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动态几何策略引领理性探索——例说立体几何“动态”题型解题策略_论文

第 2期  马茂 年, 等: 动 态几何 策略 引领 理性探 索  动 态 几 何  — — 策 略 引 领  理 性 探 索  例说 立体几何 “ 动态 ” 题 型解题策略  ●马茂 年  ( 杭州第十四中学 浙江杭州 3 1 0 0 0 6 )   ●吴 晓明  ( 富春高级中学 浙江桐庐 3 1 1 5 0 0 )   “ 动态” 充 满着 神奇 , 孕育 着创 造. 动 态性 问题 渗透 着  运动变化的观点 , 是立体几何 的一大难点 , 又是高考 的一大  亮点 ; 这类 题涉及的知 识点 多 , 覆盖 面广 , 渗 透着 主要 的数  学思想方法 , 能全方位 地考 查学 生 的基础 知识 、 基本 能力 、   数学素养 、 数学发展潜 能等. 学 生在 解决 这类 问题时 , 总 存  在着一定 的心理 和思维 方面 的 困惑或 障碍. 解决 好立 体几  何 的“ 动态” 题, 不仅可 以提高学 生分析 问题 和解决 问题 的  征适时地 、 合理地构造.   2 从“ 等价 ” 变形 和转换中破解 “ 动态” 题型 的解题思路  例 2 如图2 , 正 方体 A B C D - A。 B   C 。 D。 , 棱长 为 1 , 点  在棱 A B上 , 且B M: A M=1: 3 , 点 P是平 面 A B C D上 的动  点, 且动点 P到直线 A, D , 距 离与 动点 P到 M 距 离 平方 差  为 1 , 则 动 点 P的 轨 迹 是  (   )   A. 圆  B . 抛物线  C . 双 曲线 D. 直线  能力 , 而且可 以提高学 生 的数学 应用 能力 和数学 综合解 题  能力.   所谓 “ 动态” 性立 体几何 题 , 是指 在点 、 线、 面运动变 化  分析 设 P F   J _ A   D   , 垂 足为 F, 过点 P作 P E上A D, 垂  足为 E, 联结 E F, 则A D上平 面 P E F, A D上E F, 即  丝A A   , I   P F     一I l 船 I  = I   又  故 l   1 ,   的几何 图形 中 , 探寻点 、 线、 面 的位置关 系 或进行 有关 角与  距离 的计算. 由于这类 题情 景新 颖 、 解 法灵活 、 极 富有思 考  性和挑 战性 , 能更好地 考查 学生 的空 间想 象能力 和思维 能    I J P F     一J l   P M  I   =1 ,   P E=P M,   由抛物 线定 义可知点 P的轨迹 为抛 物线.   评析 在复杂题 型 中, 往往 需要 通过 计算 再根 据 曲线  特征定 义来 判断轨 迹. 从数学 的“ 等价 ” 变形 和转 换 中破解  解题思路 , 通过代数计算来判断平面轨迹. 立体几 何 中的轨  迹 问题往往求解 的是 交点 的轨迹 , 因此根据 图形发 挥想 象  去判 断动点可能形成 的轨 迹形 状是一种 比较直 观简便 的方  法, 适用于填空题或选择题.   3   从 数 学 题 目的 具 体 特 点 中思 索 “ 动态” 题 型 的解 题 思 路  力, 因此成了高考的热 点 内容之 一. 我们 知道 , 动 与静是 矛  盾的 2个方面 , 动中有静 , 静 中有动. 在解 “ 动态 ” 性立 体几  何题时 , 如果我们 能努 力 探寻 运 动 中静 止 的一 面 , 动 中求  静, 那 么往往能以静制 动 、 克 难致胜. 本 文就 立体几 何 中的  “ 动态 ” 问题的几种类型 和解 题策 略 , 通 过几个具 体实例 加  以归纳 , 以供参考.   1 从 概 念 和 定 义 中挖 掘 “ 动态” 题 型 的 解 题 思 路  例 1 如图 1 , A B是平 面  的斜线段 , , l 为斜足 , 若点 尸   在平面 O l 内运动 , 使得 AA B P的面积为定 值 , 则动点 P的轨  迹 是  A . 圆  B . 椭 圆  (   )   例 3 如图3 , 正方 体 A B C D— A 。 B   C   D  中 , 点 P在侧 面  B C C , B   及 其边界 上运动 , 并且 总是保 持 A P   J _ B D   , 则动 点  P的轨迹是  A . 线段 B   C   (   )   C . 1条直线 分析 D. 2条平行直线  B . B B 。 中点与 C C  中点连成的线段  C . 线段 B C .   此题 中 A B的长度是 固定 的 , 同时 AA B P的面积  也为定值 , 因此 A B边上 的高 ^也应 该是定 值 , 即点 P到 直  线A B的距离为定值 h . 因此 点 P可 以在 以 A B为轴 、 h 为 半  径的圆柱的侧面 上随 意运 动. 点 P的轨 迹可 看成 以 A B为  轴的圆柱被平面  所截 得 的图形 , 即 圆柱面与平 面 O l 的交  线为椭 圆. 故选 B .   D  D . B C中点与 日 。 c  中点连成 的线段  分 析  ( 1 )若 点 尸 与 点 C 重 合 , 在 正方 体 A B C D—   A 】 Bl C l D 】中, B D 1 在 平面 A B C D 内的 射影 是 B D, 而 A C上   B D, 由三垂线定理可得 A C上B D l , 即  4 P上B D1 .   ( 2 ) 若 点 P与 点 C不 重 合 , 可知 A C   J _ B D   , 又 P上   B D1 , 从而 B D1 上平 面 A P C , 可得 P C_ L B DI . 又 由于 A B   J _ 平  面B Bl C l C, 则有 A B上P C, 从而 P C上平面 A B D 。 , 可得 P


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