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山西大学附属中学2012-2013学年高二第二学期期中考试数学试题(文科)


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山西大学附属中学 2012-2013 学年高二第二学期期中考试

数学试题(文科)
考试时间:90 分钟 考查内容:1-2,导数, 4-5 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知 a>b>c,则下列各式中正确的是 A ac2>bc2 B ab>bc C 2a>2b>2c D ( )

1 1 1 ? ? a b c

2.已知不等式( x ? y ) ( A. 2 B.

1 a ? ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y
4 C. 6 D.8

3.设 a, b ? R ,i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 4. ( ) A (0, 不 等 式 log3|x -

b 为纯虚数”的( i
- 1 的



C.充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 解 集 是

1 3

|<

2 ) 3

B (

2 ,+∞) 3

C (0,

1 1 2 )∪( , ) 3 3 3

D (

1 , +∞) 3
( )

5.不等式 x ? 4 ? 3 ? x ? a 总有解时, a 的取值范围是 A. a >1 B.

1 < a <1 10

C.0< a ≤1

D. 0< a <

1 10
( )

6. 设 x 为实数,P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,则 P、Q 之间的大小关系是 A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D. P<Q

7.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式① log 2 a ? ?1② log 2 a ? log 2 b ? ?2 ③ log 2 (b ? a) ? 0 ④ log 2 ? A.①②

?b a? ? ? ? 1 ,其中一定成立的不等式的序号是 ?a b?
C.③④ D.①④





B.②③

8.设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (x) 满足:“当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推出
f (k ? 1) ≥ ( k ? 1) 成立”. 那么,下列命题总成立的是
2





A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100 成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立 C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立

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D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 9.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 | a | ?2 | b |
C.

( )

A.

2 5 15
2

B.

2 4

5 5

D.

2 2
( )

10.不等式 4 ? x ?

x x

? 0 的解集是

A C

?x x ? ? ?x x ? ?

5或x ? 5

? ?
2

B D

?x x ? 0?

5或 ? 3 ? x ? 0
3

?x x ? ?

5或 ? 3 ? x ? 0或x ? 0

?


11.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 在 x ? 2 处取得极值, m, n ? ? ?1,1? ,则 f (m) ? f ?(n) 的 若 最小值是 A. -13
2

( B.-15 C.10
'

D.15

12.设 f ( x) ? x ? bx ? c( x ? R) ,且满足 f ( x) ? f ( x) ? 0. 对任意正实数 a ,下面不等式恒 成立的是 ( ) A. f (a) ? e f (0)
a

B. f (a) ? e f (0)
a

C. f (a) ?

f (0) ea

D. f (a) ?

f (0) ea

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 6 分,满分 24 分;把正确的答案写在题中 的横线上。 13. 复数

2i 的虚部为________. 2 ? i3
2 2 2

14.若不等式 a ? 1 ? x ? 2 y ? 2 z ,对满足 x ? y ? z ? 1 的一切实数 x 、 y 、 z 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 15.已知|x+1| + |
2 2

. . .

1 x–1|≥a 的解集为 R,则实数 a 的最大值 2
2 2 2 2

16. a ? b ? 1, b ? c ? 2, c ? a ? 2, 则ab ? bc ? ca 的最小值为

三、解答题:本大题 5 个小题,共 66 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈ R ? ,且

18. (本小题满分 12 分)
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(1)求证: 3 1 ? a ? a
2

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2 2

?

4

? ? ?1 ? a ? a ?

(2)已知: a 2 ? b 2 ? 1 , m 2 ? n 2 ? 2 ,证明: ? 2 ? am ? bn ?

2

19. (本小题满分 14 分) 用数学归纳法证明,若 f(n)=1+ n∈N+). 20. (本小题满分 14 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1)sin213° +cos217° -sin13° cos17° 2 2 (2)sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° 2 2 (3)sin 18° +cos 12° -sin18° cos12° 2 2 (4)sin (-18° )+cos 48° sin(-18° )cos48° 2 2 (5)sin (-25° )+cos 55° sin(-25° )cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

1 1 1 + +…+ ,则 n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n· f(n)(n≥2,且 2 3 n

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2 (a ? R) x ?1

(1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 在 ?1,?? ? 上的最小值; (2)若 f (x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围.

数学试题(文科)答案
考试时间:90 分钟 考查内容:1-2,导数, 4-5 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知 a>b>c,则下列各式中正确的是 A ac2>bc2 B ab>bc C 2a>2b>2c D ( C )

1 1 1 ? ? a b c

2.已知不等式( x ? y ) ( ( B) A. 2

1 a ? ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y
4 C. 6 D.8

B.

3.设 a, b ? R ,i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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b 为纯虚数”的 i

( B )

C.充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

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4. 不等式 log3|x- A (0,

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(C ) D (

2 ) 3

1 |<-1 的解集是 3 2 1 1 2 B ( ,+∞) C (0, )∪( , ) 3 3 3 3

1 , +∞) 3
( A)

5.不等式 x ? 4 ? 3 ? x ? a 总有解时, a 的取值范围是 A. a >1 B.

1 < a <1 10

C.0< a ≤1

D. 0< a <

1 10
(A )

6. 设 x 为实数,P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,则 P、Q 之间的大小关系是 A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D. P<Q

7.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式① log 2 a ? ?1② log 2 a ? log 2 b ? ?2 ③ log 2 (b ? a) ? 0 ④ log 2 ? A.①②

?b a? ? ? ? 1 ,其中一定成立的不等式的序号是 ?a b?
C.③④ D.①④

( C )

B.②③

8.设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (x) 满足:“当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推出
f (k ? 1) ≥ ( k ? 1) 成立”. 那么,下列命题总成立的是
2

( D )

A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100 成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立 C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 9.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 | a | ?2 | b |
D.

(B )

A.

2 5 15
2

B.

2 4

C.

5 5

2 2
(D )

10.不等式 4 ? x ?

x x

? 0 的解集是

A C

?x x ? ? ?x x ? ?

5或x ? 5

? ?

B D

?x x ? 0?

5或 ? 3 ? x ? 0

?x x ? ?

5或 ? 3 ? x ? 0或x ? 0

?

3 2 11.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 在 x ? 2 处取得极值, m, n ? ? ?1,1? ,则 f (m) ? f ?(n) 的 若

最小值是 A. -13
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(A ) B.-15 C.10 D.15

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2

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'

12.设 f ( x) ? x ? bx ? c( x ? R) ,且满足 f ( x) ? f ( x) ? 0. 对任意正实数 a ,下面不等式恒 成立的是 ( D ) A. f (a) ? e f (0)
a

B. f (a) ? e f (0)
a

C. f (a) ?

f (0) ea

D. f (a) ?

f (0) ea

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 6 分,满分 24 分;把正确的答案写在题中 的横线上。 13. 复数

4 2i 的虚部为________. 3 5 2?i
2 2 2

14.若不等式 a ? 1 ? x ? 2 y ? 2 z ,对满足 x ? y ? z ? 1 的一切实数 x 、 y 、 z 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 15.已知|x+1| + |
2 2

. a ? 4或a ? ?2 .

1 x–1|≥a 的解集为 R,则实数 a 的最大值 2
2 2 2 2

3 2
.B

16. a ? b ? 1, b ? c ? 2, c ? a ? 2, 则ab ? bc ? ca 的最小值为

1 - 3 2

三、解答题:本大题 5 个小题,共 66 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈ R ? ,且

18.(1)求证: 3 1 ? a ? a
2

?

4

? ? ?1 ? a ? a ?
2 2

2 2

(2)已知: a ? b ? 1 , m ? n ? 2 ,证明: ? 2 ? am ? bn ? 略
2 2

2

19.用数学归纳法证明,若 f(n)=1+

1 1 1 + +…+ ,则 n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n· f(n)(n≥2,且 2 3 n

n∈N+). 思路解析:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=2+1=3, 右边=2· f(2)=2× (1+

1 )=3,左边=右边,等式成立. 2

(2)假设 n=k 时等式成立,即 k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k). 由已知条件可得 f(k+1)=f(k)+
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1 , k ?1

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右边=(k+1)· f(k+1)(先写出右边,便于左边对照变形). 当 n=k+1 时,左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =[k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)]+1+f(k)(凑成归纳假设) =kf(k)+1+f(k)(利用假设) =(k+1)· f(k)+1 =(k+1)· [f(k+1)-

1 ]+1 k ?1

=(k+1)· f(k+1)=右边. ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1) (2)可知,对一切 n≥2 的正整数等式都成立. 20. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1)sin213° +cos217° -sin13° cos17° 2 2 (2)sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° 2 2 (3)sin 18° +cos 12° -sin18° cos12° 2 2 (4)sin (-18° )+cos 48° sin(-18° )cos48° 2 2 (5)sin (-25° )+cos 55° sin(-25° )cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

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21.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2 (a ? R) x ?1

(3)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 在 ?1,?? ? 上的最小值;

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(4)若 f (x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ?

2 的定义域为 (0,??) x ?1

? f ' ( x) ?

1 2 x2 ?1 ? ? ?0 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? f (x) 在 ?1,?? ? 上是增函数, f min ( x) ? f (1) ? 1
(2)? f ' ( x) ?

a 2 ax2 ? 2(a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

? f (x) 存在单调递减区间? f ' ( x) ? 0 有正数解,即 ax2 ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有 x ? 0 的解
①当 a ? 0 时,明显成立 ②当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ? 1) x ? a 为开口向下的抛物线, ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 总有
2 2

x ? 0 的解
③当 a ? 0 时, y ? ax ? 2(a ? 1) x ? a 为开口向上的抛物线,即 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有
2 2

正根, 因为 x1 x2 =1>0, 所以方程 ax ? 2(a ? 1) x ? a ? 0 有正根 ?
2

?

? ?0 x1 ? x2 ? 0

, 解得 0 ? a ?

1 , 2

综上得 a ?

1 2

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