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2.2.3 直线与平面平行的性质(人教A版必修2+


复习提问
直线与平面有什么样的位置关系?
1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点; 3.直线与平面平行——没有公共点。

?

a

a

a

?

?

复习:线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 a a ?? b? ? a∥ b 注意: a∥?

?

b

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们: 要证线面平行,得在面内找 一条线,使线线平行。

问题1:命题“若直线a平行于平面α,则直 线a平行于平面α内的一切直线.”对吗?
a c

?

b

那么直线a会与平面α内的哪些直线平行呢?

问题2: 在上面的论述中,平面α内的直线b 满足什么条件时,可以和直线a平行?
∵ 直线a与平面 α内任何直线都没有公共点, ∴过直线a 的某一个平面 ?,若与平面α 相交,则这一条交线b就平行于直线a.

?
?

a

b

已知:直线a??? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证:a // b ? 证明: a // ? ? a与?没有公共点
∵? ∩
? =b,∴

a

? b在 内。

?

b



a与b都在平面?内

且没有公共点 ? a与b没有公共点

? a // b

结论:直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的任意平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行。 ? a

a ??? , a ? ?, ? ?? ? b

a // b

?

b

注意:
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行,则线线平行。

巩固练习:
以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面) ①若a∥b,b??,则a∥? . ( ) ②若a∥?,b∥?,则a∥b . ( ) ③若a∥b,b∥?,则a∥? . ( ) ④若a∥?,b??,则a∥b . ( )

其中正确命题的个数是

(A)

(A)0个(B)1个 (C)2个(D)3个

定理应用
例3:有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′. (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系?

解:(1)如图,在平面A?C ? 内,过点P作直线EF,使 EF// B?C ? ,并分别交棱A?B ? , C ?D ? 于点E,F.连接 BE,CF.则EF,BE,CF就是应画的线. ,平面 BC ? 与平面A?C ? ? 交于 B?C ? ,所以,BC// B?C .由(1)知,EF // B ?C ? , 所以EF//BC,因此
(2)因为棱BC平行于平面 A?C ?

EF//BC EF不在平面AC内 BC在平面AC内

EF // 平面AC

∴BE,CF显然都与平面AC相交.

反思~领悟:
1.应用线面平行的性质定理的关键是: 过已知直线作一个平面。 2.应用定理的要决:“见到线面平行, 先过这条直线作一个平面找交线, 则直线与交线平行。”如果再需要 过已知点,这个平面是确定的。

3.利用该定理可解决直线间的平行问题。

练习.ABCD是平行四边形,点P是平面
ABCD外一点,M是PC的中点,在DM 上取一点G,过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证:AP//GH





提示:连结AC 交BD于O,连 结OM



H C




?

例5:如图所示,四边形EFGH为空间四边形
ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.

?
?

(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取

值范围.

?

变式训练3:如图,已知A?B?C?D四点不共面, 且AB∥平面α,CD∥平面 α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H, (1)求证:EFGH是一个平行四边形; (2)若AB=CD=a,试求四边形EFGH的周长.

? ?

随堂练习

已知:如图,AB//平面 ,AC//BD,且AC、 BD与 ? 分别相交于点C, D. 求证:AC=BD 证明:连结CD , ∵AC//BD ∴ AC与BD就确定一个平面AD

?

AB//平面? AB ? 平面AD 平面? ? 平面AD ? CD
又∵ AC // BD

? AB // CD

∴平面ABCD为平行四边行 ∴ AC ? BD

?

例题:已知 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证:另一条也平行于这个平面

如图:已知直线a,b,平面?, 且a // b,a//?,a,b都在平面?外。 求证:b//?

b

a

?

如图:已知直线a,b,平面?, 且a // b,a//?,a,b都在平面?外。 求证:b//?
证明:过a作面?交?于c

?

a

b
c

? ?? ? c

a // ? a??

?
b//c

a//c
a//b

注意: 线//面

c ??
b ??

b // ?

线//线

转化是立体几何的一种重要的思想方法。

练习:
如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一 条,那么它们的交线和这两条直线平行。

a // b, a ? ? , b ? ? , ? ? ? 已知:
求证:c // a // b 证明: a // b b?? a??

? c.
a

c

b β

a // ? a ?? ? ?? ?c

a // c a // b

α

c // a // b

小结
证明线面平行的转化思想:

线//线

(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//面 面//面

由a // ? , 通过构造过直线 a 的平面 ? 与平面 相交于直线b,只要证得a // b即可。

?

思考:
已知:如图, ? ??

? CD,? ? ? ? EF, ? ? ? ? AB, AB // ? .
B

求证:CD // EF. 证明:AB//平面 ?
AB//β ?∩β= CD AB//CD,
A D

F

AB//平面? AB? ? ? ∩ ? = EF 于是,CD//EF。

?
AB//EF

?

?
E

C

考点类析

例 3 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,A1B1 的中点是 P, 过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的 面积.

证明:能.分别取 AB, C 1D1 的中点 M ,N,连接 A1M ,MC ,CN,NA1. ∵平面 A1B1C 1D1∥平面 ABCD ,平面 A1MCN∩平面 A1B1C1D 1= A1N ,平面 ABCD∩平面 A1MCN =MC,∴ A1N∥MC.同理,A1M∥NC.∴四边形 A1MCN 是平行四边形. 1 1 ∵C 1N= C1D1= A1B1 =A1P ,C1N ∥A1P ,∴四边形 A1PC1N 是平行四边形,∴A1N ∥PC1. 同 2 2 理,A1M ∥BP.又∵A1N ∩A1M=A1,C 1P∩PB=P,∴平面 A1MCN∥平面 PBC1. 故过点 A1 与截面 PBC1 平行的截面是平面 A1MCN.连接 MN,作 A1H⊥MN 于点 H.由题意, 易得 A1 M=A1N= 5,MN= 2 2.∴四边形 A1MCN 是菱形,MH=NH= 2,∴A1 H= 3.故 1 S 菱形 A1 MCN=2S△A 1MN=2× ×2 2× 3=2 6. 2

【变式】如图所示,三棱锥 A BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH. 求证:CD∥平面 EFGH.

考点类析
证明:∵ 四边形 EFGH 是平行四边形,∴ EF∥ GH. ∵ EF?平面 BCD,GH?平面 BCD,∴ EF∥ 平面 BCD. 又∵EF?平面 ACD,平面 ACD∩平面 BCD=CD,∴ EF∥ CD. 又∵EF?平面 EFGH,CD?平面 EFGH,∴ CD∥ 平面 EFGH.

[小结] 利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作平面 的交线,往往需要有三个平面,即有两个平行平面,再构造第三个平面与两平行平 面都相交.

备课素材
1. 线面平行的性质和判定经常交替使用, 也就是通过线线平行得到线面平行, 再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤: (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面; (2)确定(或寻找)过这条直线且与这 个平行平面相交的平面;(3)确定交线;(4)由性质定理得出线线平行的结论. [例]如图, 直三棱柱 ABCA′B′C′中, 点 M, N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. 证 明:MN∥平面 A′ACC′.

备课素材
证明:取 A′B′的中点 P.连接 MP,NP. 因为点 M,N 分别为 A′B′与 B′C′的中点, 所以 MP∥AA′,PN∥A′C′. 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′.又 MP∩PN=P, 因此平面 MPN∥平面 A′ACC′.而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A′ACC′.

备课素材 2.利用面面平行的性质定理解题的步骤: (1)先找两个平面, 使这两个平面分别经过这两条直线中的 一条; (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出); (3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上; (4)由定理得出结论.

[例]已知平面α∥β,P?α且 P?β,过点 P 的直线 m 与α, β分别交于 A,C,过点 P 的直线 n 与α,β分别交于 B,D, 且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________.

[答案] 或 24

24 5

[解析] 如图(a) ,∵AC∩BD=P, ∴经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. ∵α∥β,α∩平面 PCD=AB,β∩平面 PCD= CD,
图 ( a)

PA PB 6 8-BD 24 ∴AB∥CD.∴ = ,即 = .∴BD= . AC BD 9 BD 5

备课素材
如图(b) ,同理可证 AB∥CD. ∴ PA PB 6 BD-8 = ,即 = .∴BD=24. PC PD 3 8 24 或 24. 5
图 ( b)

综上所述,BD=



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