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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:7.4 直线、平面平行的判定及其性质_图文

第四节 直线、平面平行的判定及其性质

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三年11考

高考指数:★★★

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中 线面平行的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平 行关系的简单命题.

1.对线线平行、线面平行和面面平行的考查是高考的热点; 2.平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现,考查对与 平行有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解和运用,题 目难度较小;

3.平行关系的证明及运用,多以解答题的形式出现,主要考查
有关定理、性质的运用及各种平行关系的相互转化,题目有一 定的综合性,常与垂直、异面直线所成角(或线面角)、几何体 体积的求法结合在一起考查,属低中档题.

1.直线与平面平行 (1)判定定理 文字语言 平面外一条直线 判 定 定 理 此平面内 与_________的一 条直线平行,则 该直线与此平面 平行 (线线平行 ?线面平行). 图形语言 符号语言

l

α

a

∵______, l∥a a?α ______,
______, l ?α

∴______. l∥α

(2)性质定理

文字语言
一条直线与一个平 面平行,则过这条 直线的任一平面与 交线 此平面的_____与该 直线平行 (简记为 “线面平行?线线 平行”).

图形语言

符号语言

性 质 定 理

β

α

l

b

∵______, l∥α ______, l?β α ∩β =b _________, ∴l∥b.

【即时应用】
(1)已知直线a,b和平面α ,判断下列命题的正确性(请在括号 中填写“×”或“√”) ①若a∥b,a?α ,则b∥α ②若a∥b,a∥α ,则b∥α ③若a∥α ,b∥α ,则a∥b ( ( ( ) ) )

(2)如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB, N∈AD,且 AM ? AN ,则直线MN与平
MB ND

面BDC的位置关系是____________.

【解析】(1)①中直线b在α内时不成立;
②b可能在α内; ③a,b可以平行、相交或异面. (2)由 AM ? AN 得MN∥BD,
MB ND 又MN?平面BDC,BD?平面BDC, ?

所以MN∥平面BDC. 答案:(1)①× ②× ③× (2)平行

2.平面与平面平行 (1)判定定理 文字语言 一个平面内的两条 判 定 定 理 _________与另一个 相交直线 图形语言 符号语言 ∵______, a∥β _______, b∥β

平面平行,则这两
个平面平行 (简记 为“线面平行?面 面平行”).

α
β

P

a b

_______, a∩b=P
a?α , _______ b?α _______,

∴α ∥β .

(2)性质定理

文字语言

图形语言
γ β

符号语言

性 质 定 理

如果两个平行平

面同时和第三个
平面_____,那么 相交 它们的______平 交线

b

∵______, α ∥β
_________, α ∩γ =a β ∩γ =b _________,

行.

α

a

∴ a∥b .

【即时应用】
(1)思考:①能否由线线平行推证面面平行? ②如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个 平面一定平行吗? 提示:①可以,只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另 一个平面内的两条相交直线,则两平面平行. ②不一定平行.如果这无数条直线互相平行,则这两个平面就 可能相交.

(2)已知两平面α 与β 平行,a?α ,判断下列命题的正确性(请 在括号中填写“×”或“√”).

①a与β 内的任何一条直线都不垂直
②a与β 无公共点

(
(

)
)

【解析】①中,a可以与β内的直线垂直,故不正确;
由α∥β,a?α可得a∥β,故②正确. 答案:①× ②√

(3)设α ,β 是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,给 出下列条件: ①α ,β 都平行于直线a,b; ②a,b是α 内两条直线,且a∥β ,b∥β ; ③若a,b相交,且都在α ,β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β . 其中可判定α ∥β 的条件的序号为___________.

【解析】①、②中的平面可能平行、相交,故不正确;③因为 a、b相交,可设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得 γ∥α,同理可得γ∥β,因此α∥β,故③正确. 答案:③

线面平行的判定及性质

【方法点睛】1.判定线面平行的方法
(1)利用定义:判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进 行); (2)利用线面平行的判定定理; (3)利用面面平行的性质,即两平面平行,则其中一平面内的 直线平行于另一平面.

2.线面平行的性质
(1)直线与平面平行,则该直线与平面无公共点. (2)由线面平行可得线线平行. 【提醒】利用线面平行的性质和判定定理时,适当添加辅助线 (或面)是解题的常用方法.

【例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线和 它们的交线的位置关系是________. (2)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上, 并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.

【解题指南】(1)把文字叙述转化为符号叙述.然后利用线面平
行的性质,把线面平行转化为线线平行. (2)“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相 转化的.本题可以采用任何一种转化方式.

【规范解答】(1)已知a∥α,a∥β,α∩β=l, 设过a的平面γ∩α=m, ∵a∥α,∴a∥m. 设过a的平面γ′∩β=n, ∵a∥β,∴a∥n,∴m∥n. ∵n?β,m?β,∴m∥β. ?

又∵m?α,α∩β=l,∴m∥l.∴a∥l.

答案:平行 (2)方法一:如图所示,作ME∥BC交BB1于E; 作NF∥AD,交AB于F,连接EF.



ME B1M NF BN ? , ? . BC B1C AD BD

∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中, CM=DN,BD=B1C, ∴B1M=NB,又BD=B1C,
ME BN NF ? ? ? . BC BD AD

又BC=AD,∴ME=NF.
又ME∥BC∥AD∥NF. ∴四边形MEFN为平行四边形,∴MN∥EF. 又EF?平面AA1B1B,MN?平面AA1B1B, ? ∴MN∥平面AA1B1B.

方法二:过M作MQ∥BB1交BC于Q,连接NQ.

∵MQ?平面AA1B1B,BB1?平面AA1B1B, ?

∴MQ∥平面AA1B1B.
由MQ∥BB1得
CM CQ ? . CB1 CB

又CM=DN,CB1=DB,
? CM CQ DN ? ? , CB1 CB DB

∴NQ∥DC,∴NQ∥AB, ∵NQ?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1, ? ∴NQ∥平面ABB1A1. 又MQ∩NQ=Q, ∴平面MQN∥平面ABB1A1,

又MN?平面MQN,
∴MN∥平面AA1B1B.

【反思·感悟】1.证明线面平行时,先直观判断平面内是否存 在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑 通过面面平行来推导线面平行. 2.应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要 经过已知直线作辅助平面来确定交线.

面面平行的判定和性质
【方法点睛】1.判定面面平行的方法

(1)利用定义:即证两个平面没有公共点;
(2)利用面面平行的判定定理; (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行; (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平 面,则这两个平面平行.

2.面面平行的性质 (1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面. (2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.

3.三种平行间的转化关系

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关 的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要 看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.

【例2】如图,已知α ∥β ,异面直线AB、CD和平面α 、β 分 别交于A、B、C、D四点,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的 中点.

求证:(1)E、F、G、H共面;

(2)平面EFGH∥平面α .

【解题指南】(1)证明四边形EFGH为平行四边形即可;(2)利用

面面平行的判定定理,转化为线面平行来证明.
【规范解答】(1)∵E、H分别是AB、DA的中点,
1 BD. 2 1 ∥ 同理,FG? BD,∴FG?EH. ∥ 2

∴EH ∥

∴四边形EFGH是平行四边形, ∴E、F、G、H共面.

(2)平面ABD和平面α有一个公共点A, 设两平面交于过点A的直线AD′. ∵α∥β,∴AD′∥BD. 又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′.

∴EH∥平面α,同理,EF∥平面α,
又EH∩EF=E,EH?平面EFGH,

EF?平面EFGH,∴平面EFGH∥平面α.

【反思·感悟】1.线面、面面平行的判定和性质常常结合在一 起进行考查,解题中要注意性质和判定交替应用. 2.利用判定或性质解题时,应注意解题过程的规范性,即要准 确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容.

平行关系中的计算问题
【方法点睛】求解平行关系中范围问题的数学思想

解答立体几何中的有关最值或范围问题,常用函数思想解决,
通过设出适当的变量、建立函数关系,转化为求函数的最值 (或值域)的问题.解题时要弄清哪些是定值,哪些是变量,如 何根据题意建立函数关系,如何求函数的最值等.

【例3】(1)如图,已知平面α ∥平面β ∥平面γ ,且β 位于α

与γ 之间.点A、D∈α ,C、F∈γ ,AC∩β =B,DF∩β =E.设AF
交β 于M,AC与DF不平行,α 与β 间距离为h′,α 与γ 间距离 为h,则当△BEM的面积最大时 h? =________.
h

(2)(2012·合肥模拟)如图所示,四边形EFGH所在平面为三棱 锥A—BCD的一个截面,四边形EFGH为平行四边形.

①求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
②若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

【解题指南】(1)由面面平行得到线线平行,进而得到各线段
间的关系,结合三角形的面积公式求解即可; (2)①证明AB,CD各平行于平面EFGH内的一条直线即可;②设 EF=x,用含x的式子表示四边形EFGH的周长,转化为求关于x的 函数的值域. 【规范解答】(1)由题意知BM∥CF,
? BM AB h? ME h ? h? ? ? .同理, ? . CF AC h AD h

1 h? h? ? S△BEM ? CF?AD (1 - )sin?BME. 2 h h

据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置. 故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常

量,令h′∶h=x.
只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当 x ? 1 ,即 h? ? 1
2 h 2

时,y=-x2+x有最大值. ∴当 h? ? 1 ,即β在α,γ两平面的中间时,S△BEM最大.
h 2 1 答案: 2

(2)①∵四边形EFGH为平行四边形,

∴EF∥GH.
∵HG?平面ABD,EF?平面ABD, ? ∴EF∥平面ABD. ∵EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, ∴EF∥AB, ∵EF?平面EFGH,AB?平面EFGH, ?

∴AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH. ②设EF=x(0<x<4),四边形EFGH的周长为l. 由①知EF∥AB,则 CF ? x ;
CB 4

又由①同理可得CD∥FG,则
?

FG BF ? , CD BC

FG BF BC ? CF x ? ? ? 1? . 6 BC BC 4 3 从而FG ? 6 ? x. 2

∴四边形EFGH的周长
l=2(x+63 x )=12-x. 2

又0<x<4,∴8<l<12.
即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12).

【反思·感悟】解决立体几何中范围(或最值)问题的关键是如
何确定变量及如何建立关系式,求最值的常用方法是运用函数 或利用基本不等式,解题中需注意函数的定义域及基本不等式 成立的条件.

【满分指导】平行关系证明题的规范解答 【典例】(12分)(2012·南通模拟)已知正方体ABCD—A1B1C1D1, AA1=2,E为棱CC1的中点. (1)求证:AC∥平面B1DE; (2)求三棱锥A—BDE的体积. 【解题指南】(1)利用面面平行证明线面平行;

(2)确定三棱锥的底面及高,根据公式求解.

【规范解答】(1)取BB1的中点F,

连接AF、CF、EF.??????1分
∵E、F分别是CC1、BB1的中点,
∥ ∴CE?B1F,

∴四边形B1FCE是平行四边形, ∴CF∥B1E.???????????????????3分

∵E、F是CC1、BB1的中点,
∥ ∴EF?BC,又BC?AD, ∥ ∥ ∴EF?AD.

∴四边形ADEF是平行四边形,???????????5分 ∴AF∥ED, ∵AF∩CF=F,B1E∩ED=E, ∴平面ACF∥平面B1DE.??????????????7分

又AC?平面ACF,
∴AC∥平面B1DE. ????????????????8分

(2)由条件得 S△ABD ? 1 AB?AD ? 2.
2 1 ? VA —BDE ? VE —ABD ? S△ABD ?EC 3 1 2 ?????????????? 11分 ? ? 2 ?1 ? . 3 3 即三棱锥A—BDE的体积为 2 .????????? 12分 3

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下 失分警示和备考建议:

在解答本题时有两点容易造成失分:
失 分 警 示 (1)对证明平行的方法不熟练,不能熟练地运用转化的 方法解题;

(2)解题过程不规范,如在证明面面平行时,忽视对
“一平面内的两条相交直线”的条件的叙述.

从近几年的高考来看,对立体几何解答题的考查的难度逐 步降低,一般以低中档题的形式考查,因此在备考时要高 度关注基础知识,避免不必要的失分.以下几点还应注意: 备 考 建 议 (1)重视知识间的相互转化,如能熟练地将空间中的线线、

线面、面面间的问题相互转化,以达到解决问题的目的;
(2)重视解题规范性的训练,强化解题步骤的完整性和严谨 性,避免不必要的失分; (3)重视立体几何中通过构造模型解题的训练和计算能力的 培养.

1.(2012·济宁模拟)已知m、n是两条不同的直线,α 、β 、γ
是三个不同的平面,则下列命题正确的是( (A)若α ⊥γ ,α ⊥β ,则γ ∥β (B)若m∥n,m?α ,n?β ,则α ∥β (C)若m∥n,m∥α ,则n∥α (D)若m∥n,m⊥α ,n⊥β ,则α ∥β 【解析】选D.对于A,γ与β位置关系不确定;对于B,α,β 还可能相交;对于C,n还可能在α内,故选D. )

2.(2012·衡水模拟)已知直线m,n和平面α ,则m∥n的一个必 要非充分条件是( (A)m∥α 、n∥α (C)m∥α 、n?α ) (B)m⊥α 、n⊥α (D)m,n与α 成等角

【解析】选D.对于A,m∥α、n∥α为m∥n的既不充分也不必 要条件;对于B,m⊥α、n⊥α为m∥n的充分而不必要条件;对 于C,m∥α,n?α为m∥n的既不充分也不必要条件;对于D,m,n

与α成等角为m∥n的必要不充分条件,故选D.

3.(2011·福建高考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点 E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度 等于___________.

【解析】∵EF∥平面AB1C,EF?平面ADC,平面ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF∥AC, 又∵E为AD的中点, ∴F为CD的中点,∴EF为△ADC的中位线,
1 AC,又正方体的棱长为2, AC ? 2 2, ? 2 ∴ EF ? 1 AC ? 1 ? 2 2 ? 2. 2 2

∴EF=

答案: 2

4.(2012·福州模拟)已知几何体A-BCDE如图所示,其中四边
形BCDE为矩形,且BC=2, ? 3,△ABC是边长为2的等边三角 CD 形,平面ABC⊥平面BCDE.

(1)若F为AC的中点,求证:AE∥平面BDF;

(2)求几何体A-BCDE的体积.

【解析】(1)连接CE交BD于P,连接FP.

∵四边形BCDE为矩形,
∴P为EC的中点. ∵F为AC的中点, ∴在△ACE中有AE∥FP. 又∵AE?平面BDF,FP?平面BDF, ? ∴AE∥平面BDF.

(2)取BC的中点Q,连接AQ, ∵△ABC是边长为2的等边三角形,

∴AQ⊥BC且 AQ ? 3.
∵平面ABC⊥平面BCDE,AQ?平面ABC,平面ABC∩平面BCDE=

BC,AQ⊥BC,
∴AQ⊥平面BCDE. ∴几何体A-BCDE的体积为 V ? 1 S矩形BCDE ? AQ ? 1 ? BC ? CD ? AQ
1 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 2. 3 3 3



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