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三角函数讲义


三角函数复习讲义
知识要点: 一、角的概念与推广:任意角的概念;角限角、终边相同的角; 二、弧度制:把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度; 弧长公式: l ?
y P A M O T x

?r

扇形面积:S=

三角函数线:如右图,有向线段 AT 与 MP OM 分别叫做 ? 的的正切线、正弦线、余弦线。 三、同角三角函数关系:即:平方关系、商数关系、倒数关系。 四、诱导公式: f ? n 的n是

1 1 l ?r ? r2 ? 2 2

? 的单倍还是双倍,单倍后面三角函数名变,双不变则三角函数名不变;符号看象 2 ? 限:即把 ? 看成锐角,加上 n 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。 2

? ? ? ? ? ? ? ? f ??? ? 记忆:单变双不变,符号看象限。单双:即看 n? 中 ? 2 ?

五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大 小问题,一般先化简成单角三角函数式。然后再求解。 六、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有: 1、常数代换法:如: 1 ? sin ? ? cos ? ? tan? ? cot? ? sec ? ? tan ? 2、配角方法: ? ? (? ? ? ) ? ? 2? ? (? ? ? ) ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2

2

?? 2

1 ? cos 2? 1 ? cos2 2? 2 cos ? ? 3、降次与升次:sin ? ? 以及这些公式的变式应用。 2 2 b 4、 a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? (其中 tan ? ? )的应用,注意 ? 的符号与 a
2

象限。 5、常见三角不等式:

? ?? ?.则 sin x ? x ? tan x ? 2? ? ?? (2) 、若 x ? ? 0, ?.则1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2? (3) 、n i s x?c o s x ?1
(1) 、若 x ? ? 0, 6、常用的三角形面积公式:

1 1 1 1 1 1 aha ? bhb ? ch c (2) 、 S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 OA ? OB ? OA ?OB (3) 、S ? 2
(1) 、S ?

?

?

七、三角函图象和性质: (1)正弦函数图象的变换:

y ? sin x ?横伸缩变换 ???? y ? sin ?x ?平移变换 ?? ?? y ? sin??x ? ? ? ?振幅变换 ?? ?? y ? Asin??x ? ? ?
y ? tan x

(2)三角函数的图象和性质
定义域 值 域 R R R 1

周期性 奇偶性 对称性 单调性 在区间 上单调递增; 在区间 在区间 上单调递减。 上单调递减。 奇函数,图 象关于坐标原点对称 偶函数,图 象关于 在区间 上单调递增; 上单调递增。 轴对称 奇函数,图象关于坐标 原点对称 在区间

考点分析: 考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质(包括奇偶性、单调性、周 期性)这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多,主要是考查三角的恒等变换及三 角函数的基础知识。 例 1、已知函数 f(x)= log 1 (sin x ? cos x)
2

(1)求它的定义域和值域;求它的单调区间;判断它的奇偶性;判断它的周期性。

例 2、 化简 f ( x) ? cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ), 3 3 3

并求函数 f ( x) 的值域和最小正周期.

例 3、 ( 1 )已知 cos(2 α + β )+5cos β =0 ,求 tan( α + β ) · tan α 的值; 2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

( 2 )已知

例4

求函数 y=sin x+2sinxcosx+3 cos x 的最大值

2

2

2

考点二: 三角与其他知识的结合,三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现, 难度会控制在中等偏易的程度; 1 0 0 例 5、已知 0 <α <β <90 ,且 sinα ,sinβ 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 )x ? cos 2 400 ? =0 的两 2 个实数根,求 sin(β -5α )的值。

考点三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象, 重点是函数 图象与 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式,以及三角函数图象的对称性



例 6 、 如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin( ω x+ φ )+b.(ω >0)(1)求这段时间的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式.

例 7 函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 ( ) A. ? ? C. ? ?

?
?
2

,? ?
,? ?

?
?
4

B. ? ?

?
?
3

4

4

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

,? ?

?

例 8、 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?

8 (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上
的图像。



3

考点四,三角函数与其它知识交汇设计试题,是突出能力、试题出新的标志,近年来多出 现于三角函数与向量等知识交汇。 例 9 已知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间.

例 10、已知向量 m ? (cos?, sin ?)和n ? ( 2 ? sin ?, cos?), ? ? (?,2?),且 m ? n ? 求 cos(

? ? ? ) 的值. 2 8

8 2 , 5

练习

? )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是 2 2 A、y=lgx B、y=|sinx| C、y=cosx D、y= 2 sin 2 x ? 2、如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=- 对称,则 a 值为 8 A、 - 2 B、-1 C、1 D、 2 ? 5 3、函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,φ >0) ,在一个周期内,当 x= 时,ymax=2;当 x= ? 时, 8 8 ymin=-2,则此函数解析式为 x ? ? A、 y ? 2 sin( ? ) B、 y ? 2 sin(2x ? ) 2 4 4 ? ? C、 y ? 2 sin(x ? ) D、 y ? ?2 sin(2x ? ) 4 8 ? ? 4、已知 tanα ,tanβ 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且α ,β ? (? , ) ,则α +β 等于 2 2 2 2 ? ? 2 ? A、 ? ? B、 ? ? 或 C、 ? 或 ? D、 3 3 3 3 3 3 0 0 5、函数 f(x)=3sin(x+10 )+5sin(x+70 )的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、 8
1、下列函数中,既是(0,

4

6.方程 sinx=lgx 的实根个数是( (A)1 (B)2

) (C)3 (D)以上都错

5 4 12 3 7.在△ABC 中, (1)已知 tanA= , sinB= , 则∠C 有且只有一解, (2)已知 tanA= ,sinB= , 12 5 5 5
则∠C 有且只有一解,其中正确的是( ) (A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确

? ? ? 8 、 ?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? ( a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) , 若 ? ? ? p // q ,则角 C 的大小为 ? ? ? 2? (A) (B) (C) (D) 3 6 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??????? ? 9、设 O (0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP ? ? AB ,若 OP ? AB ? PA ?PB , 则实数 ? 的取值范围是 1 2 1 2 2 2 (A) ? ? ? 1 (B) 1 ? (D) 1 ? ? ? ? 1 (C) ? ? ? 1 ? ? ? ? 1? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 10、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是
( ) A.[0,

(D)(1)与(2)均不正确

? ] 6

B. [

?
3

,? ]
2

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

11、函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3 cos(x-θ )的图象关于 y 轴对称,则θ =________。 12、数 y=2sinxcosx- 3 (cos x-sin x)的最大值与最小值的积为________。 2 2 13、知(x-1) +(y-1) =1,则 x+y 的最大值为________。 14、函数 y=cosx-1(0≤x≤2π )的图像与 x 轴所围成图形的面积是_________。 5 2 15、已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos x+ 3 (x∈R) 2 (1)求 f(x)的最小正周期;求 f(x)单调区间; (2)求 f(x)图象的对称轴,对称中心。
2

5 3 ? 2 16、是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若 8 2 2 存在,求出对应的 a 值。

5

17、设三角函数 f(x)=sin(

kx ? + ),其中 k≠0 5 3

(1)写出 f(x)的极大值 M,极小值 m,最小正周期 T。 (2)试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时, 函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值 m。

18.已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3 ), n ? (cos A, sin A) 且 m ? n ? 1 , (1)求角 A; (2)若 12? sin 2 B2 ? ?3, 求tanC。 cos B ? sin B

19、 已知 f ?x? ? ?4 cos2 x ? 4 3a sin x cos x , 将 f ?x ? 的图象按向量 b ? ? ? 图象关于直线 x ?

?
12

? ? ? ,2 ? 平移后, ? 4 ?

对称。 (1) 、求实数 a 的值,并求 f ?x ? 取得最大值时的 x 的集合。 (2) 、

求 f ?x ? 的单调递增区间。

6



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