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南通市11月份九校联考数学试卷

南通市 11 月份九校联考数学试卷
学校 班级 姓名 . 学号

一、填空题: (本大题共 14 题,14×5 分=70 分) 1.若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 5(i 是虛数单位),则 z =

? 5 ? 0 的解集为 M ,若 5 ? M ,则实数 a 的取值范围是 2.已知关于 x 的不等式 ax x2 ? a 3.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 开始
输入 p

n ? 0, S ? 0
主视图 左视图

n? p




n ? n ?1

输出 S 结束

俯视图

S?S?

4.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,,则输出的 S ? 5.设 ? , ? 为互不重合的平面,m,n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n ;

1 2n

②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ;

③若 ? ? ? , ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;④若 m ? ? , ? ? ? , m // n, 则n // ? 其中所有正确命题的序号是 6.函数 y ? sin( x ?

?
3

)( x ? ?0, ? ? )的单调减区间是

. . . .

7.方程 lg x ? 8 ? 2 x 的根 x ? (k , k ? 1) , k ∈Z,则 k =

8.向量 a = (1,2),b = (x,1),c = a + b,d = a - b,若 c//d,则实数 x 的值等于 9.设奇函数 f ( x ) 满足:对 ?x ? R 有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 ,则 f (5) ? 10.在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比: 2 h a b 三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设棱

锥底面 ABC 上的高为 h ,则 11 . 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数

y ? a ? A cos[

?
6

( x ? 6)] ( x =1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,
℃.

为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为 12.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? 2bc ? a ,且
2 2

2

a ? 2, 则 b

∠C=



13.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为 14.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f (x)的图象恰好通过 k 个格点, 则称函数 f (x)为 k 阶格点函数.下列函数: ① f ( x) ? sin x ; ② f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 ; ③ f ( x ) ? ( ) ;④ f ( x) ? log0.6 x. 其中是一阶格点函数的有
x

1 3

(填上所有满足题意的序号) .

二、解答题: (本大题共 6 题共 90 分)
15.(本小题满分 14 分)
2 2 2 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x x ? (2m ? 3) x ? m ? 3m ? 0, m ? R

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? [2,4] ,求实数 m 的值; (2)设全集为 R,若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围。

16 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 A B C D ,

AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;
P E A B D

C

17 . (本小题满分 15 分)已知 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长分别为 a, b, c ,向量

1 m ? (sinB,1 ? cosB) 与向量 n ? (2,0) 夹角 ? 余弦值为 。 2 (1)求角 B 的大小; (2)?ABC 外接圆半径为 1,求 a ? c 范围

18.(本小题满分 15 分)如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花 板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离 (即OB) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1, A2,A3。点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B) ,同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接, 且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等。设细绳的总长为 ym。 (1)设∠CA1O = ? (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 ? ,当角θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长。

B C A1 A3 O A2

19. (本小题满分 16 分)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x2 ( x ? a) . (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最大值. (Ⅰ)若 f ' (1) ? 3 ,求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

20. (满分16分)已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意 x ? [0,1] ,总有

f ( x) ? 0 ; ( ) 1 ? ; ② f1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 , 则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.
(1) 求 f (0) 的值; (2) 函数 g ( x) ? 2 x ?1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明; (3) 假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] ,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0

南通市 11 月份九校联考数学试卷参考答案
一、填空题: (14×5 分=70 分)

1. z= 1 5. ①③



2. 6.

[1, 2 5 ]

3 3. π 2
3

4. S ? .8. 11. ①②④

7 8 1 2


[ ,? ] .7. k = 6 1 1 1 1 9. 0 .10. ? 2? 2? 2 2 h a b c 1 0 12.∠C= 105 .13. 14. e
(Ⅰ)∵ A ? [?2,4] , ∴ (Ⅱ)

?

20.5 ℃.

二、解答题: (14 分×2+14 分×2+15 分×2+16 分×2=90 分) 15.

B ? [m ? 3, m]
∴m ? 5

A ? B ? [2,4] ,

?m ? 3 ? 2 ? ?m ? 4

∵ A ? ?R B

CR B ? {x x ? m ? 3, 或x ? m}
∴ m ? ?2, 或m ? 3 ? 4 , ∴ m ? 7或m ? ?2

16. (1)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 故 PA ? CD .∵ AC ? CD,PA AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE . P (Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA . M ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(1)知, AE ? CD ,且 PC CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD . E 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD ,AB ? AD , A ∴ AB ? PD . B 又∵ AB AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE .

D

C

17.(1)

m ? 2sin

B B B (cos ,sin ) , n ? 2(1,0) , 2 2 2

m ? n ? 4sin
由 cos

B B B m?n B cos ? , | m |? 2sin , | n |? 2 ,? cos ? ? ? cos 2 2 2 2 | m|?| n |

B 1 B ? 2? ? , 0 ? ? ? ? 得 ? ,即 B ? 2 3 3 2 2

( 2)

B?

2? ? ,? A ? C ? 3 3

? sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? A) 3 ? sin A ? sin sin A 3 3 1 3 ? ? sin A ? cos A ? sin( ? A) 2 2 3
又0 ? A ?

?

?

cos A ? cos

?

?
3

,?

?
3

?

?
3

? A?

2? 3 ? ,? ? sin( ? A) ? 1 3 2 3

所以 sin A ? sin C ? (

3 ,1] 2

又 a ? c = 2 R sin A ? 2 R sin C = 2

?sin A ? sin C ? ,所以 a ? c ? ?

3, 2? ?。

18. (1)解:在 Rt △COA1 中,

CA1 ?

2 , CO ? 2 tan ? , ………2 分 cos ? 2 y ? 3CA1 ? CB ? 3 ? ? 2 ? 2 tan ? = cos ? 2(3 ? sin ? ) ? ? 2 ( 0 ? ? ? )……7 分 cos ? 4

B C A1 A3 O A2

( 2) y ? 2
/

? cos2 ? ? (3 ? sin ? )(? sin ? ) 3 sin ? ? 1 ?2 , 2 cos ? cos2 ?
1 3
………………12 分

令 y ? ? 0 ,则 sin ? ? 当 sin ? ?

1 1 时, y ? ? 0 ; sin ? ? 时, y ? ? 0 , 3 3

∵ y ? sin ? 在 [0,

?

4

] 上是增函数

∴当角 ? 满足 sin ? ?

1 2 时,y 最小,最小为 4 2 ? 2 ;此时 BC ? 2 ? m 3 2

…16 分

19、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ,因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .…………………3 分 又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 , 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 ,f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .………………6 分 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ①当

2a .……………………………………7 分 3

2a ≤ 0 ,即 a ≤ 0 时, f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,从而 fmax ? f (2) ? 8 ? 4a 9 分 3 2a ≥ 2 ,即 a ≥ 3 时, f ( x) 在 [0, ②当 2] 上单调递减,从而 f max ? f (0) ? 0 .11 分 3
③当 0 ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 上单调递增 3 ? 3? ?3 ? ?

从而 f max ? ?

0 ? a ≤ 2, ?8 ? 4a, …………………………………………………15 分 ?0, 2 ? a ? 3. ?8 ? 4a,a ≤ 2, ……………………………………16 分 a ? 2. ?0,

综上所述, f max ? ?

20.(1)解:由①知: f (0) ? 0 ;由③知: f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,即 f (0) ? 0 ; ∴ f (0) ? 0 (2 ) 证明:由题设知: g (1) ? 2 ?1 ? 1 ; 由 x ? [0,1] 知 2 ?[1, 2] ,得 g ( x) ?[0,1] ,有 g ( x) ? 0 ;
x

设 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,则 2 1 ? 1 , 2
x

x2

?1;

∴ g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? (2 1 即 g ( x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 )
x

x ? x2

?1) ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)] ? (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0

∴函数 g ( x) ? 2 ?1在区间[0,1]上同时适合①②③. (3) 证明:若 f ( x0 ) ? x0 ,则由题设知: f ( x0 ) ? x0 ?[0,1] ,且由①知 f [ f ( x0 ) ? x0 ] ? 0 , ∴由题设及③知: x0 ? f ( f ( x0 )) ? f [( f ( x0 ) ? x0 ) ? x0 ] ? f [ f ( x0 ) ? x0 ] ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) 矛盾; 若 f ( x0 ) ? x0 ,则则由题设知: x0 ? f ( x0 ) ?[0,1] ,且由①知 f [ x0 ? f ( x0 )] ? 0 , ∴同理得: f ( x0 ) ? f [( x0 ? f ( x0 )) ? f ( x0 )] ? f [ x0 ? f ( x0 )] ? f ( f ( x0 )) ? f ( f ( x0 )) ? x0 , 矛盾; 故由上述知: f ( x0 ) ? x0



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