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高二数学人教A版必修五 第三章 3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题(共29张ppt)(同步课件1)精选ppt版本_图文

3.3.2简单的线性规划问题 第1课时简单的线性规划问题

某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1 h,每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2 h,该厂每天最多可 从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作 8 h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

设甲、乙两种产品分别生产x,y件,由已知条件

可得二元一次不等式组:

? x ? 2 y ? 8,

? ?? ?

4 4

x y

? ?

1 6, 1 2,

? ?

x

?

0,

?? y ? 0 .

将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐

标为整数的点 时 ,安排生产任务 都是有意义的.

P(x, y)

x, y

y

4 y=3
3

x

O

4

8

x?2y?8

x?4

上节课我们研究了二元一次不等式(组)与平面区域, 本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.

1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目 标函数、可行域、可行解等基本概念; 2.了解线性规划问题的图解法,并能解决一些简 单的问题.(重点、难点)

探究点1 简单线性规划问题及有关概念
进一步,若生产一件甲种产品获利2万元,生产 一件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最 大?
设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的 利润为z,则z=2x+3y.
上述问题就转化为:当x,y满足不等式组并且为非 负整数时,z的最大值是多少?

把 z?2x?3y变 形 为 y??2x?z,这 是 斜 率 为 ?2,

33

3

在 y轴 上 的 截 距 为z的 直 线 , 3

当 z 变 化 时 , 可 以 得 到 一 组 互 相 平 行 的 直 线 .

故 可 先 作 出 过 原 点 的 直 线 l0 :y ? ? 2 3 x , 再 作 l0 的 平 行 线 .
当 点 P在 可 允 许 的 取 值 范 围 内 变 化 时 , 求 截 距z的 最 值 ,即 可 得 z的 最 值 .
3

y

2 l0 : y ? ? 3 x

4

3

由图可知

当直线y ? ? 2 x ? z

O

33

经过直线x ? 4与直线x ? 2y ? 8

y=3
M (4,2)

4
x?4

x 8
x?2y?8

的交点 M (4, 2) 时,截距 z
3

的值最大,最大值为1 3 4 .

即 z 的最大值为 z? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 4 .
所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工 厂可获得最大利润14万元.

1.线性约束条件

? x ? 2 y ? 8,

上述问题中,不等式组

? ?? ?

4 4

x y

? 16,
? 是1 2一, 组对变量

? ?

x

?

0,

?? y ? 0

x,y的约束条件,这组约束条件都是关于x,y的一 次不等式,所以又称为线性约束条件.

2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函
数.又因为z=2x+3y是关于变量x,y的一次解析式, 所以又称为线性目标函数.
3.线性规划 一般的,在线性约束条件下求线性目标函数的
最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.

4.可行解、可行域、最优解
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解.

(1)在上述问题中,如果每生产一件甲 产品获利3万元,每生产一件乙产品获利2万元, 又当如何安排生产才能获得最大利润? (2)由上述过程,你能得出最优解与可行域之间 的关系吗?
设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利 润为z,则z=3x+2y.

把 z?3x?2y变 形 为 y??3x?z,这 是 斜 率 为 ?3,

22

2

在 y轴 上 的 截 距 为z的 直 线 .

2

y

3 l0 : y ? ? 2 x

4

3

y=3
M (4,2)

由图可知

x

当直线y ? ? 3 x ? z O 22

4
x?4

8
x?2y?8

经过直线x ? 4与x ? 2 y ? 8

的交点M (4, 2)时,截距的值最大,最大值为 8 .
即 z 的最大值为 z? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1 6 .
所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工 厂获得最大利润16万元.

【提升总结】
在确定约束条件和线性目标函数的前提下,用图 解法求最优解的步骤为: (1)在平面直角坐标系内画出可行域;

(2)将目标函数 z?ax?by(b?0)变形为 y ? ? a x ? z ,

将求z的最值问题转化为求直线

在b b

轴上的截距 的最值问题; y ? ? a x ? z y

z

bb

b

(3)画出直线 ax?by=0并平行移动,平移过程中最先
或最后经过的点为最优解;
(4)求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函 数的最值.

探究点2 简单线性规划问题的图解方法
例 1.设 x, y 满足约束条件 ?x ? ?3, ?? y ? ?4, ???4x ? 3y ? 12, ??4x ? 3y ? 36.
求目标函数 z ? 2x ? 3y 的最小值与最大值.

解:作出可行域(如图阴影部分).

y D?4x ? 3y ? 12

4

l : 2x ?3y ? 0

A

2

o

y ? ?4 B

x
C
4x ? 3y ? 36

令 z ? 0 ,作直线 l : 2x ? 3y ? 0 . x ? ?3

当把直线 l 向下平移时,所对应的 z ? 2x ? 3 y 的函数值随之减小,

所以,当直线 l 经过可行域的顶点 B 时,z ? 2x ? 3 y 取得最小值.

顶点 B 为直线 x ? ?3 与直线 y ? ?4 的交点, y

其坐标为 ??3, ?4? ;

4

l : 2x ?3y ? 0

A

2

o

y ? ?4 B

D?4x ? 3y ? 12
x
C
4x ? 3y ? 36

x ? ?3
当把直线 l 向上平移时,所对应的 z ? 2x ? 3y 的函数值随之增大,

所以,当直线 l 经过可行域的顶点 D 时, z ? 2x ? 3y 取得最大值.

顶点 D 为直线 ?4x ? 3y ? 12 与直线 4x ? 3y ? 36 的交点,

解方程组
??4x ? 3y ? 12, ??4x ? 3y ? 36.
可以求得顶点 D 的坐标为 ?3,8? .

y D?4x ? 3y ?12

4

l :2x ?3y ? 0
A

2

o

y ? ?4 B

x
C
4x ? 3y ? 36

x ? ?3
此时,顶点B ??3, ?4? 和顶点 D ?3,8? 为最优解.
所以

zmin ? 2? (?3) ? 3? (?4) ? ?18, zmax ? 2? 3 ? 3?8 ? 30.

【提升总结】
解线性规划问题的步骤: (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线 中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得.

?x?4y??3, 例2 已知x,y满足??3x?5y?25,设z?ax?y(a?0),
??x?1. 若z取得最大值时,对应点有无数个,求a的值.
分析:对应无数个点,即直线与边界线重合.
作出可行域,结合图形,看直线 l : y ? ?ax ? z
与哪条边界线重合时,可取得最大值.

解点:使当函直数线值取l得:y最??大a与x值?边,z界线重合时,有无数个 此时有 kl ? kAC .

因为kAC

? ? 53,所以kl

?

?a

?

?

3 .

5

y

即a

?

3 .

5

3x?5y?25

C

x?4y??3
B O
x?1

A x

? x ? y ? 5 ? 0,

1.

已知

x,y满足

? ?

x

?

3,

?? x ? y ? k ? 0,

且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k等于( )D

A. 2

B. 9 C. 3 10

D. 0

2.(真题·陕西高考)若点(x,y)位于曲线y = |x|与y =

2所围成的封闭区域, 则2x-y的最小值为

A.-6 B.-2 C.0 D.2

A( )

3.(真题·四川高考)若变量 x, y

?x ? y ? 8,

满足约束条件

??2 y ? x

? ?

x

?

0,

?

4,

且 z ? 5y ? x 的

?? y ? 0,

最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b

的值是( C )

A.48 B.30 C.24 D.16

? y ? x ? 1,

4.已知

x

,

y

满足

? ?

x

?

5

y

?

3,

求 z ? x的?2y

?? 5 x ? 3 y ? 1 5 .

最大值和最小值.

解:作出如图所示的可行域,

由z?x?2y得y?1x?z. 22
作 l0 :x ? 2 y ? 0 ,并 平 行 移 动 ,

y
当直线l经过点B时,对应 的z最小,当直线l经过点 5 C时,对应的z最大. 所以z最小值=1.5-2×2.5 =-3.5, z最大值=3-0=3.
1
o
A(-2,-1)

y ? x?1

B(1.5,2.5)
x?2y?0
x?5y ?3
C(3,0)

3

x

5x ? 3y ? 15

1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可 行解等基本概念的理解;
2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤. 最优解在可行域的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域 边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.

再见



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