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辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学 1.3.3导数的实际应用教案 理 新人教B版选修2-2

1.3.3 导数的实际应用
【教学目标】利用导数解决实际问题中的最优化问题,掌握建立数学模型的方法,形成求解 优化问题的思路和方法. 【教学重点】实际问题中的导数应用 【教学难点】数学建模 一、课前预习: 1.利用导数求函数极值和最值的方法: 2.自主学习教材 31 页例 1、例 2,总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: 例 1 有一块边长为 a 的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成 一个长方形的无盖容器,为使其容积最大,截下的小正方形的边长应为多少?

例 2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比, 要将直径为 d 的圆 木锯成强度最大的横梁,断面的宽度和高度应是多少?

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之 间的函数关系 y ? f ( x) ; (2)求函数的导数 f ( x) ,解方程 f ( x) ? 0 ;
/

/

(3)比较函数在区间端点和使 f ( x) ? 0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)
/

值。 二、课上学习: 1.已知某厂生产 x 件产品的成本为 c ? 25000 ? 200 x ?

1 2 x (元) 。 40

(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

1

三、课后练习: 1.圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径怎样选择,才能使所用材料最省?

海报版面尺寸的设计 3.学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报,它的版心面积为 128 dm ,上下两边各空 2 dm ,左右两边各空 1 dm ,如何设计 海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
2

4.如图:用铁丝围成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为 a m ,为使所用材料 最省,底宽应为多少?

2

2

高考连接: 1. ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) ) 设 函 数 f ( x) 在 R 上 可 导 , 其 导 函 数 为 f ?( x ) , 且 函 数

y ? (1? x ) f? ( x )
的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 2.(2012 年高考(陕西理) )设函数 f ( x) ? xe x ,则 A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点

y

O -2 1 2

x

3.(2012 年高考(山东理) )设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a x 在 R 上是减函数 ”是 “函数 g ( x) ? (2 ? a) x3 在 R 上是增函数”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2013·新课标全国卷Ⅱ ) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是 ( ) A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间(-∞, x0 )单调递减 D.若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0

k )处的切线平行于 x 轴, 5.(2013·广东卷) 若曲线 y ? kx ? ln x 在点(1, 则 k =________.

6.(2013·江西卷)设函数 f ( x ) 在(0, +∞)内可导, 且 f (e ) ? x ? e , 则 f ?(1) ? ________.
x x

7.(2013·北京卷)设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

3

8.(2013·重庆卷)设 f ( x) ? a( x ? 5) 2 ? 6 ln x , 其中 a ? R , 曲线 y ? f ( x) 在点(1,f (1)) 处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

9.(2012 年高考(福建理) )已知函数 f ( x) ? ex ? ax2 ? ex(a ? R) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取 值范围,使得曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切 线与曲线只有一个公共点 P .

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 0. ( 2012

年 高 考 ( 北 京 理 )) 已 知 函 数

f ( x) ?

2 a ? 0 ), g ( x) ? x3 ? bx . a ?x (1

(1) 若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c ) 处具有公共切线 , 求 a , b 的 值;
2 (2)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值.

x 11.(2012 年高考(安徽理) )(本小题满分 1 3 分)设 f ( x) ? ae ?

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值;

4

(II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

3 x ;求 a , b 的值. 2

5



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