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椭圆离心率及参数方程

椭圆离心率与最值专题
一.最值: 例 1.若动点( x, y )在曲线

?b 2 ? ?4 A. ? 4 ?2b ? b2 C. ?4 4

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为 ( 4 b2 ?b 2 (0 ? b ? 4), (0 ? b ? 2), ? ?4 B. ? 4 ?2b (b ? 4) (b ? 2) ?
D.2 b



x2 y2 ? ? 1 ,求 x 2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值 练习: .已知实数 x, y 满足 4 2

例 2. ①设 P( x, y ) 是椭圆 最大值是

x2 y 2 ? ? 1 上一点,那么 2 x ? 2 y 的最大值是 64 36

.x ? y 的
2 2

最小值是

②椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l: ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为___________. x 16 9

练习:1.椭圆 7 x ? 4 y ? 28 上的点到直线 l : 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的距离最短.
2 2

x2 y2 ? ? 1 的内接矩形的面积的最大值为 2.椭圆 16 9

1

例 3.①已知椭圆 的最小值是

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,M (3, 2) ,点 P 在椭圆上,则 | PM | ? | PF | 4 3
; | PM | ? | PF | 的最大值是 .

②给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 最小值时,试求 B 点的坐标。

x2 y 2 5 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB ? BF 取得 25 16 3

练习:1.已知定点 A(2,1) , F (1,0) 是椭圆

| PA | ? | PF | 的最大值与最小值。

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点, P 是椭圆上的点,求 m 8

2. 已知 A(?2, 3) , F是

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 为椭圆的动点,求 MA ? 2 MF 的最 16 12

小值,并求出此时点 M 的坐标。

思考题: 定长为 d ? d ? 1.

? ?

2b 2 ? x2 y2 ? 的线段 AB 的两个端点在椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上 a ? a b

移动,求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 l 的最短距离。

2. F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,l 是椭圆的准线, P ? l , ?F1 PF2 的最大值. 点 求 4 2

3.若点 ( x, y ) 在椭圆 4 x ? y ? 4 上,求
2 2

y ?1 最大值为_____ x?2

_,最小值为___

__

2

二.离心率:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是其右准线上纵坐 a2 b2 标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是( )
1.设 F1 、 F2 分别是椭圆 A

3 ?1 2

B

1 2

C

5 ?1 2

D

2 2

2.点 P(-3,1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左准线上,过点 P 且方向为 a ? ?2,?5? a2 b2


的光线,经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(

A

3 3

B

1 3

C

2 2

D

1 2

3.在 △ABC 中, ?A ? 90 , tan B ?
?

离心率 e ?

3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的 4



x2 y 2 4.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M,N , a b
若 MN ? ? F1 F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ] )

1 2

B. (0,

2 ] 2

C. [ , 1)

1 2

D. [

2 , 1) 2

3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左,右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆上存在一点 P , a 2 b2 且 | PF1 |? 4 | PF2 | ,则此椭圆的离心率 e 的取值范围
5.已知已知椭圆

6.的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,使 的取值范围为 .

a c ,则该椭圆的离心率 ? sin PF1 F2 sin PF F 2 1

x2 y 2 7.设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使 a b
线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0, )

2 ] 2

B. (0, ]

3 3

C. [

2 , 1) 2

D. [

3 , 1) 3

8.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶为 A,点 P 在椭圆上,O 为坐标原点,且 OP 垂直于 a 2 b2

PA,求椭圆的离心率 e 的取值范围。

4

21. (本题满分 12 分) 椭圆

??? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 P 、Q 两点,且 OP ? OQ( O 2 a b

为坐标原点). (Ⅰ)求证:

1 1 ? 等于定值; a 2 b2
3 2 , ] 时,求椭圆长轴长的取值范围 3 2
消去 y 得 (a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0
2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)当椭圆的离心率 e ? [

21. (1) 证明: ?

?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? x ? y ?1 ? 0

? ? 4a 4 ? 4(a 2 ? b2 )a 2 (1 ? b2 ) ? 0, a 2 ? b2 ? 1
设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , , x1 x2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2

由 OP ? OQ ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 化简得 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,则 即 a ? b ? 2a b ,故
2 2 2 2

??? ???? ?

2a 2 (1 ? b2 ) 2a 2 ? 2 ?1 ? 0 a 2 ? b2 a ? b2

1 1 ? ?2 a 2 b2

(Ⅱ)解:由 e ?
2

c 2 , b ? a 2 ? c 2 , a 2 ? b2 ? 2a 2b2 a

2 ? e2 1 1 ? ? 化简得 a ? 2 2(1 ? e ) 2 2(1 ? e2 )
由 e ?[

3 2 5 6 5 3 , ] 得 a 2 ? [ , ] ,即 a ? [ , ] 3 2 2 2 4 2

故椭圆的长轴长的取值范围是 [ 5, 6] 。

5



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