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人教A版数学必修五2.1 《数列的概念与简单表示法》第2课时教案

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课题:2.1.2 数列的概念与简单表示法(2)
高二数学(必修 5) 教·学案 主备人: 执教者:

【学习目标】1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项. 【学习重点】根据数列的递推公式写出数列的前几项 【学习难点】理解递推公式与通项公式的关系. 【授课类型】新授课 【教 具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板 【学习方法】诱思探究法 【学习过程】 一、复习引入: 师 同学们, 昨天我们学习了数列的定义, 数列的通项公式的意义等内容, 哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式? 生 如果数列{an}的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式 师 你能举例说明吗? * 生 如数列 0,1,2,3,…的通项公式为 an=n-1(n∈N * 1,1,1 的通项公式为 an=1(n∈N ,1≤n 1, 个性设计

1 1 1 1 * , , ,…的通项公式为 an= (n∈N 2 3 4 n

[合作探究] 数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法,同学们想一想还有哪些方法可以 表示数列? 生 图象法,我们可仿照函数图象的画法画数列的图形 .具体方法是以项 数 n 为横坐标,相应的项 an 为纵坐标,即以(n,an)为坐标在平面直角坐 标系中作出点(以前面提到的数列 1,

1 1 1 , , ,…为例,作出一个数列 2 3 4

的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所 以这些点都在 y 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以 直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 师 说得很好,还有其他的方法吗? 生 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法:递推公式法 知识都来源于实践,同时还要应用于生活,用其来解决一些实际问题.下 面同学们来看右下图:钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图, 寻其规律,看看能否建立它的一些数学模型. 生 模型一:自上而下

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高二数学(必修 5) 教·学案

第 1 层钢管数为 4,即 = 第 2 层钢管数为 5,即 = 第 3 层钢管数为 6,即 = 第 4 层钢管数为 7,即 = 第 5 层钢管数为 8,即 = 第 6 层钢管数为 9,即 = 第 7 层钢管数为 10,即 = 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列, 且 an=n+3(1≤n≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模 型,这完全正确,运用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会 给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片,是否还有其 他规律可循?(启发学生寻找规律 生 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 即 a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2 依此类推:an=a n-1+1(2≤n 师 对于上述所求关系,同学们有什么样的理解 生 若知其第 1 项,就可以求出第二项,以此类推,即可求出其他项 师 看来,这一关系也较为重要,我们把数列中具有这种递推关系的式子 叫做递推公式 二、新课学习: 1.递推公式定义: 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项), 且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列 的递推公式 注意:递推公式也是给出数列的一种方法 如下列数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55, 递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n 2.数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,函 数的表示法有:列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的 这几种表示方法:即列表法、图象法、解析式法. 三、 特例示范 【例 1】 设数列{an}满足 ?
?a1 ? 1 1 , n>1 ? ?an ? 1 ? a n ?1 ?

.写出这个数列的前五项

师 分析:题中已给出{an}的第 1 项即 a1=1,题目要求写出这个数列的前

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五项,因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式:an=1+

1 我们将 an?1

如何应用呢 生 这要将 n 的值 2 和 a1=1 代入这个递推公式计算就可求出第二项, 然后 依次这样进行就可以了 师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系,同学们要注意探究 和发现递推公式中的前项与后项,或前后几项之间的关系 【例 2】 已知 a1=2,an+1=2an,写出前 5 项,并猜想 an 师 由例 1 的经验我们先求前 5 项 生 前 5 项分别为 2,4,8,16, 师 对,下面来猜想第 n 项 2 2 3 n 生 由 a1=2,a2=2×2=2 ,a3=2×2 =2 观察可得,我猜想 an=2 [教师精讲] (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有 递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的 例如,由数列{an}中的递推公式 an+1=2an+1 无法写出数列{an}中的任何一 项,若又知 a1=1,则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4 (2)递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公 式,也可能求不出通项公式 四、当堂练习: 学案 2.1.2 五、 本节小结: 通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻 两项(或 n 项)之间的关系 对于通项公式, 只要将公式中的 n 依次取 1, 2,3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前 n 项),才可 求得其他的项 六、作业布置: 课时作业 3.1.2 课后反思:

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