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《教师参考》苏教版(高中数学)必修4同课异构课件:3.1.2 两角和与差的正弦


第三章 三角恒等变换
3.1.2 两角和与差的正弦

高中数学必修4· 同步课件

学习目标
(1)应用第五组诱导公式推导两角和与差
正弦公式.在推导过程中,进一步掌握变量替

换的思想方法,渗透用已知解决未知问题的
化归数学思想.

(2)初步掌握两角和与差的正弦公式,并
能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明.

(3)通过学习两角和与差的正弦公式的推
导和初步应用,体会知识之间的有机联系, 激发学习数学兴趣.

引入课题
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如下图 所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A ,C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视 角( ∠CAD )约为45 则Rt ?ABD =
x ? 30 在 tan( 45 ? ? ) ? 60
?

。求这座电视发射塔的高 30
?
sin ?
67

D

解 :设电视塔高CD=x 米,∠CAB = 度。 中,

x
45 67 C
A
?

sin ? 能否用

把 表示出来

tan( 45 ? ? )

?

?

B3 0

引入课题
一般地说,对于任意角 α ,β , 能不能用 α , β 的三角函数值 把 α +β 或者α -β 的三角函数值表示出来呢?

下面我们来研究如何用任意角 ? ? , 的正弦、余弦值来表示 sin ?? ? ? ? 的问题。

探究点1

公式推导

? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2
? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 2 2
? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2

? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 2 2

探究点1

公式推导

称 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ;? cos? ? cos? sin ?

为两角和与差的正弦公式,它们对任意角α 、
β 成立.

探究点2 强调特征
两角和与差的正弦公式在结构上的特征为 (1)公式左边是复角的余弦,右边是单角的

正余弦交叉相乘的和与差;
(2)左右两边的加减号相同.

典型例题
2 sin ? ? 例、已 3
3 cos ? ?, ? 4

? ? ?判断
cos(? 且 ? ?) ? 0

是第几象限角.
? ??

sin(? ? ? ) ? 0 解答:因为

,所以

是第

[说明]用三角比值的符号确定角所在的象限; 体现公式的作用.

典型例题
3 ? 已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 ? ? cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4

3 解:由sin? =- ,? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有 ? ? ? 2 4 2 3 7 2 sin( ? ? ) ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ? (? ) ? ; 4 4 4 2 5 2 5 10

典型例题

? ? ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? 4 4 4
? 3 tan ? ? tan ? ?1 ? tan ? ? 1 4 ? 4 tan(? ? ) ? ? ? ?7 3 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? (? ) 4 4
2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

典型例题
解:此等式对于任意 角α成立 ? ? ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? 证法 4 4 ??? ?2 4 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 证法 cos ? ?4 ? ? ? ? sin ? 4 ?? ? ?2 4 ? 2 ? ? ? sin ? ? ? sin cos ? ? cos ? ? 证法 4 4 4 sin ? 3 ? cos ?4 cos ? ? sin ?4 sin ? ? cos ? ?4 ? ? ?
证法 4
cos ? ?4 ? ? ? ? cos ?4 cos ? ? sin ?4 sin ? ? sin ?4 cos ? ? cos ?4 sin ? ? sin ? ?4 ? ? ?

课堂练习

例:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) cos 20。cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15

课堂练习
解: (1)由公式得: sin 72。 cos 42。? cos 72。 sin 42。 1 。 。 。 ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ? ; 2

(2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70
。 。 。



? cos(20 ? 70 ) ? cos 90 ? 0
。 。 。

1 ? tan15 tan 45 ? tan15 (3) ? 。 。 。 1- tan15 1- tan 45 tan15 ? tan(45。? 15。 ) ? tan 60。? 3
。 。 。

课堂练习

1 3 ?1? cos ? ? sin ? 2 2
=cosxcos600-sinxsin600 =cos(x+600)

课堂练习

?2?

2 sin ? ? 6 cos ?
?1 ? 3 ? ? 2 2? sin ? ? cos ? ?2 ? 2 ? ?

? 2 2 sin ? cos600 ? cos? sin 600

?

? 2 2 sin ? ? 600

?

?

?

课堂小结
? ? 1. sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2
? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2

2. 在两角和与差正弦公式的应用中,会运用已知

角“整体”表示未知角,运用角的范围判断三角
函数值的符号.

再见



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