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2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义高效测评新人教A版选修1-1资料


2016-2017 学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何 意义高效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1.曲线 y=- 在点(1,-1)处的切线方程为(

x

)

A.y=x-2 C.y=x+2

B.y=x D.y=-x-2

1 1 - + 1+Δ x 1 1 解析: f′(1)=lim =lim =1,则在(1,-1)处的切线方程为 y Δ x→0 Δ x→0 1+Δ x Δx +1=x-1,即 y=x-2. 答案: A 2.已知函数 y=f(x)的图象如图,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( )

A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 解析: 分别作出 A,B 两点的切线,由题图可知 kB<kA,即 f′(xB)<f′(xA). 答案: A π 2 3.下列点中,在曲线 y=x 上,且在该点处的切线倾斜角为 的是( 4 A.(0,0) B.(2,4) )

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?
解析: k=f′(x)=lim = lim ?x+Δ x? -x Δx
2 2 Δ x→0

?1 1? D.? , ? ?2 4?
Δy Δx

Δ x→0

= lim (2x+Δ x)=2x.
Δ x→0

1

π ∵倾斜角为 ,∴斜率为 1. 4 1 ∴2x=1,即 x= . 2 答案: D 4.曲线 f(x)=x +x-2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P0 的坐标为( A.(1,0) C.(2,8) 解析: 设切点为 P0(a,b), B.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4)
3

)

f′(x)=Δ lim x→0
2

[?x+Δ x? +?x+Δ x?-2]-?x +x-2? Δx
2 3

3

3

= lim

Δ x→0

3x ?Δ x+3x??Δ x? +?Δ x? +Δ x Δx
2 2

= lim [3x +3x?Δ x+(Δ x) +1]
Δ x→0 2

=3x +1,

k=f′(a)=3a2+1=4,a=±1.
把 a=-1,代入到 f(x)=x +x-2 得 b=-4; 把 a=1,代入到 f(x)=x +x-2 得 b=0, 所以 P0 点的坐标为(1,0)和(-1,-4). 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 设曲线 y=f(x)=ax 在点(1, a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行, 则 a=________. 解析: f′(x)=lim
2 3 3

Δ x→0

a?x+Δ x?2-ax2 Δx
2

2axΔ x+a?Δ x? = lim Δ x→0 Δx
Δ x→0

= lim (2ax+aΔ x)=2ax, 由题意得 f′(1)=2,故 2a=2,∴a=1. 答案: 1 1 2 6.如果 f(x)=x ,那么 f(x)在点 x= 处的切线的倾斜角是________. 2 解析: 由导数的定义,得

f′(x)=Δ lim x→0

f?x+Δ x?-f?x? Δx
2 2

?x+Δ x? -x = lim Δ x→0 Δx

2

= lim

Δ x→0

2x?Δ x+?Δ x? Δx

2

= lim (2x+Δ x)=2x.
Δ x→0

1 1 ?1? 由导数的几何意义,得 f(x)在 x= 处的切线的斜率为 k=f′? ?=2? =1.∴该切线 2 2 ?2? π 的倾斜角为 . 4 答案: π 4

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知曲线 C:f(x)=x . (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程; (2)求过点(1,1)与 f(x)=x 相切的直线. 解析: (1)∵f′(x)=lim
3 2 3 3

Δ x→0

?x+Δ x? -x Δx
2

3

3

?Δ x? +3x ?Δ x+3x??Δ x? = lim Δ x→0 Δx = lim [(Δ x) +3x +3x?Δ x]
Δ x→0 2 2 2

=3x , ∴f′(1)=3?1 =3,又 f(1)=1 =1, ∴切线方程为 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0. (2)设切点为 P(x0,x0), 由(1)知切线斜率为 k=f′(x0)=3x0, 故切线方程为 y-x0=3x0(x-x0). 又点(1,1)在切线上,将其代入切线方程 得 1-x0=3x0(1-x0), 即 2x0-3x0+1=0, 1 解得 x0=1 或 x0=- . 2 故所求的切线方程为
3 2 3 2 3 2 2 3 2 3

y-1=3(x-1)或 y-1= (x-1),
即 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0. 8.在曲线 y=x 上哪一点的切线, (1)平行于直线 y=4x-5;
3
2

3 4

(2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)与 x 轴成 135°的倾斜角. 解析: f′(x)=lim
Δ x→0

Δ x→0

?x+Δ x? -x Δx

2

2

= lim (Δ x+2x)=2x. (1)设切点为(x0,x0), ∵直线的斜率 k=4, ∴2x0=4,解得 x0=2, ∴所求切点为(2,4). (2)设切点为(x0,x0), ∵切线垂直于直线 2x-6y+5=0, ∴切线的斜率 k=-3, 3 ∴2x0=-3,解得 x0=- , 2
2 2

? 3 9? ∴所求切点为?- , ?. ? 2 4?
(3)设切点为(x0,x0), ∵直线的斜率 k=-1, 1 ∴2x0=-1,解得 x0=- , 2
2

? 1 1? ∴所求切点为?- , ?. ? 2 4?

9.(10 分)若直线 y=kx 是曲线 y=x -3x +2x 上一点处的切线,求实数 k 的值. 解析: 设切点(x0,x0-3x0+2x0), Δ y ?x0+Δ x? -3?x0+Δ x? +2?x0+Δ x?-x0+3x0-2x0 又 = Δx Δx =(Δ x) +3x0+3Δ x?x0-6x0-3Δ x+2, Δy 2 Δ x 趋近 0 时, 趋近于 3x0-6x0+2, Δx 所以 k=3x0-6x0+2,切线方程为
2 2 y-(x3 0-3x0+2x0)=(3x0-6x0+2)(x-x0), 2 2 2 3 2 3 2 3 2

3

2

切线过原点,所以 0-(x0-3x0+2x0)=(3x0-6x0+2)(0-x0), 3 1 解得 x0=0 或 ,则 k=2 或- . 2 4
4
3 2 2

5



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