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高中数学配套同课异构3.1.3 空间向量的数量积运算 课件2(人教A版选修2-1)


第三章 空间向量与立体几何

3.1.3 空间向量的数量积运算

回 顾
?

?? F

? ? S

W= |F| |s| cos?
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.

类似地,可以定义空间向量的 数量积 1)两个向量的夹角的定义:

知 新

? ? 如图,已知两个非零向量 a 、 ,在空间任取 b ??? ? ??? ? ? ? 一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则角 ?AOB 叫做向 ? ? ? ? 量 a 与 b 的夹角,记作: a , b . ? ? ? A ? a ⑴范围: 0 ≤ ? a , b? ≤ ? . a ? ? ? ? ? a , b? =0 时, a 与 b 同向; ? ? O ? ? ? ? b b ? a , b? =π 时, a 与 b 反向. ? ? ? ? ⑵ ? a , b?=? b, a? ,两个向量的夹角是惟一确定的! ? ? ? ? ? ? ? ⑶如果 ? a , b? ? ,则称 a 与 b 垂直,记为 a ? b 2

B

2)两个向量的数量积 ? ? 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a、 , 则 b ? ? ? ? ? ? ? ? a b cos ? a , b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b . ? ? ? ? ? ? 即 a ? b ? a b cos? a , b? . 注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A A1

a b

B1

类比平面向量,你能说 ? ? 出 a ? b 的几何意义吗? ? ? ????? 如 图 A1 B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
B

? ? a ? b 的几何意义
A A1

a b

B1

? ? ? ? ? ? 数量积a ? b等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a ? 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积.

B

3)空间两个向量的数量积性质 ? ? ? 显然,对于非零向量 a 、 , e 是单位向 b 量有下列性质: ? ? ? ? ? ① a ? e ? a cos a , e ;
? ? ? ? ②a ? b ? a?b ? 0;

?2 ? ? ? ③ a ? a ? a 也就是说 a ?
注:

?2 a .

性质② 是证明两向量垂直的依据;
性质③是求向量的长度(模)的依据.

? ? ? ? 这些运算律 ⑴ (? a ) ? b ? ? (a ? b) ? ? ? ? 成立,说明数量积 ⑵ a ? b ? b ? a (交换律) 不仅有用,而且运 ? ? ? ? ? ? ? ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
便.

(4)空间向量的数量积满足的运算律

⑵是显然成立的,你能证 明(1)和(3)吗?

? ? ? ? (1)(? a ) ? b ? ? (a ? b). 证明:当 ? =0 时,等式显然成立.当 ? ≠0 时,因 ? ? ? ? ? ? 为 (? a ) ? b ?| ? a || b | cos ? ? a , b ? ? ? ? ? ?| ? | (| a || b | cos ? ? a , b ? ) , ? ? ? ? 所以,若 ? >0,则 | ? | = ? , ? ? a , b ? = ? a , b ? , ? ? ? ? ? ? 故 ( ? a ) ? b ?| ? | (| a || b | cos ? ? a , b ? ) ? ? ? ? ? ? = ? (| a || b | cos ? a , b ? ) = ? ( a ? b ) . ? ? ? ? 若 ? <0,则 | ? | =- ? , ? ? a , b ? = π? ? a , b ? , ? ? ? ? ? ? 故 ( ? a ) ? b ? ? ? [| a || b | cos(π? ? ? a , b ? )] ? ? ? ? ? ? = ? (| a || b | cos ? a , b ? ) = ? ( a ? b ) . ? ? ? ? 综上,得 (? a ) ? b ? ? (a ? b) .
.

? ? ? ? ? ? ? ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c .(分配律)

B

c
b
?1

?2

C

l 分析:分配律等价于各个向量和的投影等于各个 向量投影的和.下面证之. ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? 如图,设 OA = a , OB = b , BC = c , a 的单位 ? ? ???? ? ? 向量为 a 0 ,作轴 l 与 a 共线,则 OC = b ? c .
??? ? ???? ??? ? ??? ? 又设 OB , BC 确定平面 ? ,又设 OB , OA 确定 平面 ? .

?a O D A E

B

c
b
?1

?2

C
l

?a O D A E

分别过 B , C 作 BD⊥OA 于 D,OE⊥OA 于 E, ???? ???? ???? 则 OE = OD + DE , OE = OD + DE , ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 即 a0 ? (b ? c ) ? a 0 ? b ? a 0 ? c , ? ? ? ? ? ? ? ? 上式两边同乘 | a | 得 a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c .

对于三个均不为 0 的 数,a,b,c,若 ab=ac,则 b=c. ? ? ? 对于向量 a , b , c ,由 ? ? ? ? ? ? a ?b ? a ?c 能得到 b ? c 吗? 如果不能,请举出反例.
? ? ? 不能,例如向量 a 与向量 b , c 都 ? ? ? ? 垂直时,有 a ? b ? a ? c ,而未必有 ? ? b ? c.

对于三个均不为 0 的 数 ,a,b,c, 若 ab=c, 则
c a= b ? ? a ,b ? k a? ? b c .( 或 b = ) 对 于 向 量 a ? ? ,若 a ?b ? k 能否写成 ? k (或 b ? ? )?也就是说 a

向量有除法吗?

不能,向量没有除法.

对于三个均不为 0 的 数,a,b,c,若(ab)c=a(bc),.对 于 向 量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a , b , c , ?a ? b? c ? a ?b ? c ? 成 立 吗?也就是说,向量的数量 积满足结合律吗? ? 不成立, 左边是一个与向量 c 共 ? 线的向量,右边是一个与向量 a 共 ? ? 线的向量,而向量 c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.

? ? 2 ? ? ,a?b ? ? 2 , 1. 已知 a ? 2 2 , b ? 2 ? ? ? 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.

2.判断真假: ? ? ? ? ? ? 1)若 a ? b ? 0, 则 a ? 0, b ? 0 ? ? ? ? ? ? 2) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? 2 ?2 ? ? ? 2 ? 3) p ? q ? ( p ? q ) ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ? 4) p ? q ? p ? q ? p ? q

( ?)

( ?) (?) (? )

3.
AC ?

ABCD ? A?B?C ?D?

AB ? 4

AD ? 3 , AA? ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60?

D'

C'

A'

B'

D

C

???? 2 ??? ???? ???? 2 ? ? ?| AC ? | ? ( AB ? AD ? AA? ) ??? 2 ? ???? 2 ???? 2 ?| AB | ? | AD | ? | AA? | ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? 2( AB ?AD ? AB ?AA? ? AD?AA? ) ? 42 ? 32 ? 52 ? 2(0 ? 10 ? 7.5) ? 85. ???? ? ? | AC ? |? 85.

???? ??? ??? ???? ? ? 解: AC ? AB ? AD ? AA? ?

A

B

4.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则: ①( a · b ) c ? ( c · a ) b =0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

②| a |-| b |<| a ? b |
?

?

?

?

?

③( b · c ) a ? ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a ? 2 b )=9| a | - 4 b 中,真命题是(D) (A)①② 5.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, a ? b ? 3 ,则 a ? b ? _____. ? ? 2 ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 法一:发现 | a ? b | ? | a ? b | ? 2(| a | ? | b | ) 代入求得. ? ? 2 ?? 2 ? ?? ?? ? 2 ? ? ?? ?? ? ? 法二:由 | a ? b | ? | a | ? 2a ? b? | b | 代入求得 a ? b =-2. ? ? 2 ?? 2 ? ?? ?? ? 2 ? ? ? ? ∴ | a ? b | ? | a | ? 2a ? b? | b | 得 | a ? b |? 1.
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
?? ?? ? ?
? ? ? ?

2

? 2

(B)②③
?? ?

(C)③④
?? ?

?? ?? ? ?

(D)②④

?? ?? ? ?

1

另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直 线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.

例 2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、 分别是平面 ? 的垂线、 斜线, PA AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? OA , 求证: l ? PA
分析: 用向量来证明两直线 垂直, 只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可!

?P
?
O?

?A

? a
l

适当取向量尝试看看!

如图,已知: PO ? ? , AO为 射影, l ? ? , 且l ? OA l 求证: ? PA ? ??? ? ? 证明:在直线l上取向量 a ,只要证 a ? PA ? 0 ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?P ? a ? PO ? 0 , a ? OA ? 0, ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? a ? a ? PA ? a ? ( PO ? OA) O ? ?A

? ??? ? ??? ? ? ? a ? PO ? a ? OA

?

l

? ? 0. ??? ? ? a ? PA, 即l ? PA.

逆命题成立吗?

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来,在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 成立吗? 已知:如图, PO 、 分别是平面 ? 的垂线、 斜线, PA AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? PA , 求证: l ? OA ?P
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.

?

O?

?A

? a
l

例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 ?内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥? .

l

分析:要证明一条直线与一个平面

?? 垂直,由直线与平面垂直的定义可 ? m ? ?? g 知,就是要证明这条直线与平面内 n m 的任意一条直线都垂直. 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理,有了!

? g l

m

证: 在? 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 l , m, n, g ? ?? ? ? ? 上取非零向量 l , m , n, g ,因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ( x, y ) ,使

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? g ? xm ? yn , l ? g ? xl ? m ? yl ? n , l ? ?? ? ?? ? m ? l ? m ? 0, l ? m ? 0 , g l ?? ? ? ? ? ? ? ? m ? ? g ? l ? g ? 0, 即l ? g .
n

n

? l ? g, 即l 垂直于平面?内任一直线. ? ? . l

通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解 决立体几何中的以下问题:
1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.证明线面垂直; 4.求两直线所成角的余弦值等等.



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