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两直线的位置关系及交点、距离


第2讲 两直线的位置关系及交点、距离 随堂演练巩固 1.已知直线ax+y+5=0与x-2y+7=0垂直,则a为( A.2 B. 1
2

) C.-2 D. ?
1 2

【答案】A 【解析】由 a ? 1 ? 1 ? ( ? 2) ? 0 ? 得a=2. 2.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为 2 ? 则P点坐标为( A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 【答案】C 【解析】设P(a,5-3a),则 d ?
? a ? (5 ? 3 a ) ? 1 ? 2 ? ? 4a ? 6 ? 2 ?

)

2 .∴|2a-3|=1.∴a=2或a=1.

∴P点坐标为(2,-1)或(1,2). 3.若点A(3,-4)与点A′(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为( ) A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0 C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0 【答案】D 【解析】∵点A与A′关于直线l对称,∴A与A′的中点在直线l上,且 k A A ? ? k l ? ? 1 .由A与A′的中点为 (4,2), k A A ? ? 6 ? ∴ k l ? ? 1 .∴直线l的方程为 y ? 2 ? ? 1 ( x ? 4 ) ? 即x+6y-16=0.?
6 6

4.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为 【答案】-8 【解析】 4 ? m ? ? 2 ? 即4-m=-2(m+2),∴m=-8.
m?2

.

5.与直线7x+24y-5=0平行,并且距离等于3的直线方程是 【答案】7x+24y-80=0或7x+24y+70=0

.
?b ?5? 25 ? 3 ? 则b=-80或

【解析】设所求的直线方程为7x+24y+b=0,由两条平行线间的距离为3,得 b=70,故所求的直线方程为7x+24y-80=0或7x+24y+70=0.

课后作业夯基 基础巩固 1.经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程是( A.15x+5y+16=0 B.5x+15y+16=0 C.15x+5y+6=0 D.5x+15y+6=0 【答案】A
?x ? ? 3? ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0? ? 5 【解析】由方程组 ? 得? ? x ? y ? 2 ? 0? ?y ? ? 7? 5 ?

)

设所求直线为l, ∵直线l和直线3x+y-1=0平行, ∴直线l的斜率k=-3. ∴根据直线点斜式有 y ? ( ? 7 ) ? ? 3[ x ? ( ? 3 )]?
5 5

即所求直线方程为15x+5y+16=0. 2.过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( A.6 B. 2 C.2

) D.不能确定

【答案】B 【解析】∵直线AB与直线y=x+m平行,∴ b ? a ? 1? 即b-a=1.
5?4

∴|AB| ?

(5 ? 4 ) ? ( b ? a ) ?
2 2

2.

3.点(4,t)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则t的取值范围是( A. 1 ? t ? 3 1 3 3 C. 0 ? t ? 1 0 【答案】C 【解析】由题意,得
? 1 6 ? 3t ? 1 ? 5

)

B.0<t<10 D.t<0或t>10
? 3 ? 即|15-3t| ? 15 ? ∴ 0 ? t ? 10.

4.夹在两平行直线 l1 :3x-4y=0与 l 2 :3x-4y-20=0之间的圆的最大面积等于( ) A.2 ? B.4 ? C.8 ? D.12 ? 【答案】B 【解析】 圆的最大直径即为两条平行直线间的距离 d ? 2 0 ? 4 ? 所以r=2.故所求圆的最大面积为
5

? ?2 ? 4 ? . 5.直线x-2y+1=0关于直线y-x=1对称的直线方程是( ) A.2x-y+2=0 B.3x-y+3=0 C.2x+y-2=0 D.x-2y-1=0 【答案】A 【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x,y),则它关于y-x=1对称的点为(y-1,x+1),且在直线 x-2y+1=0上,∴y-1-2(x+1)+1=0,化简得2x-y+2=0.
2

6.已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么 x ? y 的最小值为(
2 2

) D. 2 1 0
2 2

A. 5 【答案】A
2 2

B. 1 0

C. 2 5

【解析】 x ? y 表示点(x,y)到原点的距离,根据数形结合得 x ? y 的最小值为原点到直线 2x+y+5=0的距离,即 d ? 5 ?
5 5 .
2 2

7.(2012山东潍坊阶段检测)已知b>0,直线 ( b ? 1) x ? a y ? 2=0与直线 x ? b y ? 0 互相垂直,则ab 的最小值等于( ) A.1 【答案】B B.2
2

C. 2 2

D. 2 3
2

【解析】由两条直线垂直的充要条件可得: ? b ? 1 ? 12 ? ? 1? 解得 a ? b ? 1 ? 2
a b b

所以 a b ? b ? 1 ? b ? b ? 1 ? b ? 1 .又因为b>0,故 b ? 1 ? 2 b ? 1 ? 2 ? 当且仅当 b ? 1 ? 即b=1 2
2 2

b

b

b

b

b

b

时取”=“. 8.与直线x-y-2=0平行,且它们的距离为 2 2 的直线方程是 【答案】x-y+2=0或x-y-6=0 【解析】设所求直线l:x-y+m=0, 由
?m ?2? 2 ? 2 2 ? ∴m=2或-6.

.

9.若点(1,1)到直线xcos ? ? y sin ? ? 2 的距离为d,则d的最大值是 【答案】 2 ?
2

.

【解析】依题意有d=|cos ? ? sin ? ? 2 |=| 2 sin (? ? ? ) ? 2 |,
4

于是当sin (? ? ? ) ? ? 1 时,d取得最大值 2 ?
4

2.

10.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 . 【答案】2x+3y+8=0 【解析】设 ( x 0 ? y 0 ) 是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y), 则 2 x0 ? 3 y 0 ? 6 ? 0? (*)
? x0 ? x ? 1? ? ? x0 ? 2 ? x? 2 又由对称性知 ? ∴? 代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. ? y0 ? ?2 ? y? ? y 0 ? y ? ? 1? ? 2

11.已知两直线 l1 :x+ysin ? ? 1 ? 0 和 l 2 :2xsin ? ? y ? 1 ? 0 ? 试求 ? 的值,使得: (1)l1 ∥ l 2 ; ( 2 )l1 ? l 2 . 【解】(1)法一:当sin ? ? 0 时,直线 l1 的斜率不存在 ? l 2 的斜率为零 ? l1 显然不平行于 l 2 . 当sin ? ? 0 时 ? k 1 ? ? 欲使 l1 ∥ l 2 ? 只要 ?
4

1 ? k ? ? 2 sin ? ? 2 sin ?

1 ? ? 2 sin ? ? 即sin ? ? ? 2 ? 2 sin ?

∴ ? ? k ? ? ? ? k ? Z,此时两直线截距不相等. ∴当 ? ? k ? ? ? ? k ? Z时 ? l1 ∥ l 2 .
4 法二:由 A1 B 2 ? A2 B1 ? 0 ?
2

2 即2sin ? ? 1 ? 0 ? 得sin ? ?

1 2

?

2 .由 B1C 2 ? B 2 C 1 ? 0 ? 2 即1+sin ? ? 0 ? 即sin ? ? ? 1?

∴sin ? ? ?

得 ? ? k ? ? ? ? k ? Z,
4

∴当 ? ? k ? ? ? ? k ? Z时 ? l1 ∥ l 2 . ∴2sin ? ? sin ? ? 0 ? 即sin ? ? 0 ? ∴ ? ? k ? ( k ? Z). ∴当 ? ? k ? ? k ? Z时 ? l1 ? l 2 .

4 (2)∵ A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 是 l1 ? l 2 的充要条件,

12.已知直线l:3x-y+3=0,求: (1)点P(4,5)关于直线l的对称点; (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程. 【解】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′)? . ∵ k P P ? ? k l ? ? 1? 即
y? ? y ? 3 ? ?1 . x? ? x



又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
y? ? y ? ?3? 0. ② ∴3? x ? x ? 2 2

?4 x ? 3 y ? 9 ? x? ? ?③ ? 5 由①②得 ? ? y ? ? 3 x ? 4 y ? 3 ?④ 5 ?

(1)把x=4,y=5代入③及④得x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7). (2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于直线l对称的直线方程为
?4 x ? 3 y ? 9 5 ? 3x ? 4 y ? 3 5 ? 2=0,化简得7x+y+22=0.
5.

13.已知直线 l1 :2x-y+a=0(a>0),直线 l 2 :-4x+2y+1=0和直线 l3 :x+y-1=0,且 l1 与 l 2 的距离是 7

10

(1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到 l1 的距离是P点 到 l 2 的距离的 1 ;③P点到 l1 的距离与P点到 l3 的距离之比是 2 ∶ 5 ;若能,求P点坐标;若不
2

能,说明理由. 【解】(1)直线 l 2 方程可化为 2 x ? y ? 1 ? 0 .
2 1)? ? a ? (? 7 5 2 ? 所以 l1 与 l 2 的距离 d ? . 2 2 10 2 ? ( ? 1)
?a? 1 ? 2 ? 7 5 . 所以 10 5

所以| a ? 1 | ? 7 .
2 2

因为a>0,所以a=3. (2)假设存在点P,设点 P ( x 0 ? y 0 ) ? 若P点满足条件②,则P点在与 l1 、 l 2 平行的直线l′:2x-y+C=0上, 且
?C ?3? 5 ? 1? 2 ?C ? 1 ? 2 ? 即C ? 13 ? 或C ? 11 ? 2 6 5

所以 2 x 0 ? y 0 ? 1 3 ? 0 ? 或 2 x 0 ? y 0 ? 1 1 ? 0 ;
2 6

若P点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有
? 2 x0 ? y0 ? 3 ? 5 ? 2 ? x0 ? y0 ? 1 ? ? ? 5 2

即| 2 x 0 ? y 0 ? 3 |=| x 0 ? y 0 ? 1 |, 所以 x 0 ? 2 y 0 ? 4 ? 0 或 3 x 0 ? 2 ? 0 ; 由于P在第一象限,所以 3 x 0 ? 2 ? 0 不可能. 联立方程 2 x 0 ? y 0 ? 1 3 ? 0 和 x 0 ? 2 y 0 ? 4 ? 0 ?
2

解得 ?

? x 0 ? ? 3? ? y0 ?
1 2

?

应舍去.

? x ? 1? ? 2 x ? y ? 1 1 ? 0? ? 0 ? 0 9 0 6 由? 解得 ? ? y0 ? 37 ? ? x0 ? 2 y 0 ? 4 ? 0? ? 18 ?

∴存在点 P ( 1 ? 3 7 ) 同时满足题中所述三个条件.
9 18

拓展延伸 14.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 【解】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B′的坐标为(a,b),

则 k B B ? ? k l ? ? 1? 即 b ? 4 ? 3 ? ? 1 .
a

∴a+3b-12=0. ① 又由于线段BB′的中点坐标为 ( a ? b ? 4 ) ?
2 2

且在直线l上, ∴ 3 ? a ? b ? 4 ? 1 ? 0 ? 即3a-b-6=0. ②
2 2

解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是AB′的方程为 解 ?
y ?1 3 ?1 ? x ? 4 ? 即2x+y-9=0. 3?4
? x ? 2? ? y ? 5?

? 3 x ? y ? 1 ? 0? ? 2 x ? y ? 9 ? 0?

得 ?

即l与AB′的交点坐标为P(2,5). ∴点P(2,5)即为所求. (2)如图所示,设C关于l的对称点为C′,

求出C′的坐标为 ( 3 ? 2 4 ) .
5 5

∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0, AC′和l交点坐标为 ( 1 1 ? 2 6 ) ?
7 7 故所求P点坐标为 ( 1 1 ? 2 6 ) . 7 7


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