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2012年普通高等学校招生全国统一考试四川卷(数学理)Word版 含答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类)

参考公式: 如果事件互斥,那么
P ( A + B ) = P ( A) + P (B )

球的表面积公式
S = 4p R
2

如果事件相互独立,那么
P ( A ?B ) P ( A ) ?P ( B )

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V = 4 3 pR
3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) = C n p (1 - p )
k k n- k

其中 R 表示球的半径

( k = 0,1, 2, … , n )

第一部分 (选择题 共 60 分) 注意事项: 1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、 (1 ? x ) 的展开式中 x 的系数是(
7
2

) C、 2 8 D、 2 1

A、 4 2 2、复数 A、 1
(1 ? i ) 2i
2

B、 3 5
?(

) B、 ? 1 C、 i D、 ? i

? x2 ? 9 ,x ? 3 ? 3、函数 f ( x ) ? ? x ? 3 在 x ? 3 处的极限是( ? ln ( x ? 2 ), x ? 3 ?



A、不存在

B、等于 6

C、等于 3

D、等于 0 )
C

4、如图,正方形 A B C D 的边长为 1 ,延长 B A 至 E ,使 A E ? 1 ,连接 E C 、 E D 则 sin ? C E D ? (
D
3 10 10 10 10
x

A、

B、
1 a

C、 )

5 10

D、

5 15

5、函数 y ? a ?

( a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(

E

A

B

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6、下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
? ? ? a 7、设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? |a| ? b ? 成立的充分条件是( |b |


? ?

A、 a ? ? b

?

?

?

?

B、 a // b

C、 a ? 2 b

?

?

D、 a // b 且 | a |? | b |

?

?

8、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M ( 2, y 0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点 的距离为 3 ,则 | O M |? ( A、 2 2 ) C、 4 D、 2 5

B、 2 3

9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产 品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公 司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从 每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 ) D、3100 元
A B

10、如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作 平面 ? 的垂线交半球面于点 A , 过圆 O 的直径 C D 作平面 ? 成 4 5
?

D

角的平面与半球面相交,所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为
α

P C

O

B ,该交线上的一点 P 满足 ? B O P ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球

?

面距离为(


2 4

A、 R arcco s

B、

?R
4

C、 R arcco s

3 3

D、

?R
3

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11、方程 a y ? b x ? c 中的 a , b , c ? { ? 3, ? 2, 0,1, 2, 3} ,且 a , b , c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线
2 2

中,不同的抛物线共有( A、60 条

) C、71 条
?
8

B、62 条

D、80 条

12 、 设 函 数 f ( x ) ? 2 x ? co s x , { a n } 是 公 差 为
[ f ( a3 ) ] ? a1 a3 ? (
2

的 等 差 数 列 , f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? ? ? f ( a 5 ) ? 5? , 则

) B、
1 16

A、 0

?

2

C、 ?
8

1

2

D、

13 16

?

2

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第二部分 (非选择题 共 90 分) 注意事项: (1)必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确 认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 (2)本部分共 10 个小题,共 90 分。 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。 ) 13 、 设 全 集 U ? { a , b , c , d } , 集 合 A ? { a , b } , B ? {b , c , d } , 则
( 痧 A )? U
U

( B ?)___________。
A1

D1 B1

C1 N

14、如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, M 、 N 分别是 C D 、 C C 1 的中 点,则异面直线 A1 M 与 D N 所成角的大小是____________。 15、椭圆
x
2

D M A B

C

?

y

2

? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,

4

3

当 ? F A B 的周长最大时, ? F A B 的面积是____________。 16、记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如,[2] ? 2 ,[1 .5] ? 1 ,[ ? 0.3] ? ? 1 。设 a 为正整数,数列 { x n }
xn ? [ a xn ] ]( n ? N ) ,现有下列命题:
?

满足 x1 ? a , x n ? 1 ? [

2

①当 a ? 5 时,数列 { x n } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 { x n } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 x n ? x k ; ③当 n ? 1 时, x n ?
a ?1;

④对某个正整数 k ,若 x k ? 1 ? x k ,则 x n ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17、(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障 的概率分别为
1 10

和p。
49 50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

,求 p 的值;

(Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列及数学期望
E? 。

18、(本小题满分 12 分)

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函数 f ( x ) ? 6 c o s

2

?x
2

?

3 c o s ? x ? 3(? ? 0 ) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点,

B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ? A B C 为正三角形。

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x 0 ) ?
8 3 5

,且 x 0 ? ( ?

10 2 , ) ,求 f ( x 0 ? 1) 的值。 3 3

19、(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , ? APB ? 90 ,
? P A B ? 6 0 ,A B ? B C ? C A , 平面 P A B ? 平面 A B C 。
? ?

P C

(Ⅰ)求直线 P C 与平面 A B C 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? C 的大小。

A

B

20、(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 2 a n ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求 a 1 , a 2 的值; (Ⅱ)设 a 1 ? 0 ,数列 { lg
1 0 a1 an } 的前 n 项和为 T n ,当 n 为何值时, T n 最大?并求出 T n 的最大值。

21、(本小题满分 12 分) 如 图 , 动 点 M 到 两 定 点 A ( ? 1, 0) 、 B ( 2, 0 ) 构 成 ? M A B , 且
? M B A ? 2 ? M A,设动点 M 的轨迹为 C 。 B

y

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ? 2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q 、 R , 且 | P Q |? | P R | ,求
| PR | | PQ |

M

A
的取值范围。

O

B x

22、(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ?
2

a

n

与 x 轴正半轴相交于点 A ,设 f ( n ) 为该抛物线

2

在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n ) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有
f (n) ? 1 f (n) ? 1
n

?

n
3

3

n ?1
1

成立的 a 的最小值;
2 7 f (1) ? f ( n ) ? 的大小,并说明理由。 4 f (0 ) ? f (1)
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(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较 ?
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k ?1

f (k ) ? f (2k )



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