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高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例知识导航学案北师大版必修4

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§7

向量应用举例

知识梳理 1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的长度; (2)证明线段、直线平行,转化为证明向量平行; (3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直; (4)几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题; (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在 直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系,通过代数(坐标)运算解决平面几何问题. 2.向量在解析几何中的应用 (1)若直线 l 的倾斜角为 α ,斜率为 k,向量 a=(m,n)平行于 l,则 k=tanα = 反之,若直线的斜率 k=

n ; m

n ,则向量(m,n)一定与该直线平行; m

(2)向量(1,k)与直线 l:y=kx+b 平行; (3)与 a=(m,n)平行且过点 P(x0,y0)的直线方程为 n(x-x0)-m(y-y0)=0; (4)过点 P(x0,y0)且与向量 a=(m,n)垂直的直线方程为:m(x-x0)+n(y-y0)=0. 3.力向量与速度向量 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力, 如果作用点不同,它们就不相等.但是在不计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两 个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因而可用三角形和平行四边形法则,求两个速度的合 速度. 知识导学 这部分内容是向量的核心内容,向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系, 在平面几何、 解析几何、 物理等方面有着重要的应用, 是本章的重点, 又是高考的热点内容, 是高考的必考内容之一. 疑难突破 1.用向量处理问题时,如何选择平面向量基底? 剖析: 难点是在已知图形中有很多不共线的向量, 到底选择哪两个向量为基向量?其突破口 是明确向量基底的含义和选择向量基底的原则. 平面内任意不共线的两个向量构成了平面向量基底, 因此要在图形中选择不共线的两个 向量即可.但是在具体的解题过程中,通常不会随便取不共线的两个向量,要选择适当的向 量基底,这样会减少计算量.选择基向量的基本原则是: ①不共线; ②基向量的长度最好已经确定; ③基向量的夹角最好已经明确(直角最合适); ④尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形. 要会选择适当的平面向量基底, 还要靠平时经验的积累, 需要自己逐步去体会和实践应
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用. 2.用向量处理问题时,如何建立平面直角坐标系? 剖析:难点是建立平面直角坐标系时,到底选择哪两条直线为坐标轴,哪个点为原点?选择 不当会增加解题的运算量,也会带来不必要的麻烦.其突破口是明确平面直角坐标系是如何 构成的以及选择坐标轴的基本原则. 具有公共原点的两条数轴构成了平面直角坐标系, 因此在已知图形中, 只要选择互相垂 直的两条直线为坐标轴就能建立坐标系,但是又不能随便选择坐标轴,选择的基本原则是: ①尽量用已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴; ②尽量选择已知图形中某一特殊点为原点; ③尽量使位于坐标轴上的已知点越多越好; 与选择向量基底类似,要学会选择适当的平面直角坐标系,还要靠平时经验的积累,需 要自己逐步去体会和实践应用.

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