40

- 11 -

解析 由题意,得 S=0,n=1;S=0+2+1=3<15,n=2;S=3+22+2=9<15,n=3;S=9 +23+3=20,n=4,因为 20≥15,因此输出 S.故选 B. 2. (2013· 重庆)执行如图所示的程序框图, 如果输出 s=3, 那么判断框内应填入的条件是( )

A.k≤6? C.k≤8? 答案 B

B.k≤7? D.k≤9?

解析 当 k=2 时,s=log23,当 k=3 时,s=log23· log34,当 k=4 时,s=log23· log34· log45.由 lg?k+1? lg 3 lg 4 lg 5 s=3,得 × × ×?× =3,即 lg(k+1)=3lg 2,所以 k=7.再循环时,k=7+1 lg 2 lg 3 lg 4 lg k =8,此时输出 s,因此判断框内应填入“k≤7?”.故选 B. 3.(2013· 安徽)如图所示,程序框图的输出结果为( )

3 1 11 25 A. B. C. D. 4 6 12 24 答案 C 解析 赋值 S=0,n=2 进入循环体:检验 n=2<8, 1 1 S=0+ = , 2 2 n=2+2=4;
- 12 -

检验 n<8, 1 1 3 S= + = , 2 4 4 n=4+2=6; 检验 n<8, 3 1 11 S= + = , 4 6 12 n=6+2=8, 检验 n=8,脱离循环体, 11 输出 S= . 12 4.(2013· 重庆)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值是( )

A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 由题意,得 k=1 时,s=1;k=2 时,s=1+1=2;k=3 时,s=2+4=6;k=4 时,s =6+9=15;k=5 时,s=15+16=31>15,此时输出 k 值为 5. 5.(2014· 湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 属于( )

A.[-6,-2] C.[-4,5] 答案 D

B.[-5,-1] D.[-3,6]

解析 由程序框图知,当 0≤t≤2 时,输出 S=t-3,此时 S∈[-3,-1];当-2≤t<0 时,执 行 t=2t2+1 后 1<t≤9,执行 1<t≤9 时,输出 S=t-3,此时 S∈(-2,6].因此输出 S 的值属
- 13 -

于[-3,6]. 6.运行如下所示的程序,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值为________. INPUT a,b IF a>b m=a ELSE m=b END IF PRINT m END 答案 3 解析 ∵a=2,b=3,∴a<b,应把 b 值赋给 m,∴m 的值为 3. 7.(2013· 湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=________. THEN

答案 5 解析 第一次循环:a=5,i=2;第二次循环:a=16,i=3;第三次循环:a=8,i=4;第四 次循环:a=4,i=5,循环终止,输出 i=5. 8.(2013· 浙江)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于________.

- 14 -

答案

9 5

解析 当 k=5 时,输出 S. 1 1 1 1 此时,S=1+ + + + 1×2 2×3 3×4 4×5 1 1 1 1 1 1 1 =1+1- + - + - + - 2 2 3 3 4 4 5 1 9 =2- = . 5 5 9.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值是 ________.

答案 0,1,3 解析 根据题意,本程序框图表示分段函数:

? ?2x-3,2<x≤5, y=? 1 ? ?x,x>5,
由于输入的 x 值与输出的 y 值相等, 由 x2=x 解得 x=0 或 x=1,都满足 x≤2; 由 x=2x-3 解得 x=3,也满足 2<x≤5; 1 由 =x 解得 x=± 1,不在 x>5 内,舍去. x 可见满足条件的 x 共三个:0,1,3. 10.执行下边的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=________.

x2,x≤2,

答案 4
- 15 -

1 解析 第一次,S= ,n=2; 2 1 1 第二次,S= + ,n=3; 2 4 1 1 1 第三次,S= + + ,n=4. 2 4 8 1 1 1 因为 S= + + >0.8,所以输出的 n=4. 2 4 8 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.(2013· 课标全国Ⅱ)执行下面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S 等于( )

1 1 1 A.1+ + + 2 3 4 1 1 1 B.1+ + + 2 3×2 4×3×2 1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5 1 1 1 1 D.1+ + + + 2 3×2 4×3×2 5×4×3×2 答案 B 1 1 解析 第一次循环,T=1,S=1,k=2;第二次循环,T= ,S=1+ ,k=3;第三次循环, 2 2 1 1 1 1 1 1 1 T= ,S=1+ + ,k=4,第四次循环,T= ,S=1+ + + ,k= 2 2×3 2 2×3 2×3×4 2×3 2×3×4 1 1 1 5,此时满足条件输出 S=1+ + + ,选 B. 2 2×3 2×3×4 π 3π 12.如图所示的程序框图中,令 a=tan θ,b=sin θ,c=cos θ,若在集合{θ|- <θ< 且 θ≠0, 4 4 π π , }中,给 θ 取一个值,输出的结果是 sin θ,则 θ 的值所在的范围是( 4 2 )

- 16 -

π A.(- ,0) 4 π π C.( , ) 4 2 答案 D

π B.(0, ) 4 π 3π D.( , ) 2 4

解析 依题意该程序为求解 a=tan θ,b=sin θ,c=cos θ 的最大值,
?sin θ>cos θ, ? π 3π 令? 所以 θ 的值所在范围是( , ). 2 4 ?sin θ>tan θ, ?

13.如图是求 12+22+32+?+1002 的值的程序框图,则正整数 n=________.

答案 100 解析 第一次判断执行后,i=2,s=12;第二次判断执行后,i=3,s=12+22,而题目要求计 算 12+22+?+1002,故 n=100. 14.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,第 i 次观测得到的数据为 ai,具体如下 表所示: i ai 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48

在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的程序框图(其中 a 是这 8 个数据的平均 数),则输出的 S 的值是________.

- 17 -

答案 7 解析 本题计算的是这 8 个数的方差,因为 40+41+43+43+44+46+47+48 a= =44, 8 所以 S= ?-4?2+?-3?2+?-1?2+?-1?2+02+22+32+42 =7. 8 15.如图所示,已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm, 腰长为 2 2cm,当一条垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从 B 点开始 由左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分, 令 BF=x(0≤x≤7),左边部分的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式,画出程序框图,并写 出程序. 解 过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G,H. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形, 底角是 45° ,AB=2 2 cm, ∴BG=AG=DH=HC=2 cm. 又 BC=7 cm,∴AD=GH=3 cm, x ?0≤x≤2?, ? ?2 ∴y=?2x-2 ?2<x≤5?, 1 ? ?-2?x-7? +10 ?5<x≤7?.
2 2

1

程序框图如下:

- 18 -

程序: INPUT“x=”;x IF x>=0 AND x<=2 THEN y=0.5 *x^2 ELSE IF x<=5 THEN y=2*x-2 ELSE y =-0.5*(x-7) ^2+10 END IF END IF PRINT y END

- 19 -



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